创真实情境　建数学模型　促学科融合

［摘要］文章以“设计遮阳篷”为例，设置问题链，创设真实情境，以解决实际问题为导向，抽象出三角函数数学模型；结合实际需求，引导学生从不同角度审视、调整、验证模型，从而促进学科融合，提高学生的实践能力.

［关键词］真实情境；数学模型；学科融合

教学背景

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下称“新课标”） 指出：综合与实践是数学学习的重要领域. 学生将在实际情境和真实问题中，运用数学和其他学科的知识与方法， 经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学技术和社会生活之间的联系， 积累活动经验，感悟思想方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际问题的能力， 形成和发展核心素养［1］ .“设计遮阳篷”是北师大版数学九年级下册教材的最后一个综合与实践课题， 通过“ 做一做”“议一议”“想一想”等环节有效提升学生的初中数学知识认知能力，帮助学生完善数学知识体系.

学情分析

“综合与实践”课题具有问题性、综合性、实践性、过程性、现实性等特征，教学活动的设计与实施难度较大，因此课前的学情调研尤其重要.基础知识方面，学生已经掌握了直角三角形边、角关系的相关知识，包括测量物体的高度、三角函数的有关计算等；生活技能方面，九年级作为义务教育阶段的最高年段，学生收集、整合资料，以及总结反思能力都处于较高水平，因此更适宜开展“综合与实践”课题的教学；心理认知方面，新时代的学生对学习的要求不仅限于课本和课堂，他们渴望真实的、完整的、有意义的学习体验，加上此年龄段的学生自我认同感较强，因此迫切地想将所学知识应用于生活实际，在真实情境中探寻解决实际问题的方案；时代要求方面，数字时代的到来促进了不同学科之间的交叉与融合，本课题的实施不仅需要数学知识，还需要物理、地理、美术等学科相关知识.学生在解决数学问题和现实问题的过程中，应注意提升观察、判断、理解、思考、表达、反思等能力，培养数学核心素养.

教学目标

1.走上街头，观察生活中的遮阳篷并收集相关图片，将收集到的遮阳篷抽象成数学模型.

2.在利用三角函数解决数学问题的过程中，体会其应用价值，增强数学应用意识，积累数学活动经验.

3. 亲历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养模型观念，激发创新意识，同时从多学科、多角度出发分析问题，形成多元、缜密的思考方式，发展数学核心素养.

教学过程

1. 实地走访拍摄，发现“烟火气”的遮阳篷

课前，要求学生以小组为单位，收集社会生活中常见的遮阳篷照片.每组派一名代表汇总照片并制成PPT进行展示分享，让学生初步感受数学源于生活.课中，要求学生总结不同类型的遮阳篷的异同，并思考这些异同背后的原因.

教学说明 收集遮阳篷照片是本节课的必要环节.学生在利用数学知识解决实际问题时，需要具备发现数学问题的能力.收集遮阳篷照片后，学生通过对比发现遮阳篷的异同，初步感知设计遮阳篷需要考虑场景、成本、形状等因素.拍摄并分享照片，可以弥补数学课堂中美育环节的缺失.

2. 创设真实情境，感受“数学味”的遮阳篷

教师引导学生从最简易的平面形遮阳篷入手，感受其中蕴含的数学知识，加深对遮阳篷相关问题的理解.

问题1 如图1，小明想在一个小亭子的墙上安装一个平面形遮阳篷.经测量，安装遮阳篷的墙高3 m，安装后遮阳篷与水平面平行，展开后可使正午时刻房前能有2m宽的阴凉处供人纳凉.请计算此遮阳篷展开后的长度.（正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，参考数据：sin63.4° ≈0.89， cos63.4° ≈ 0.45，tan63.4°≈2.00）

问题2 请同学们把实际问题抽象成数学问题，并构建相应的数学模型.

教学说明 问题1 中的遮阳篷形状、安装方式比较简单，教师应鼓励学生独立进行抽象作图.在提升学生的抽象能力的同时，培养学生的几何直观素养.学生之间通过交流各自的构图想法，发现存在两种不同的模型（见图2、图3），从而引发了认知冲突.

问题3 小组讨论、分析产生两种模型的原因，并作出最优选择.

教学说明 引导学生从不同学科角度分析问题，融合学科知识、学习经验和社会价值来综合分析和处理问题.具体而言，从数学学科角度来看，角的两边为射线，两条直线相交会形成对顶角和邻补角；从地理学科角度来看，南北半球的日照角度有差异；从社会价值来看，图3的安装方式更符合社会需求.

问题4 请同学们在图3的基础上标注条件并完成计算.

教学说明 通过此次探究，学生不仅理解了遮阳篷中蕴含的数学知识，还掌握了设计所需要的关键数据——墙高、影长以及光线与地面的夹角.

