“引导-发现”教学模式在初中数学课堂的应用与思考

［摘要］“引导-发现”教学模式强调学生的主体作用，重视学生发现、提出、分析和解决问题能力的培养. 在日常教学中，教师应注重创设有效的教学情境，引导学生主动发现、提出问题，并鼓励学生主动解决问题. 通过亲身体验知识的发现与形成过程，推动学生全面发展.

［关键词］“引导-发现”教学模式；过程；全面发展

在传统的数学教学中，尤其是在概念、性质、公式等基础知识的教学中，部分教师为了“求快、求多”，常常采用“讲授+练习”模式让学生识记、套用.这种模式不利于学生学习能力和思维能力的提升，还容易引发学生的厌倦情绪.因此，在日常教学中，教师应重视引导学生参与知识的形成过程，鼓励学生自主发现、自主探索、自主应用，让学生逐步形成适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力［1］.在这一思路的指导下，初中数学教学应迅速采纳“引导-发现”教学模式，以满足数学核心素养的培育要求.在该模式下，“引导”主要针对教师而言，而“发现”则聚焦于学生.教师的引导旨在促进学生的自主发现，两者呈相辅相成关系.引导与发现相互依存，引导不应简化为铺设现成的道路，而应激发学生更深层次的发现.尽管“发现”本质上属于学生，但鉴于初中生的学习能力和认知特性，他们的“发现”过程无法完全独立.因此，教师必须超越传统的教学观念，从辅助学生发现的角度出发，培养引导技能，促进学生数学学科核心素养的健康发展，这无疑是对许多教师发起了重大挑战.教师在继承优秀教学传统的同时，构建以学生为中心的教学理念，在实践中不断积累经验，提升教学水平.在教授“角平分线的性质”时，笔者运用“引导-发现”教学模式，有效地激发了学生的学习兴趣，并促进了他们的个性发展.

教学过程

1. 创设情境，激发探究欲

情境：小明的家正好位于自来水管道和天然气管道所形成角的平分线上的P 点.若需从P 点铺设两条管道，分别连接自来水管道和天然气管道，如何铺设才能使总距离最短？这两条管道的长度存在怎样的关系？师生活动 教师让学生画一画、量一量， 猜想这两条管道的长度相等.

设 计意图 以生活实例为背景，引导学生复习并巩固角平分线的概念，同时直观地感受角平分线上任意一点到两边的距离相等，能有效地激发学生的探究兴趣.学生的探究兴趣一旦被点燃，他们在学习过程中更容易有所发现，从而为“引导-发现”教学模式的实施打下坚实的基础.

2. 探究角平分线的画法

师 刚才你们是如何画一个角的平分线的？

生1 我是凭感觉画的.

师 还有没有其他方法呢？

生2 可以使用量角器来画.

师 是个办法，不过这两种方法都会产生误差.你能利用其他方法准确地画出已知角的角平分线吗？（学生积极思考）

生3 可以使用尺规来画.

师 请大家先动手画一画，说说你们的发现.（教师预留时间让学生动手操作）

生4 根据情境可知，我们要画∠AOB的平分线OC，而两点确定一条直线，点O 不变，因此我们只需确定另一点C的位置即可.

师 那么，点C 在哪里呢？

生5 我们可以倒过来想，如图1，假设点P 是∠AOB 平分线上的一点，过点P 作PD ⊥ OB于D，作PE ⊥OA于E.结合角平分线的概念及三角形全等经验易证△OPE≌△OPD，所以OE=OD. 分别以点D和点E 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交点就是所求的点C.

师 很好.从刚刚的情境入手，发现图1中蕴含的等量关系，通过逆向推理找到了解决问题的突破口.仔细分析以上过程，谈谈你们的发现.

生6 点D 和点E 是在已知点P是∠AOB的平分线上的点的前提下找到的，如果不清楚点P 的具体位置，我们该如何寻找OE=OD呢？

生7 以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交∠AOB 的两边于点D和点E，由此可得OE=OD.

师 补充得非常好.现在，请大家总结归纳作角平分线的方法，并利用该方法作一个已知角的平分线.

