挑战彭加勒猜想

（文 / 鲁伊）

从去年11月开始，一个名字就开始在数学界里越来越多的被人提起。从麻省理工学院到纽约大学石溪分校，在世界上最顶尖的数学家云集的圈子里，人们在窃窃私语：你听说了吗，就是那个来自圣彼得堡的家伙，俄罗斯科学院斯捷克洛夫数学所(Steklov Institute of Mathematics of Russian Academy of Sciences)的格里高利·普里曼(Grigori Perelman)，在闭关工作8年之后，终于要把彭加勒猜想证出来了！

小圈子里的议论持续了小半年之后，终于在今年4月15日成为一个公开的话题。这一天，《纽约时报》等众多媒体纷纷报道，彭加勒猜想(Poincare Conjecture)，这个当今世界上最著名的未被解开的数学难题、克雷数学研究所悬赏100万美元求解的“千年七大数学问题”之一，已经被普里曼证出。Wolfram数学世界上发布的消息说，“彭加勒猜想这一次看起来真的是被证明了”。

数学的事情总是说起来话长。1 904年由亨利·彭加勒提出的“彭加勒猜想”虽然还不足百年历史，但由于它在拓扑学中的重要意义和求证的困难，从一开始，这个猜想就被数学界给予了极大的关注。

三维流形拓扑理论专家、现任北京大学数学研究所副所长的王诗宬教授介绍说：“彭加勒猜想说的是，每一个单连通的、封闭的三维流形都与一个三维球面同胚。也就是说，单连通是指在这个三维流形中的任意一条封闭曲线都能够连续的收缩成为一点。”

南开大学数学研究所的“长江学者”、第三世界科学院院士、整体微分几何专家张伟平教授用地球的例子来解释流形(manifold)这个拓扑学上的基本概念。“我们都知道，地球是一个球，但从我们身处的周围环境来看，它又是一个平面。我们站在南极一端，是看不见北极的。如果把地球看成一个空心球，那么，它就是一个拓扑学上的流形，具体的讲，是一个二维球。”而所谓的封闭曲线，张伟平指出，可以将它想象为一条橡皮筋。因为在拓扑学中不考虑长度和形状，只关注点对点的关系，这条橡皮筋可以任意拉伸收缩改变形状，但总体上却不改变它是一个闭合的曲线的性质。

“用现实的例子来讲，一个篮球就是一个单连通的封闭的二维流形。而三维球面可以想象为将两个铅球——注意它是实心的——的表面逐点粘合起来。虽然在三维空间中这是无法想象的，但在拓扑学里，却是可能的。”王诗宬解释道，“而所谓的彭加勒猜想，就是说在一个三维流形中，如果任意一条橡皮筋都可以缩成一点，那么这个三维流形就一定是一个三维球面。”

即使采用如此通俗的叙述方法，对于一个拓扑学的外行来说，要听明白彭加勒猜想到底是怎么回事依然是很困难的一件事。同为“世界上最难解的数学问题”的费马大定理至少听起来要通俗易懂得多，乃至于王小波在小说中调侃，可以用画春宫的方式来说明费马大定理的证法。

“这正是彭加勒猜想和费马大定理的区别之处。可以说，它们是两种不同的数学问题。”王诗宬说，“就问题的本身来说，费马大定理的结果并没有什么应用意义，只是在解决这个问题的过程中，引发了数学家们去尝试各种新的方法，从而产生了许多有意义的结果。但彭加勒猜想则不同。它是拓扑学上最基本的问题之一，问题本身就非常重要、极有意义。把它弄明白了，拓扑学上的许多问题就会豁然开朗，迎刃而解。”

如此重要的问题，自然不乏数学家问津。王诗宬和张伟平提到，各国都有许多数学家一直在从事彭加勒猜想的求证工作，中国也有数学家尝试证明过彭加勒猜想。2002年5月，英国南安普顿大学的一位数学家马丁·道伍德(Martin Dunwoody)曾经宣称证出了彭加勒猜想，但在后来的审查中，他的证明被发现带有明显的缺陷。

普里曼的证明又是否经得住推敲呢？王诗宬指出，南加利福尼亚、麻省理工学院和斯坦福大学的众多数学家目前都在阅读和校验普里曼的论文。按照学界的惯例，现在还不能断定普里曼的证明一定是正确的。但是，普里曼证明彭加勒猜想所使用方法是与瑟斯顿(Thurston)和汉密尔顿(Hanmilton)提出的用几何方法解决拓扑问题的思路一脉相承的，而这已经被数学界认为是解决彭加勒猜想和其他一些拓扑学问题的正确途径。瑟斯顿曾因为这一思路的提出获得了1983年的菲尔茨奖。