3. 立足社会需求，设计“实用型”遮阳篷

问题5 生活中，遮阳篷不仅可以遮阳，还可以避雨.不过，当遮阳篷垂直于墙面安装时，容易积水不易排水.你们认为可以从哪些方面进行改进？

通过课前调研，我们了解到：一部分学生认为可以考虑使用电动遮阳篷，但成本会提高，且可延展的长度需要控制合理；另一部分学生则指出倾斜遮阳篷可以排水，但倾斜角度不能太大；还有学生提出可以选择轻便、吸水、易蒸发的化学材料来制作遮阳篷.

教学说明 学生已经了解了设计遮阳篷所需要的数据，但数学模型的应用还需考虑实际生活中的多种因素，如安全、成本、环保、审美、地域等.教师应引导学生将不同学科与不同领域的知识、思想、经验相融合.

问题6 采用第二种方案（设计倾斜遮阳篷） 进行设计，具体条件是遮阳篷与水平面的夹角为10°，其余数据与问题1相同.请计算此时满足条件的遮阳篷长度. （参考数据：sin10°≈0.17，cos10° ≈0.98，tan10°≈ 0.18，tan63.4°≈ 2.00）

在研究了问题1的基础上，学生快速地作出了示意图.

还有一部分学生重新作图，如图6，过点F 作AB 的平行线，分别交AG，BC于点G，H，易知∠G = ∠H =90°，∠FAG = 10°，∠FCH = 63.4°. 设AF = x，则GF = 0.17x，AG=0.98x，所以HF=3-0.17x，CH = AG-BC =0.98x - 2.根据三角函数知识建立方程3-0.17x=2×（0.98x -2） ， 解得x =700/213.

另一部分学生在图4的基础上作出图7，并过F作FG⊥AD于G，利用AD=3.5求解△ADF，相对来说计算量较小.

教学说明 此问题的设置旨在解决并采用第二种方案，原因有两点：一是第二种方案计算难度较大，可以锻炼学生的运算能力；引导学生利用问题3的结论解决后续问题，以锻炼他们的迁移能力.二是第一种方案中电动遮阳篷延展范围的设置涉及复杂物理知识，课堂中时间有限难以详解，可以鼓励学生在课后查阅相关资料或咨询物理教师再进行探究.

问题7 据研究，若遮阳篷外端到地面的距离小于2.3 m，则人进出时会觉得没有安全感，往往会低

下头或用手护着头.请通过计算，判断此遮阳篷是否会让人在进出时具有安全感.

教学说明 学生在图6 的基础上计算HF 的长度，便能快速得出答案.此问题的设置旨在打造充满人情味的数学课，既保有思考热度，又形成春风化雨般的温馨氛围.

4. 建立数学模型，编写“程序化”遮阳篷

人工智能时代，社会生产方式发生了翻天覆地的变化.在设计遮阳篷并投入生产时，为了节省成本和时间，我们将具体问题一般化，编写了符合生产需求的程序.

问题8 如图8，某地居民想在窗户上安装一个直角形遮阳篷.

（1） 在炎热的夏天，为了保持室内凉爽，应如何设计直角形遮阳篷，使其恰好在正午时分能把太阳光全部挡在室外？（设窗户高为h，夏天正午时分太阳光与地面的夹角为β）

（2） 在寒冷的冬天，为了保持室内温暖，应如何设计直角形遮阳篷，使其恰好在正午时分能让太阳光全部直射进室内？（设窗户高为h，冬天正午时分太阳光与地面的夹角为α）

如图9 和图10，抽象出几何图形，AB为窗户，折线A—C—D为直角形遮阳篷，∠ACD=90°. 如图9，夏天正午时分直角形遮阳篷恰好把太阳光全部挡在室外，此时光线正好经过B，D两处，∠CDB= β.根据示意图列出方程tanβ =h+AC/CD，该方程表示直角形遮阳篷的两边AC和CD需要满足的等量关系. 如图10，冬天正午时分直角形遮阳篷要使太阳光全部直射进室内，此时光线应恰好经过A，D两点，∠CDA =α.根据示意图列出方程tanα=AC/CD，该方程表示直角形遮阳篷的两边AC和CD需满足的等量关系.

问题9 若居民想在窗户上安装一个直角形遮阳篷，使其既能在夏天正午时分把炎热的太阳光全部挡在室外，又能在冬天正午时分让温暖的太阳光全部直射进室内，该如何设计这个遮阳篷？

学生发现，由问题8 得到的两个方程实质上是关于AC和CD的不定方程.解决问题9只需联立两个方程即可.

