结构化教学之乘化、悟道、精艺
作者： 王琪 顾以成
［摘要］乘化，即把握好新课标要求下数学改革的大方向，乘课程改革之化；而后悟道，悟数学之道、教学之道、思维之道，掌握数学规律；方可精艺，即精育人之艺、教与学之艺、课堂之艺. 结构化教学应以发展核心素养为导向，以体现学科本质为关键；以教育教学规律为主体，以学生认知规律为核心；以课程内容整合为载体，以课堂教学组织为重心.
［ 关键词 ］结构化；教学；乘化；悟道；精艺；整式的运算
《义务教育课程方案（2022年版）》明确要求“探索大单元教学，积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动，促进学生举一反三、融会贯通，加强知识间的内在关联，促进知识结构化”［1］ .章建跃教授也曾强调整体性教学原则，“从‘教’的角度说，把握好整体性，才能有准确的教学目标，才能把数学教得本质而自然，教学行为才能‘准’‘精’‘简’，才能充分发挥数学的育人功能；从‘学’的角度看，注重整体性，才能了解知识的源头、发展和去向，才能掌握不同内容的联系性，既学到‘好数学’，又学得兴趣盎然”［2］ .本文的乘化，即把握好新课标要求下数学改革的大方向，乘课程改革之化；而后悟道，悟数学之道、教学之道、思维之道；方可精艺，即精育人之艺、教与学之艺、课堂之艺.下面，笔者以“整式的运算”为例，进行结构化教学设计与分析.
“整式的运算”结构化特征分析东北师范大学教育科学学院马云鹏教授认为，结构化主题的单元教学以教材单元为基本学习单位，以结构化学习主题的核心概念为统领，梳理具有相同学科本质的系列单元［3］ .基于结构化主题的单元教学理念，笔者对苏科版数学七年级上册第3 章“代数式”内容进行了整合，将课时安排调整为：3.1用字母表示数，3.2代数式，3.3整式，3.4整式的运算（整体构建课），以及小结与思考.调整后的课时不仅在内容上与原教材保持一致，而且充分体现了结构性，将所有运算部分进行了整合，让学生以自主探究的方式进行运算，自选探究角度，寻求探究之法，并总结探究结论.
1.“整式的运算”结构化内涵
整式的运算包括整式的分类、各运算间的联系、合并同类项法则及去括号法则等内容.数的运算是整式运算的一种特殊情况.本节重点论述的是，整式运算最终都可转化为单项式运算.因此，我们将以单项式与多项式、多项式与多项式的运算都转化为单项式与单项式的运算为主线，类比数的运算进行结构化构建.“ 整式的运算” 结构化内涵如图1所示.
2.“整式的运算”结构化外延
初中阶段的运算始于有理数，这既是小学与初中的过渡，又是初中代数的铺垫.从数的研究到代数式的变换，从方程的变形到函数的构建，都彰显了运算的重要性.运算能力作为核心素养之一，更是每位教师关注的重点.在义务教育阶段，数学运算主要涉及数与式的运算，数的运算是小学的重点研究内容，式的运算是初中的重要研究对象.这不仅改变了研究对象，还提高了对学生的要求：从能够算出结果到理解算理、领悟算法、掌握算技，层层递进，不断深入.“整式的运算”结构化外延如图2所示.
“整式的运算”结构化教学设计
引言 本节课，我们研究“整式的运算”.那么，具体将研究哪些内容呢？又该如何进行研究呢？
设计意图 通过这个问题，引导学生从全局的视角出发，借助以往的学习经验研究整式的运算.标题的重构帮助学生明确了本节课的研究内容与研究对象.从研究内容来看，整式的运算可以类比有理数的运算；从研究对象来看，整式包括单项式和多项式，涉及的运算有加、减、乘、除、乘方五种.此外，分析标题也为后续研究整式的加减作了一定的铺垫.
活动一 从整式-1，a，2，a2，ab，2ba，a + b，a2+b中，任选两个组成一个算式，并尝试写出运算结果.
师生活动 学生陆续在黑板上列出算式.教师适时介入，启发学生尽量写出不同类型的算式.其中，对于能够计算的算式，让学生写出结果；对于无法计算的算式，则用问号代替结果.
追问1 能否将你写的算式进行分类？
预设 假设学生从整式的分类和运算的分类两种不同的角度进行思考.
追问2 你是如何得到运算结果的？
预设 对于以往研究过数的运算的学生来说，可以很轻易地写出整式运算的答案.但是，由于此时学生尚未接触同类项的概念，故在整式的加减运算上，只能给出模糊的答案，不能做出准确的解释.而在整式的乘除运算方面，个别提前学过的学生能够给出正确答案，其他学生则选择留白.
