口算题

小学一年级第一学期的数学课，学的是20以内加减法，基本上分成这样几个步骤：5以内加减法、10以内加减法、连加连减和20以内加减法。除了课本及练习册，还有一本《口算题卡》，200多页，每一页有30道题或者36道题，要求在10分钟之内做完。对大人来说，这些题目没有任何难度，一分钟就能做完一页，但对小孩子来说，做完一页就要花好几分钟。我儿子每天都做一页，我看着他拿着笔做题，想起洛克先生的《人类理解论》。洛克说：“一个孩子如果还不会数七，并且还不知道相等这个名词及其观念，则他便不知道三加四等于七。不过在他会数七以后，在他知道相等观念以后，则你如果解释这些字（三加四等于七），他就会立刻同意那个命题，或者不如说是了然那个命题的真实。”洛克在完成一段有关“观念”及“公理”的描述后接着说：“一个人所以知道十八加十九等于三十七，则他所根据的自明之理（self evidence）亦同他知道一加二等于三时所根据的一样。而一个儿童所以不能如成人立刻知道这条命题，并不是因为他缺乏理性的运用，乃是因为十八、十九和三十七这三个数字所代表的观念，不能如一、二、三这三个数字所代表的观念那样容易获得。”

洛克讲了半天公理啊观念啊，就是不说“位值制”。搞明白十八加十九，要先明白个位和十位，学会进位，罗马帝国几百年都没有位值制的观念，也不知道把“0”加到运算中，现在的小孩子用一两个礼拜就弄懂了，这已经非常了不起。

1950年，有一个叫邱学华的少年，考上了常州中学的高中部，这是一所很好的高中，将来上大学不是问题。可到1951年，因家里出了变故，邱学华辍学去当泥瓦工，进会计培训班，他想尽快养家。有人介绍他去武进县胡庄乡塾村中心小学当代课教师，邱学华才16岁，就成了老师，教算术，还教体育、图画和音乐。17岁，邱学华就成了教导主任。他对算术课最感兴趣，并且发现，不管怎么教、怎么告诫孩子不要粗心，孩子还是会算错。他买到了一本《小学算术教学法》，苏联教育家普乔柯写的，书中说，口算教学有非常重要的意义，加强口算练习可以减少学生的计算错误。普乔柯介绍了一种口算教具——口算练习条，练习时挂在黑板上，各条的位置可以调换，可以组成很多口算题目，省去了教师书写小黑板或做口算卡片的麻烦。

邱学华照着样子做了一个口算练习条在课堂上使用，但这东西不方便，挂在黑板上，学生看不清，抬头看一题做一题，影响计算速度。邱学华便改成了一张表，每个学生发一张，照着表练习。邱老师的口算表分10行、15列，行列中都是个位数，两行加起来就当成是两位数，加法和乘法可以随意搭配，减法需要斟酌，除法更要限定，否则会除不尽。邱老师说，这一张口算表可以组成近万道四则运算题，供三年级学生使用。邱老师写了篇文章，题目叫《一张可以组成近万道题的口算表》，发表在1956年的一期《江苏教育》杂志上。20岁，邱老师成了县中心小学的校长，后来他考上了华东师范大学教育系，此后一生都致力于小学数学教育。

我看邱老师做的这张口算表，不禁感叹当年的纸张匮乏，不能印几千万本《口算题卡》给孩子用。不过，用20以内的数字，编出来几千道口算题也不容易，要不断变化形式，有加法减法，有连加连减，有填空，有进行比较（填大于号、小于号），小学生要用一年的时间练习100以内的加减法，这是成年人常使用的数学技能。

小学一年级算术中有一种教学方法叫“拆”，课本上讲到8、9这样的数字，会让孩子拆解，8是5加3，是4加4，是2加6，是1加7，是7加1，是6加2，等等。9是3加6，是6加3，是5加4，是4加5，等等。10是2加8，是1加9，是9加1，等等。拆解的过程就在“显示”加法交换律。心理学家说，小孩子在四五岁的时候，就能明白交换律，并且在做加法时采用“最小值计算方法”，比如做2加4，小孩子会转换，从4数两步，得到6，而不是从2走4步，得到6。“凑十”和“最小值计算”，是小孩子的计算策略。有实验证明，7岁儿童对两个数字进行相加的时间，会随着加数变大而成比例地增加。在计算5加1、5加2、5加3、5加4时，每增加一个单位，7岁孩子的每一个计算步骤大约增加400毫秒。1972年，美国卡内基梅隆大学的心理学家盖伊·格伦对大学生进行了一项测试，大学生做加法的时间也是一样的，数越小，算起来越快，数字增大，需要的时间也增加，每个单位大约增加20毫秒。这个实验说明，大学生的算术能力当然更快，但算18加19比算1加2更费时间，这是确定的。1978年，克利夫兰州立大学的学者提出，年轻人在进行加法和乘法运算时，不是在数数，而是从记忆中的乘法表或加法表中检索结果，运算的数字越大，检索的时间就越长，比如检索2加3或者2乘3的时间不超过1秒，但解决8加7或者8乘7，则需要1.3秒。学者们说，数字的大小影响记忆提取，大脑对数字进行表征的准确性随着数字的增大而迅速下降，我们对数字较小的加法和乘法进行过很多训练，对数字较大的乘法进行的训练则太少。