教学说明 在探究过程中，教师引导学生分析题目条件，准确作图，并将问题8分设的两个问题组合成问题9.这实质上是将特殊问题一般化的过程，旨在培养学生建构数学模型来思考问题的习惯，让学生亲身体验数学模型在解决问题中的优势.

5. 获取真实数据，输出“程序化”遮阳篷

设计的遮阳篷即将投入生产并

在重庆地区销售，需要知道相应的α，β值，除了查阅资料，还可以通过测量获得数据.

问题10 应选择哪一天进行测量？应选择在一天中的什么时刻进行测量？

不同地区选择的日期不同.北回归线以北地区（北极点除外），正午日影全年朝北，冬至日日影最长，夏至日日影最短；南回归线以南地区（南极点除外），正午日影全年朝南，夏至日日影最长，冬至日日影最短；南北回归线之间的地区，正午日影在夏至日朝南、冬至日朝北，当太阳直射该地区时日影最短（等于0）；正午太阳高度最高，与地面夹角最大，日影最短，此时测量可以得到较为准确的角度极值.

结合地理知识可知，在重庆地区销售遮阳篷需要测量夏至日和冬至日正午时刻的日照数据.

问题11 在实际操作中如何获取需要的数据？

除查阅资料外，教师还可以引导学生实际操作来求α，β的值.学生根据北师大版数学教材九年级下册第一章第六节“利用三角函数测高”联想到“立竿见影”的方式：如图11，AB为建筑物，BC为正午时刻建筑物的影长，∠ACB为所需数据，利用tan∠ACB=AB/BC和反三角函数可求得∠ACB的值.在实际操作中，学生测量同学身高和影长即可.

教学说明 本题引导学生小组合作获取模型分析需要的数据.此题对学生地理学科知识的要求较高，教师应鼓励学生相互讨论并将结果应用于实际生活.

问题12 直角形遮阳篷设计方案初步成形，除涉及数学、物理、地理知识外，还可从哪些方面进行改进？

学生从成本、美观和材料等方面进行了讨论，并计划课后咨询化学教师和美术教师.课末，教师展示了一些特殊的遮阳篷图片供学生欣赏.

教学反思

1.创设真实情境，聚焦深度学习

数学学习情境是为了特定教学目标设计的，包含学习元素和背景信息的数学学习任务、活动或问题场景. 设置的情境应是学生未来学习和生活中可能遇到的，能引起联想，启发思考，传授方法. 本节课课前，要求学生走进社会，用镜头捕捉生活中的遮阳篷，确保所有学生都对遮阳篷有基本了解，激发学生的学习兴趣和参与动机.

教师创设的问题情境应贴近真实生活，以激发学生的学习兴趣.本节课通过不断对遮阳篷的设计提出新的要求，展现世界的复杂性和多样性，引导学生深入思考，实现有效学习和深度学习，从而发展学生的数学核心素养.

2.建立模型观念，培养科学精神

新课标指出：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.而用数学的语言表达现实世界，离不开数学建模.模型观念是指对运用数学模型解决实际问题有清晰的认识.本节课以设计遮阳篷为背景， 层层递进地引导学生经历“问题情境—简化分析—建立模型（找数量关系） —求解验证—优化模型”的过程，深化对数学知识本质的理解，掌握运用数学知识解决问题的思路与方法，促进学生学习能力和数学核心素养的提升.

本节课在建立数学模型后，通过设置问题链引导学生解释数学结论的现实意义.多数情况下，模型中的参数或重要指标都与问题背景有关. 例如，设计遮阳篷需要考虑排水、日照以及地理位置等因素.引导学生分析模型与现实是否吻合，以便调整模型至合理状态. 在此过程中，培养学生“重事实、讲道理”的科学精神.

3.积累活动经验，促进学科融合

数学是研究数量关系和空间形式的科学，是自然科学的基础，并在社会科学中发挥着重要作用.数学融合其他学科，能够突破学科界限，进行多视角的思考和研究，利用多学科知识解决现实问题.本节课以解决遮阳篷设计过程中的实际问题为切入口，通过设置问题链，整合数学与其他学科的知识和思想方法.这不仅让学生感受到数学与物理、地理等学科的融合价值，而且引导学生从其他学科中汲取知识营养，从而提高学生的数学学习兴趣和综合素养.

本节课虽然采用了学科融合的方式，但数学仍然处于主导地位，目的是让学生在更好地掌握数学知识的同时发散思维，丰富知识体系，拓宽视野.课末，结合地理知识完成了跨学科实践活动，提升了学生的应用意识和创新意识. 在实际教学中，教师还可以加入遮阳篷图案设计，实现与美术等学科的融合，或者鼓励学生调查不同人群对遮阳篷的需求，引导学生从更全面的角度思考问题.