经历建模过程 提升数学能力
作者： 唐丽
［摘要］数学建模是数学素养的重要组成部分，是培养学生数学能力、提升数学素养的重要载体. 在日常教学中，教师应以基础知识为立足点，从宏观角度出发，注重引导学生参与模型的构建和应用过程. 这种做法能够激发学生的思维活力，深化对知识的理解，并有效地提升他们的数学能力和素养.
［关键词］ 数学建模；立足基础；过程
模型思想能够将抽象化的数学知识归类统一，从而获得模型化的问题解决方案，提高学生的学习效率［1］ .在日常教学中，不少教师倾向于通过讲授的方式，将自己归纳总结的数学模型直接传授给学生，并鼓励学生应用这些模型来解决问题，以此提升解题效率.确实，通过套用模型，学生能够迅速得出问题的答案，但这种做法往往忽略了学生对数学模型建构过程的理解.因此，学生对模型的理解往往是肤浅的，一旦题目出现细微变化，他们很可能会感到迷茫.此外，忽略模型生成过程的教学方法，还可能抑制学生在数学抽象、数学建模等方面能力的培养，进而影响他们数学思维能力的成长和提升.在教学“相似三角形”中的“一线三等角”模型时，笔者以学生思维为出发点，引导他们经历模型的完整构建过程，这不仅加深了学生对模型的理解，还提升了学生思维和能力.
教学设计与分析
“一线三等角”模型又称“K型图”，是指具有三个等角顶点排布在同一直线上的全等或相似图形.这三个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.这些角可以在直线的同侧，也可以在直线的异侧.实际上，学生对这一模型并不陌生，他们在学习“全等三角形”时已经接触过类似模型.同时，学生对相似三角形的判定也有了一定的理解和认识.因此，在教学过程中，我们应有意识地引导学生自主探究，让他们自行发现其中的规律，构建数学模型，并能灵活运用这些模型解决问题. 日积月累，我们就能培养学生的建模意识，并提升他们的数学思维能力.然而，学生在处理较为复杂的直线型问题时，解题思路和方法仍然比较受限.学生遇到需要构造相似三角形的问题时，往往感到困难重重.因此，在日常教学中，教师应当注重引导学生体验构造相似图形的过程，帮助他们形成清晰的图形概念.
1. 类比抽象，提取模型
问题1 如图1，将含45° 角的直角三角板放在直角坐标系中，使其直角顶点为坐标原点.假如点A的坐标为（2，1），求点B 的坐标.
变式：如图2，若将“含45°角的直角三角板”改为“含30° 角的直角三角板”，位置不变，点A 的坐标不变，此时点B 的坐标又是什么？
设计意图 从低起点问题入手，引导学生通过类比发现“一线三等角”相似模型，深刻理解数学知识之间的内在联系，从而激发他们对数学探究的热情.
问题2 若将图5中的直角变为锐角或钝角，此时两个三角形是否仍然相似呢？请大家先动手画一画，然后给出证明过程.
师生活动 教师预留时间让学生操作、观察、验证.学生通过动手实践发现，不论这三个角是锐角还是钝角，只要一条直线上的三个等角保持不变，那么这两个三角形仍然保持相似性.
设计意图 通过变换视角，能够拓宽学生的视野，让他们在图形变换中领悟恒定的本质，从而加深对基础模型的理解，最终成功地构建“一线三等角同侧模型”.
2. 简单应用，完善模型
问题3 在正方形ABCD 中，点P，Q 分别在直线CB，DC上（点P异于点C，B），且∠APQ = 90°.已知正方形ABCD 的边长为5，当CQ=1时，求线段BP 的长.
师生活动 问题给出之后，教师预留时间让学生动手作图，引导学生借助图形寻找解题的突破口.不过动点问题一直都是难点，部分学生容易产生畏难情绪.因此，为了简化思维过程，增强学生的参与感，教师将问题分解成以下3个小问题：
（1） 请在图6 上画出CQ=1的所有可能性；
（2） 根据已知条件，请在BC上确定点P的所有位置；
（3） 结合图形，请求出满足条件的BP的长.
在问题的引导下，学生呈现出如图7所示的图形，利用图形的直观性，问题得以轻松解决.求解完成后，教师引导学生继续观察并抽象图形， 进而推导出如图8所示的“一线三等角异侧模型”.
设计意图 通过典型练习，一方面加深学生对“一线三等角同侧模型” 的理解， 另一方面为理解“一线三等角异侧模型”打下基础.在这一环节，教师通过简化问题，增强了学生的解题信心，提高了课堂参与度.解题完成后，教师又引导学生抽象图形，掌握“一线三等角异侧模型”.通过模型完善，一步一步地培养学生的建模意识，锻炼学生的图形识别和应用能力，促进学生数学思维能力与素养的发展.
问题4 如果在图8的基础上将问题变一变，你想怎么变？可以得到怎样的结论？
师生活动 学生根据探究经验提出将图8中的直角变为任意角.教师预留时间让学生独立证明并验证结论.
