捕捉生长契机 落实核心素养
作者： 石雨卓
［摘要］文章以“数轴上的动点问题”为例，在分析问题时，抓住学生的生长契机，引导学生多角度思考并采用分类讨论的方法解决问题，培养学生数形结合的思想，落实对学生抽象能力和模型观念等核心素养的培养.
［关键词］生长契机；数学素养；动点问题
背景分析，思辨之始
“数轴上的动点问题”横跨代数和几何两大数学领域，融合了方程模型和数形结合的思想.这类问题要求学生从动态的视角和联系的观点出发，分析、掌握动点的运动规律.动点问题的抽象性与多变性容易使部分学生在解题时望而生畏，于是这类问题便成为他们学习路上的拦路虎，导致方程模型、抽象能力等数学素养以及分类讨论和数形结合的数学思想难以形成［1］.
设计施教，思想之旅
（一） 设计框架
笔者以诸暨市2024学年上学期数学期末考试的一道考题为切入点，进行变式教学，通过引导学生进行分类讨论、多角度思辨以及类比迁移，落实对其抽象能力和模型观念的培养.教学设计框架如图1所示.
（二） 教学实施
1. 考题拆解，基础显现
预习任务：
如图2，点A，B在数轴上表示的数分别为-2与4，若数轴上A，B两点之间存在点C，使得AC=2BC.
（1） 点C所表示的数为______ .
（2） 动点Q从点B出发，以每秒1 个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t 秒，求：①当t 为何值时，QC = 3.
设计意图 通过增加基础题型，对考题进行拆解，引导学生从线段和点这两个不同的角度用代数式刻画研究对象，既列出方程解决问题，又复习回顾知识点，起到“以题知理”的效果，同时为后续分类讨论奠定基础.
学生反馈 不难求得点C 所表示的数为2.对于第（2） 题第①问，学生均能列出方程，且有两种解法.
生1 （线段和差角度） 根据动点Q的运动状态可知QB=t，则QC=QB+ BC=t + 2.所以根据QC =3，可列方程t +2=3，解得t = 1.
生2 （两点间距离角度） 根据点Q的运动状态可知，当运动时间为t 秒时，点Q 表示的数为4 + t，不难发现点Q永远都在点C 的右侧，所以可得QC =（4 + t）-2 = t + 2，同样可列方程t +2=3，解得t = 1.
教学反思 虽然两种解法均有学生作答，但基础较差的学生未想到用方程模型解题.因此，可对预习题目进行改进，专门为基础较差的学生增加特别提示：用包含时间t 的代数式表示QC的长度和点Q的位置关系.
2. 契机捕捉，素养生成
如图3，在预习题中增加动点P：从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动.求：②当t 为何值时，PC = 3；
③当QC =2PC 时，求t 的值.
设计意图 通过变式，逐步完善，直至期末考题呈现.在课堂中采用动画演示，引导学生分析题意，从中抓住生长契机，引导学生分类讨论.
学生反馈 对于第②问，可从动画中直接观察到点P 随着时间发生变化，并且可从两点间距离的角度进行刻画，具体反馈如下：
生 根据点P的运动状态可知，当运动时间为t 秒时，点P表示的数为-2+3t. 而PC有两种情况：点C的坐标减去点P的坐标和点P 的坐标减去点C 的坐标.
此时，教师应抓住生长契机追问：为何有两种情况？
生 有时候点P在点C的左边，有时候点P在点C的右边.
师 有时候…… 有时候…… ，能否用代数式明确有时候是什么时候？并求出t 的值.
实践表明，从两点间距离的角度解答，思路较为烦琐；若改用线段和差的角度，从绘图中直接分析也可得到PC 长度的表达式. 此时，抓住两个角度作比较这一生长契机，引导学生辨析两个角度的区别，如表1.
教学反思 通过变式，抓住学生对两个角度解答的难易程度不同这一感受的契机，引导学生结合研究对象和所需要素辨析两者的适用情况，达到“以题知理”的目的.
变式2 动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，当点P与点Q相遇时立即改变方向，向左运动，速度不变；同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，求当t 为何值时，QC=2PC.
设计意图 通过对原题进行再次变式，增加临界点的分类讨论.同时，利用信息技术进行演示，引导学生画图并分析相应情况，强化正在形成的分类讨论思想.
教学反思 通过例题和变式1的动态演示辅助解题，大多数学生都能在变式2中自主地进行分类讨论并作图分析.因此，可以在学生解答完题目并点评之后，展示变式2的演示，以此进行验证并增强学生的成就感.变式3 动点P 从点A 出发，以
每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，求：
①当t 为何值时，点C 为PQ 的中点；
②当t 为何值时，C，P，Q中任意一点是其他两点的中点.
设计意图 通过对所求条件进行变式，发现此时用点的位置来解答较为简便.引导学生辨析应当根据所求的对象来选取解答角度，从而完成“角度选取”这一自然生长.
教学反思 所求条件变动过大，导致基础较差的学生未能联想到中点公式.因此，可以在第①问前增加问题，降低难度，例如：当t = 2时，点C为PQ的中点，求点C表示的数.
3. 学习类比，迁移应用
如图8-1，已知点O 在直线AB上，射线OD，OC 分别在直线AB 的上、下两侧且∠COD = 80°，OE 始终是∠AOD的平分线.
（1） 若∠AOE = 10°， 求∠COE的度数；
（2） 如图8-2，设∠AOD = n°，已知∠DOE =2∠AOC，求n 的值；
（3） 如图8-3，在满足（2）的条件下，射线OP从OB出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，射线OQ 从OE出发绕点O 以每秒2°的速度顺时针旋转，射线OP，OQ同时开始旋转，记旋转时间为t 秒（0 ≤t≤45） . 当∠QOD和∠EOP互余时，求旋转时间t 的值.
设计意图 从数轴上的动点，到角的动射线，引发学生进行“类比学习”的自然生长，强化分类讨论、数形结合的思想，以及方程的模型观念.
教学反思 此题作为课后练习，已有绝大部分学生进行了分类讨论、作图分析并列方程解决问题.由此可见，学生已逐步学会透过题目认识数学本质，从而自然发展数学素养.
沉淀启示，思索之灯
（一） 语言之芽，契机之土
在教学过程中，教师需时时处处留意学生的日常用语，寻找那些根植于日常生活的教学契机，从而有效地引导学生进行分类讨论和数形结合的深入思考.这不仅促进了学生的自然成长，还巧妙地种下了数学素养的种子，让它们在学生的脑海里生根发芽、茁壮成长.
（二） 科技助航，理解之桥
面对抽象难懂的数学难题，信息技术的运用犹如架设在理解河流之上的桥梁，能使学生轻松跨越理解的鸿沟.通过动态演示，学生能够在自主描绘的过程中，逐步深入到问题的核心，从而在深刻理解的基础上解析问题.因此，除了在课堂内应用信息技术，课后教师还应尽可能地安排一系列同类题目的练习，以此巩固和深化学生通过技术获得的理解，让技术在学生的心中留下深刻的印记.
（三） 多角探索，思维之翼
在教学过程中，引导学生从多个角度审视和思考问题，是拓展其思维和视野的关键.教师应鼓励学生多角度地对问题进行探索和思考，这样的教学策略，不仅能够增强学生的问题分析和解决能力，而且能够为他们的思维插上翱翔的翅膀，让他们在数学的天空自由地飞翔，探索未知的领域，从而在多样化的思考中找到属于自己的路径和答案.