设计意图 大量算式和两次追问使学生产生整式的运算可以类比有理数的运算的思考路径.学生如果选取数与数的运算进行探究，可再次感受数的运算是式的运算的一种特殊形式，而研究式的运算正好可以类比数.第一次追问增强学生的分类意识，化无限为有限；第二次追问是在学生“最近发展区”上进行的跨越，此时他们虽然没有接触同类项的概念，但是在处理如ab+2ab =3ab，a-a =0这样的算式时，大多都能得出正确的结论.可见，将知识以结构化形式整体呈现的重要性.学生自己便可领会每个模块的设计意图，教师也无须过多解释知识点串联的必要性，由此便可实现学习方法的结构化生长.
活动二 整式如何进行加减运算？举例说明.
追问1 能否将整式的加减运算分类？
预设 学生明晰研究对象，按单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式进行分类.若学生按照数的加减运算和整式的加减运算这一分类角度，教师应及时纠正.
追问2 你是如何得到单项式与单项式加减运算结果的？
预设 学生可能会用不规范的语言表述同类项的概念，并通过已有的算式进行类比，发现只有同类项之间的加减运算才能进行化简，从而总结出合并同类项的初步法则.此时，教师应适时介入，首先给出同类项的准确定义，然后引导学生
用规范性语言概括合并同类项法则.追问3 单项式与多项式应该如何进行加减运算？多项式与多项式呢？
预设 这种情况需要去括号，如果学生运算有困难，可以数举例，例如用1 +（1+2） 类比a +（a + b），用1 + 2 ×（1+2） 类比a + 2（a + b），重点是让学生理解去括号的本质是乘法分配律.
设计意图 整式的加减是本节课的研究重点.在单项式与单项式的加减过程中引出同类项的概念及合并同类项法则，而在单项式与多项式的加减过程中引出去括号法则，让学生在运算过程中亲身体验到合并同类项法则和去括号法则的依据都是乘法分配律.相较于传统的课时安排与设计，这种方式引出知识点更加自然流畅，前后逻辑的关联也更加紧密，不会使学生产生刚进入一种学习状态就突然被抽离的感觉，反而能帮助学生更加清晰地理解算理.
小结
问题一 本节课是怎样研究整式的加减运算的？
问题二 数与式有怎样的联系？
问题三 类比今天的学习，我们还可以研究哪些内容？
设计意图 通过问题一梳理本节课的知识脉络、重难点及研究方法.问题二旨在让学生构建起结构化的知识体系.在整式的运算视角下，将数与式建构联系来构建初中运算学习的框架，感受数与式的共性，让学习路径结构化.问题三则为后续研究幂的运算、整式的乘除、二次根式的运算和分式的运算奠定基础.
结构化教学设计与实施的反思
1. 结构化教学要乘化：以发展核心素养为导向，以体现学科本质为关键《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出以核心素养为导向. 设计体现结构化特征的课程内容，教学目标作为课程目标的具体体现，是发展学生核心素养的关键一环.将课程内容进行结构化整合，必须体现数学的学科本质.本节课通过猜想整式运算的内涵，进而进行分类、概括、证明和总结，这些都是研究数学的重要环节.将具有内在联系、环环相扣的章节整合在一起，学生便可自主类比探究，从合情推理逐步过渡到演绎推理，从而实现数学核心素养的自然提升.
2. 结构化教学要悟道：以教育教学规律为主体，以学生认知规律为核心
结构化教学应遵循数学知识的系统性与循序渐进的规律，同时也要顺应学生的认知规律.在教学过程中，教师不能为了追求结构化而强行将跨度较大的知识进行整合. 相反，应在确保学生逐步掌握数学的基本概念、原理和方法的基础上，引导他们从直观具体的内容逐渐过渡到抽象复杂的概念和原理，从而掌握结构化的学习方法和研究路径.
3. 结构化教学要精艺：以课程内容整合为载体，以课堂教学组织为重心
结构化教学的课程内容有时会打破传统教学的顺序，因此教师应根据个人理解重新进行编排和组织. 尽管不同的教师可能有不同的理解和组织顺序，但在整合课程内容时，体现数学的内部逻辑这一点是不变的. 课堂是教学的主阵地，结构化教学要求学生经历结构性与非结构性知识的建构过程，以及对复杂信息进行再加工的过程.因此，为了促进学生的深度学习，必须对已有知识经验进行有效而精细的深度加工［4］ .这就要求教师在组织课堂教学时重点关注学生的“最近发展区”，通过构建先后知识的结构化框架，搭建起必要的认知桥梁，设计合理的问题串，引导学生自主探索，寻找规律.
结语
结构化教学体现在三个方面：一是教材结构化，即依据数学本质及内在逻辑编排和整合教材内容；二是教学结构化，即遵循教育教学规律和学生特点，整体预设教学过程；三是学生结构化，即顺应学生的认知规律，并根据课堂反馈及时调整教学内容.只有把握好结构化教学与教材、学生的关系，才能使结构化教学发挥最大功效，高效合理地促进教师的教与学生的学，从而在课堂上呈现出真实、有效的教学效果.