设计意图 将直角推广至任意角，进一步完善了“一线三等角异侧模型”.至此，在问题的引导下，学生通过探究完善了“一线三等角相似模型”的所有情况，为后续模型的应用奠定了坚实的基础.
3. 应用模型，提升思维
问题5 如图9，已知△ABC是等边三角形，在BC 边上任取一点D， 折叠△ABC， 使点A与点D重合， 其折痕为MN. 若BD/DC=2/3， 则AM/AN =____________.
变式：如图10，在等腰三角形ABC 中，AB = AC，点D 是BC 边的中点，且∠MDN=∠B，结合已知条件，请找出所有的相似三角形.
设计意图 通过实际应用，一方面加强和巩固模型，另一方面让学生切身体会到学习模型的必要性，进而提高解题效率.
4. 归纳总结，构建体系
问题6 本节课我们重点研究了哪些内容？你有哪些收获？
师生活动 教师预留时间让学生归纳总结，逐渐建立起“一线三等角相似模型”体系.在此过程中，教师引导学生探究各种模型之间的差异与联系，将孤立的模型串联起来，进而构建起一个完整的“一线三等角相似模型”体系.
设计意图 课堂小结是深入理解知识，建构个体知识体系的重要一环.在日常教学中，教师应安排足够的时间，让学生进行归纳总结，以完善知识结构，使思维条理化，为知识的应用奠定坚实的基础.同时，教师还应引导学生经历模型构建的各个阶段，以提升他们掌握数学知识的能力、建模技巧能力以及思维能力.
5. 综合应用，升华思维
问题7 如图11，已知直线l1：y =-2x+4分别与x轴，y轴交于A，B两点， 将△AOB沿直线l1翻折，得到△PAB.
（1） 求点P 的坐标；
（2） 过点P 作直线l2，使之与直线l1的夹角为45°，试求l1与l2交点的坐标.
师生活动 略.
设计意图 建构模型既是解题的重点，也是解题的难点.在解题过程中，教师应引导学生应用构建的模型来探究三角形的相似性或全等性，进而研究边角关系.学生通过综合运用函数、方程等数学知识，灵活地解决了问题.这一过程不仅有助于学生巩固基础知识，还能促进学生基本技能的强化，有利于提升学生的数学解题能力和数学思维能力.同时，通过应用“一线三等角相似模型”和“一线三等角全等模型”，有助于培养学生数学建模意识，进一步发展学生数学核心素养.
教学思考
在本次教学中，教师从学生的最近发展区出发，通过创设由浅入深的问题引导学生经历模型抽象、完备、整合、应用等过程，助力学生逐渐建构起完善的“一线三等角相似模型”，培养学生用数学建模思考问题的学习习惯［2］ .同时，通过创设有效问题为学生思维搭建起进阶的梯子，使学生的数学能力和思维能力螺旋式上升.
1. 以问题为主线，驱动模型生成
数学模型注重对学生逻辑思维能力和数学语言表达能力的培养，将数学模型应用于解题过程，不仅可以优化解题过程，还可以提升解题效率.由此可见数学模型对学生学习、研究数学都具有十分重要的意义.在初中数学教学中，为了让学生能够深刻地理解模型并灵活应用模型解决问题，笔者并未采取讲授的方式直接将模型告知学生，而是通过创设层层递进的问题引导学生经历数学模型建构过程，通过自身体验让学生掌握建模方法，发展学生的建模意识.
在教学中，教师从学生熟悉的“一线三等角全等模型”出发，引导学生通过类比提炼“一线三等角相似模型”.为了进一步完善模型，建构“一线三等角相似模型”体系，教师继续引导学生将“直角”变为“锐角”或“钝角”，将“同侧”变为“异侧”，通过合理化整合与优化，帮助学生建构起完备的“一线三等角模型”体系，有效地训练了学生的“四基”“四能”，全面提升了学生数学能力和数学素养.
2. 以学生为主体，助力思维提升
众所周知，优秀的课堂教学应鼓励学生主动参与.在日常教学中，教师应尊重并信任学生，根据学生的认知发展规律，设计既符合学生认知水平又具有挑战性的问题，在解决问题的过程中，有效地提升学生的思维能力和学习能力.
例如，在抽象模型的教学过程中，教师将直角三角板置于直角坐标系内，引导学生自行构建、自主发现和自行类比，通过自主探究抽象得出“一线三直角模型”.在此基础上，教师鼓励学生变化角度，将直角概念推广至任意角，让学生运用已有的知识和经验进行验证，进而完善和构建同侧模型.在这一过程中，教师并未机械灌输，而是根据学生思维发展的脉络，适时地进行启发和指导，激发学生的主体性和积极性，促进其思维能力的发展.又如，学生在应用相关知识解决问题时，教师并非简单地将解题步骤告知学生，而是结合独立思考与合作交流的方式，引导学生进行思考、交流和建构，以此激发学生的潜能，帮助其思维能力和学习能力的全面提升.
总之，在初中数学教学中，教师应深入研究学生的需求，精心设计问题情境，注重引导学生经历模型的构建、完善及应用等环节.通过让学生在最近发展区解决问题，帮助他们构建新的知识体系和技能，从而有效地提升数学思维能力和数学学习能力.
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