在教学中，教师应预留时间让学生动手操作，并指导学生将操作步骤一一记录下来.当大部分学生完成任务后，教师应利用投影仪展示学生的作品，并邀请学生口头描述绘图过程，然后让学生相互点评.通过这种动手实践和口头表达的方式，能够使学生更深入地理解角平分线的画法，同时锻炼他们的语言表达技巧，有助于培养学生的逻辑思维能力.

设计意图 教师从学生的已有知识和经验出发，引导他们经历一个从无到有的自主探究过程，使他们能够发现、理解并掌握已知角的平分线的画法.在这个过程中，教师以学生为中心，运用发现式探究方法，有效地激发学生的数学思维能力和推理能力，促进理性思维习惯的养成.深入研究学生的学习过程不难发现，学生最初大多是依靠直觉来画角平分线，也有学生尝试使用量角器，这些都是基于直觉的解决数学问题的方法.这时，教师应引导学生从直觉走向理性，即让学生超越直觉认识，将解决问题的思路建立在作图工具和数学知识的基础之上，这就是学生的发现过程，既有学生的初步探索，也有成功之后的深入研究.可以说，学生是在自身成就动机的推动下进行深入研究的，而教师则发挥了关键性的引导作用.

3. 探究角平分线的性质

师 在研究几何图形时，我们通常遵循哪些思路呢？

生8 以平行线为例，我们首先探讨其概念，随后深入研究其性质、判定定理以及应用.

师 我们已经掌握了角平分线的定义，并熟悉了角平分线的画法，接下来你们希望探索哪些内容呢？

生齐声答 角平分线的性质.

设计意图 教师通过引导学生将新知识与已有知识进行类比，不仅顺利过渡到下一个研究主题，而且帮助学生领悟到数学知识之间存在某种内在联系，这对于培养学生的理性思维和构建数学知识体系具有积极意义.

师 请大家按照如下步骤作图：①任意画一个∠AOB；②作∠AOB 的平分线OC；③在OC 上任取一点P，过点P 作PE ⊥ OA， PD ⊥ OB， 垂足分别为E，D.

师 由于大家所作的角的大小各不相同，因此得到的图形也各不相同.分析这些不同的图形，你认为有哪些是保持不变的？又有哪些是发生了变化的？

生9 大家所作的角的大小各不相同，所以角的大小是变化的；由于点P 是OC 上的任意一点，因此点P 在OC 上的位置是变化的；随着点P 的位置的变化，PE，PD 的长度也会随之变化，不过，无论点P 的位置如何变化， ∠PEO = ∠PDO =90°和PE = PD 始终不变.

师 分析得非常好，在变与不变中找到了两个相等关系. 那么，PE = PD 为什么始终不变呢？你们能给出具体的理由吗？

生10 根据已知条件均可证明△OPE≌△OPD，所以PE = PD.师 结合以上变与不变的关系，请说一说你们的发现.

生11 无论∠AOB 的大小如何变化，以及点P 在角平分线上的位置如何变化，总有PE = PD.也就是说PE = PD 与角的大小及点P 在角平分线上的位置无关.

师 你们能用数学语言进一步归纳总结这一发现吗？

教师引导学生进行归纳总结，并组织学生互动交流.随后，教师总结讨论内容，得出角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

师 对于这一性质定理，如何证明呢？

教师启发学生思考已知条件和结论，然后结合已知条件画出图形，利用符号语言表示已知和结论，最后运用所学知识进行逻辑证明.

师 你能将这一性质定理转化为一道证明题吗？

生12如图1，已知OC平分∠AOB， 点P 是OC上一点， 作PE ⊥ OA 于E， 作PD ⊥ OB 于D，求证：PD=PE（证明过程略） .

设计意图 教师渗透变与不变的思想方法，引导学生在变化中逐步辨识出不变的实质，进而掌握角平分线的性质.在此过程中，教师鼓励学生运用所学知识进一步验证角平分线的性质定理，以此深化对角平分线性质定理的理解，并提升学生的数学推理能力.

