数学视野下的3D建模与实践

【摘要】直观想象能力作为人类智能构造中的一个重要组成部分，在高中数学教学中发挥着重要的作用。文章着眼于数学学科中的空间能力提升，注重STEM与数学课程的深度融合，通过将数学三视图与3D建模课程相结合，探索如何有效提升高中学生的空间立体感，辅助高中学生学习三视图与实物图的互相转换。以此为基础开发了STEM与数学学科融合的空间能力提升案例课程——巧借3D ONE学习数学三视图，包括案例设计、案例实施、案例分析与反思等。作为探索STEM与数学学科融合的新型教育模式，该案例课程产生了提升学生直观想象能力的教育成果。

【关键词】数学教学；3D建模；3D ONE；三视图

【中图分类号】G434【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2023）04—0107—06

一、引言

三维计算机图形学的认知与发展说明了未来的计算机学科教师应该能够开发计算机科学、物理、数学和其他学科中研究对象的三维模型和动画，创建带有三维插图的版权电子教育资源，将增强现实和3D打印应用于学科教学活动[1]。随着学科核心素养和空间能力越来越受关注，空间想象能力的提升在学科领域也日益受到重视[2]。新课标中指出数学是研究数量关系和空间形式的一门科学，其中数学建模和直观想象是重要的学科核心素养[3]。已有研究表明，在传统的数学立体几何教学中，通过手工绘制三视图、实体及其截面等来培养学生的空间能力，有助于提升学生的空间能力[4]。但是在数学立体几何教学中，由于教学条件的限制，没有太多的实体进行三视图、立体图形界面等绘制的分析锻炼，学生的学习和理解是非常困难的[5]。

随着计算机辅助设计的发展，计算机三维软件3D ONE所具备的特点与功能可以与高中立体几何初步相结合，3D ONE绘制的图形清晰、直观、修改方便，且可以从不同视角绘制、观察及打印3D实物图。高中数学课标中指出立体几何部分的教学应关注学生空间观念的逐步形成，遵循从整体到部分、从具体到抽象的学习原则，在教学过程中可以借助3D技术呈现与探究空间几何体的内部特征[6]。以3D建模为任务驱动学生学习，发展学生的数学核心素养，帮助学生认识空间结合体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，培养其创造力[2]。

“简单组合体的三视图”和“由三视图还原成实物图”是高中立体几何教学中学生初步掌握的一个基础且重要的知识与技能，每年高考都有一道关于三视图的选择题。同时，对于高中学生而言，直观想象能力在学习理科课程方面有重要的价值，培养与训练学生的空间立体感是学习数学立体几何的关键，但是授课过程中教师很难直观判断学生的空间构想是否正确[7]。因此，笔者借助3D建模软件设计教学活动，并将其付诸实践，辅助学生分析三视图，将学生的空间构想可视化；辅助教师考核三视图，从而提高教学效果。以此探究3D建模辅助高中学生学习三视图与实物图互相转换的效果，在立体几何教学中提升学生空间想象能力的有效性。

本研究中借助的3D建模软件是3D ONE教育版，具备简单易用的程序环境，不仅支持二维平面草图绘制和3D实体设计，而且拥有拉伸、分割、下载3D打印模型等多种功能[8]。

二、文献综述

（一）3D建模的教育研究

国外在探索3D建模与打印在教育教学中的应用起步较早。2012年，英国教育部及有关部门开展了将3D打印技术应用到学科教学的研究项目，且该项目获得了实际的成果，推动了3D打印技术在学科教学领域的应用。2013年，美国新媒体联盟发布的《地平线报告》提出3D打印技术在教育领域的应用会在未来四至五年内得到普及，并详细介绍了3D建模与打印技术。

随着打印技术的发展，我国大部分中小学都开设了3D打印课程，成为培养学生创新思维和创新能力的重要载体[9]。2015年，我国广州中望龙腾软件股份有限公司成立了青少年三维创意社区（简称i3DOne社区），该社区集课程、培训、认证、赛事活动、教学管理为一体，全方位服务科创教育师生，助力我国STEM教育事业的发展。同时，为响应落实国务院《新一代人工智能发展规划》及《全民科学素质行动规划纲要（2021—2035年）》，助力“双减政策”落地，我国的一些机构面向学生举行了一些3D建模与打印比赛，比如中望软件开展的第二届“中望杯”全国青少年科创教育成果展示大赛，以《逐梦航天，探索未来》为主题，面向小初高学生征集有想象力且有创意的3D设计作品，分小学、初中、高中学段评奖。

（二）数学教学中的3D建模应用研究

在美国，数学建模是当前K-12数学、科学和技术以及工程（Technology & Engineering，T&E）教育标准的关键组成部分，然而，数学建模在综合STEM课程中经常被忽视或低估，这可能归因于教师在综合STEM课程中整合与数学建模相关的内容和教学知识有限。Asempapa R S等人研究了数学、科学和T&E教师的数学建模知识和观点的变化，并将3D打印解决方案应用于综合STEM课程，结果显示这项研究对教师、学校、研究人员和专业发展提供者都有影响。