很多时候，我们跟巴西的蒙杜鲁库人没有太多区别。100多年前就有心理学家做过测试，他们向测试对象出示一些卡片，卡片上有若干个黑点，黑点不超过3个时，被测试者都能准确识别出来，一旦超过3个，错误率就会上升。这样的实验结果到今天仍然有效，人类感知到1个、2个、3个客体所需要的时间不超过1秒，但超过这个范围，速度和精准度就会显著下降。心理学家用“感数能力”这个名词来定义人们不用数数就能进行的计数过程，识别3个点组成的集合，大约只用半秒钟，跟大声读出一个单词或者识别一张熟悉面孔所需要的时间差不多。1967年，有一项测试，测量成年人判断两个数字大小所需要的精确时间，成人大约需要半秒钟完成，若两个数字的数值差别很大，如2和9，人们的反应速度很快，若两个数值接近，如5和6，他们的反应就会慢100毫秒。

法国神经认知科学家斯坦尼斯拉斯·迪昂对美国一群大学生做过一次测试，电脑屏幕上只呈现数字1、4、6、9，如果看到的数字大于5，学生们按右键，看到的数字小于5，学生们按左键。这个测试非常简单，看到1和4，按左键，看到6和9，按右键。测试一共进行了1600轮次，在1和9时，学生们反应速度很快，看到4和6时，反应速度就要慢一些。迪昂说，比较两位数大小时，也会出现类似的迟缓，比如71比65，小学生都会知道只要比较十位数大小就行了，但真的做起测试，人们判断71大于65所用的时间比判断79大于65所需要的时间更长。如果我们选择性地先注意左边的十位数的数字，我们在比较69和65时又会有困难。

斯坦尼斯拉斯·迪昂写了一本书叫《脑和数学》，他在书中说，我们比较两个阿拉伯数字大小的速度不仅与它们的间距相关，也与它们的大小相关，判断9大于8比判断2大于1需要更长的时间。决定人类区分两个数字大小的难易程度的参数并不是两个数之间的绝对距离，而是相对于它们自身大小的距离。从主观上来说，8和9之间的距离与1和2之间的距离并不相同。我们衡量数字的“心理尺”的刻度是不均匀的，我们倾向于把较大的数字压缩至一个较小的空间，我们的大脑表征数字的方式更像是对数尺度：1和2、2和4以及4和8之间是等距的。因此，计算的准确性和速度都不可避免地随着数值的增大而下降。

迪昂给出一个测试，计算机随机生成两组数字，你的任务是在不进行计算的情况下估计这两组自1到2000之间的数字的随机性和均匀性：

A：879，5，1322，1987，212，1776，1561，437，1098，663

B：238，5，689，1987，16，1446，1018，58，421，117

序列A以略大于200为间隔单位规则分布，序列B的数字呈指数性分布。很多人会觉得序列B的分布更均匀，因为它更符合我们对数轴的心理表征。数轴的心理表征是什么意思呢？迪昂说他经常在戴高乐机场二号航站楼产生错觉，过了安检口之后，数字大的登机口在左侧，数字小的登机口在右侧，这是违反我们内心的数轴的。我们使用的钱币，面值大小是1、2、5、10、20、50、100这样排列的，我们使用的尺度是毫米、厘米、分米到米这样排列的，我们习惯跟小尺度、小数字打交道。

迪昂还提到了语言中的数字，他说，我们可以打个赌，随意拿一本书，如果你在书中碰到数字4到9，你赢10块钱，如果碰到1、2、3，他赢10块钱。他说，1、2、3出现的概率是其他6个数字出现概率总和的两倍，在法语中，每70个单词出现一次1，每600个词出现一次2，每1700个词出现一次3，从1到9，数词出现的频率递减。这个检索结果让我想起中文成语词典里那几页以“一”开头的词条，还有老子所说的“一生二，二生三，三生万物”。

洛克先生说：“通过重复一个单位这个观念并且把这个观念加到另一个单位上，我们就构成一个以2这个词表示的集合观念。谁能这样做并能继续做下去，在他关于一个数的最后一个集合观念上总是再加1，并且能给它一个名字，谁就能够计数。”1786年，汉诺威公国不伦瑞克一所小学里的孩子们正是这样计数的，老师让他们做加法，从1到100，把这些整数都加起来。孩子们都在石板上计算，9岁的高斯很快得出了答案。我年幼时就听过这个故事，当时只记住了这个巧妙的算法，1加100、2加99……都等于101，101乘50等于5050。现在我会给儿子讲这个故事，我明白了，9岁的高斯已经非常理性地对待98、99这样的大数字，他心里的那根数轴非常均衡清晰。

后来我听到更炫的故事，拉马努金在剑桥生病了，哈代有一次去探望他，说自己坐的出租车牌号是1729，拉马努金说：“这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数的立方和的最小的数。”1729既等于1的三次方加12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次方。哈代问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉马努金想了想说：“这个数很大，是635318657。”它既等于59的四次方加上158的四次方，又等于133的四次方加上134的四次方。我知道很多初中生为解决有关一元三次方程的问题，会把1到9的立方都记下来，拉马努金这个故事有助于我们记住12的三次方是多少。

（参考书：洛克《人类理解论》；邱学华《邱学华论数学教育》；斯坦尼斯拉斯·迪昂《脑与数学》；费雷格《算术基础》） 数学