4. 应用练习，理解新知

例1 如图2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， 且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分别为E，F.求证：EB = FC.

师生活动 例1的难度适中，教师首先让学生独立证明，随后引导学生阐述证明思路，最后教师展示完整的证明过程.在例1得到妥善证明之后，教师接着提出两道变式题目：

变式1：在△ABC 中，若∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥ AB 于E，F 在AC 上，且BD =DF，求证：CF = EB.

变式2： 在△ABC 中，若∠C =90°，AD是∠BAC的平分线，DE ⊥ AB于E，BC = 8，BD = 5，求DE.

设计意图 教师引导学生直接运用角平分线的性质定理解决问题，以进一步巩固和加强角平分线性质定理的理解，提升学生的数学知识应用能力.同时，在这一过程中，通过一题多变策略，可以有效地拓展学生的数学思维，拓宽解题思路，进而培养数学知识的运用能力.

5. 课堂小结，促进内化

师 通过本节课的学习，你们有哪些收获？还存在哪些困惑？请从知识、技能、思想方法等方面谈谈你们的想法.

师生活动 教师引导学生进行归纳，鼓励他们主动交流，最后由教师进行总结，营造一种充满活力的课堂氛围.

设计意图 教师安排时间让学生归纳总结，能有效激发学生的主动参与意识，提升学生的数学语言表达能力和归纳总结能力，促进知识和思想方法的内化.

教学思考

在初中数学教学中，教师应注重对学生的引导作用，鼓励他们积极投身于知识海洋的探索.重视并运用“引导-发现”模式，促进教学过程的持续改进，从而提高学生的综合学习能力和学习水平［2］ .在日常教学中，教师不仅要关注学生对知识和技能的理解与掌握，还应注重思想方法和情感态度的全面发展.这样，学生在学习过程中不仅能获得知识，还能将学到的数学思想和数学方法应用于其他问题的分析和解决，从而达到培养终身学习能力的目的.

“引导-发现”模式的应用，能够为学生在数学知识的学习与运用中带来良好的学习体验和精神状态——这是一种既满足学生认知发展又关照情感需求的教学方式，同时也有助于构建师生之间更加自然和谐的教学关系.教师必须深刻认识到数学教学并非是让学生机械记忆数学概念，然后用于解答问题的过程，数学教学应是学生在内在动机驱动下主动构建数学知识，并在此过程中掌握数学思维方法、提升数学学科核心素养的过程.这种教学方式对于学生而言，通常意味着一种无压力的、纯粹的数学探究经历，而探究过程中产生的各种情感体验，又可能进一步激发学生的学习热情，推动他们向更高层次迈进.丰富的教学实践证明，当学生处于主动探索的学习状态时，教师自然而然地转变为适时的引导者角色.因此，教师需要培养观察学生学习过程的能力，识别学生在哪些环节需要引导，以及引导应达到何种程度……通过这种“引导”，学生的“发现”能力将得到有效提升.从此视角审视上述案例，我们发现无论是问题的设置与提出，还是变式的提供，本质上都是在学生探索过程中进行引导的尝试，而学生确实在这一过程中实现了持续成长.

深入分析上述案例，我们发现在本课程的教学实践中，教师十分注重融入变与不变的思想方法.引导学生观察变化的图形，学生从中发现了一个不变的规律：无论角的大小如何变化，角平分线上的任意一点到两边的距离总是相等.这一发现让学生在变与不变之间归纳出角平分线的性质定理.此外，教师在教学过程中鼓励学生独立思考、主动探索和相互交流，在独立思考与合作探究中激发思维碰撞的火花.这种方法能有效地激发学生的主动性和积极性，提升他们分析问题和解决问题能力.

总之，在日常教学中，教师应注重引导学生主动探索数学知识，让学生主动发现、提出、分析和解决问题，切实提升学生参与课堂的积极性，培养学生勇于实践、敢于探索的学习精神，发展学生的数学能力和数学核心素养. 教师应摆正自己作为“引导者”的角色定位，并且恰如其分地发挥“教学”作用，进而巩固数学学科核心素养发展的基础.