“从普里曼发表的论文来看，数学界认为他的证明正确的可能性很大。”王诗宬介绍道，普里曼本人是俄罗斯非常优秀的一名微分几何学家，曾经在1994年的国际数学家大会上作过45分钟学术报告。如果他的证明被验证是正确的，他的声誉很可能将直追费马大定理的证出者威尔斯。然而，就像麻省理工学院的数学家托马茨·摩洛卡(Tomasz Mrowka)接受采访时说的，无论普里曼的结果是否正确，他的工作对拓扑学发展的贡献都是无可否认的，研究者都能从中学到许多东西。“无论如何，这都是一个皆大欢喜的局面。”

千年七大数学问题

为了在新千年中推动数学的发展，位于美国马萨诸塞州坎布里奇的克雷数学研究所(CMI)在2000年5月24日命名了七大千年悬赏数学问题(Millennium Prize Problems)，并为之设立了高达700万美元的奖金。CMI明确指出，这一奖金的设立是对1900年8月8日第二届国际数学家大会上希尔伯特著名的“希尔伯特23个数学问题”的一种纪念与传承。事实上，千年七大数学问题中的黎曼猜想正是希尔伯特23个数学问题之一。千年七大数学问题包括数学的多个领域。它们分别是计算机数学领域的P对NP问题，代数几何领域的霍奇猜想、拓扑学领域的彭加勒猜想、数论领域的黎曼猜想、数学物理领域的杨-米尔斯理论、流体力学方面的尼维亚-斯托克斯方程以及数论领域的柏斯和斯温纳顿-戴尔猜想。截止到目前为止，还没有任何一位数学家获得克雷数学研究所颁出的因正确解出这七个问题之一而设的100万美元奖金。如果普里曼的证明被权威学术杂志接受并发表，而且经过了两年的审查期，他很可能会和汉密尔顿(Hamilton)一起成为第一批分享千年悬赏数学难题奖金的数学家。

彭加勒何许人也？

彭加勒的全名是朱尔斯·亨利·彭加勒(Jules Henri Poincare)，有时他的名字也被译为庞加莱或庞卡莱。1854年4月29日，这位“法兰西历史上最伟大的数学家”出生于法国洛林的南锡市。彭加勒一家人才辈出。他的堂兄雷蒙德·彭加勒(Raymond Poincare)在第一次世界大战期间，曾经多次担任过法国总理，并出任法兰西共和国的总统。他的另一位堂兄卢西恩·彭加勒(Lucien Poincare)则是当时法国教育界举足轻重的人物。但英国数学家和哲学家罗素在提及彭加勒家族时却认为，只有亨利·彭加勒才当得起真正的、超越时代的法国伟人的称号，并在几百年后，依然被后人景仰和追念。虽然彭加勒在世时对罗素的逻辑主义颇不以为然，但罗素却是真正了解彭加勒的价值的人。

彭加勒  

彭加勒几乎符合通常人们心目中对天才的一切摹想——在数理问题上惊人的记忆力和直觉，以及一塌糊涂的体育、美术、音乐成绩。他的视力非常糟糕。一个与他的天才和糟糕的视力有关的故事是：小学时，一位教授曾经给他所在的班级讲述天体学，其他的学生看得一头雾水，彭加勒什么都看不清，但却凭借听力了解了行星之间的正确关系和距离。因为幼时患过白喉，彭加勒身体孱弱，而且四肢的协调性极差，两只手笨拙得几乎无法书写绘画。据说，他通常都是在大脑中将一个数学问题的所有关键环节都求证清楚之后，才付诸于文字。

彭加勒性情孤僻，终身没有一个学生，但他所涉猎的学术领域却相当之广泛。他是法兰西科学院惟一一个横跨所有5个分科——几何、力学、物理、地理与航海学——的院士。彭加勒被公认为自守函数研究、天体力学(动力系统与混沌的预见)和拓扑学的奠基人。此外，霍金在《时间简史》中提到，尽管通常人们将狭义相对论归功于爱因斯坦，但实际上彭加勒也对其形成起到了重要的作用——只不过作为数学家的彭加勒将其视为数学问题，而爱因斯坦的论证更接近物理而已。

彭加勒还是一个一流的科普作家，他写过三本科学哲学文集，分别是《科学与假说》、《科学的价值》、《科学与方法》。商务印书馆1995年出版过他的文集《最后的沉思》，言语尖锐而幽默，极具个性，文字相当好看。他的文字使他获得了一个法国作家所能获得的最高荣誉：被接纳为法国文学会的会员。

1912年7月17日，彭加勒逝世于巴黎。他是以全部数学为自己的研究领域的最后一人。一篇纪念文章说：“随着这个叫亨利·彭加勒的人的逝去，那个辉煌灿烂的、属于全能通才数学家的时代一去不复返了。”

拓扑学小常识：茶杯和多纳圈与传统的几何学相比，作为几何学分支的拓扑学更多的关注位置关系，比如外部、内部和边界。从拓扑学的角度看，乒乓球、篮球和橄榄球没什么分别，不过是球的不同形变。球和环则不一样。一个多纳圈无论怎么变，都变不成一个球——因为它中间有一个空洞。但一个多纳圈和一个带把儿的茶杯本质上却没有任何差异。