在中国知网上检索与“数学教学”和“3D建模”相关的学术文献，结果发现将3D建模应用到数学教学中的文献仅有19篇，尚处于起步阶段。华东师范大学孙江山的博士毕业论文《基于3D CAD的初中生空间能力提升研究》着眼于数学学科教育中的空间能力提升，将3D CAD应用到常规课程教学中，研究表明该方案能够显著提升初中生的三维空间想象力[10]。温州中学谢作如等人在文章《让3D建模和数学“强关联”起来——谈“数学建模和3D打印”课程的设计》中提出，利用参数化建模的方式将3D建模和数学“强关联”起来，不仅拓展了课程的深度和广度，还培养了学生的动手操作和创新意识及创新能力[11]。

基于以上经验，笔者以《巧借3D ONE学习数学三视图》案例课程为例，将数学教学与新兴科技相结合，探索如何有效提升高中学生的空间立体感，辅助高中学生学习三视图与实物图的互相转换，培养学生的创新思维能力，提高学生的空间想象和动手能力。

三、案例设计

（一）研究环境与研究对象

研究环境为计算机教室，教室由安装了3D ONE软件的教师机和学生机构成。研究对象选取的是A省B市附属中学高一年级《3D创意设计》校本课程的45名学生。

（二）研究计划

在课程开始之前，笔者设计了两套难易程度相当的空间想象能力测试试卷，内容围绕“简单组合体的三视图”和“由三视图还原成实物图”。采用智慧课堂在线作业形式进行课前、课后测试。一套试卷在学习“巧借3D ONE学习数学三视图”之前测试学生，用于了解该班学生空间想象能力的现状。另一套试卷在学习“巧借3D ONE学习数学三视图”之后测试学生，用于探究3D建模辅助高中学生学习三视图与实物图的互相转换的效果，验证该课程在教学中提升学生直观想象能力的有效性。

（三）研究思路

本研究以培养学生空间想象能力为目的。首先，通过文献阅读与调查研究，从当前存在的问题入手，说明研究的可行性与必要性。其次，结合一定的设计理论，选取较为典型的高中数学三视图内容设计案例，开发了基于3D ONE的STEM与数学学科融合的空间能力提升案例课程《巧借3D ONE学习数学三视图》，在3D建模的过程中训练与提升学生的空间想象能力。在课程结束后根据课堂效果、作品展示、师生访谈及空间能力测试试卷对学生进行评价，结合实施效果判断学生空间想象能力的发展情况，以说明研究的有效性。研究思路如图1所示。

四、案例实施

【课程名称】巧借3D ONE学习数学三视图

【授课对象】高一年级《3D创意设计》校本课程的45名学生

【学情分析】三视图是高中立体几何教学中的主要内容之一，学好三视图为学生后期根据三视图计算立体几何图形的面积与体积奠定基础。在初中阶段，学生已经学习了从简单几何体到三视图的单向转化，但是对于三视图的形成原理、投影关系以及由三视图还原成实物图还不清楚。本节课借助3D建模软件，学生通过观察和亲手构造立体模型，在构建模型的过程中锻炼学生的空间立体感，提升学生的空间想象能力。

【教学对象分析】高一年级《3D创意设计》校本课程班的学生具有一定的计算机操作基础，且已经学习过3D ONE软件的基本操作。

【教学目标】

信息意识：利用3D ONE软件搭建与呈现简单组合体的3D模型。

计算思维：综合运用3D建模思想分析三视图并进行3D转换。

数字化学习与创新：利用3D ONE软件的视图导航、搭建和拉伸、切割命令实现三视图与3D实物图的相互转换；学会制作简单组合体的3D模型，学会用恰当的技术语言与他人交流技术思想和分享成果。

信息社会责任：培养和锻炼学生在学习过程中善于利用工具和软件提高自身的分析能力；培养学生的数学建模和直观想象素养，体会技术创新的愉悦感。

【教学工具】PPT、铅笔、直尺、橡皮、圆规、3D ONE软件

【教学过程】

（一）简单组合体的三视图分析

“三视图→3D实体”的思维过程是需要强化和练习的，我们可以尝试借助3D ONE软件呈现3D组合实体，帮助学生认识简单组合体的结构特征，进一步掌握平面上表示空间图形的方法和技能，进行简单组合体的三视图分析，培养其创造力和空间想象能力。

教师指导学生借助3D ONE平台，利用平台“视图导航”功能先观察简单几何体（长方体、球、圆柱等）的不同视图，再观察由简单几何体组成的组合体的不同视图。教师演示3D ONE中点投影、线投影、面投影命令，师生共同探究简单组合体三视图的投影规律，绘制简单组合体的三视图。探究过程如图2所示。

教师提问：我们在分析简单组合体三视图的过程中，采用了什么样的方式？

学生回答：将简单组合体分割成多个简单几何体，观察组合体的每一部分，化繁为简，一步一步绘制简单组合体的三视图。

通过课堂师生探究，由易到难展示3D组合实体，总结出绘制简单组合体三视图的简便方法——“化繁为简”。即将组合体分割为多个简单几何体（长方体、球、圆柱等），将简单几何体相互增加、减少的方式，根据其方位关系逐步绘制三视图，在构成组合体的过程中完成三视图的绘制。

【学生活动】观察3D组合实体及构成3D组合实体的各个简单几何体，逐步绘制三视图，体验三视图投影关系在绘制三视图中的应用，发现三视图绘制规律；回顾简单组合体三视图绘制思路分析，转换思路到三视图还原3D实物图。

【设计意图】引导学生学会“化繁为简”分析简单组合体的三视图，并将其迁移到三视图还原3D实物图的分析中。为下节课《三视图还原3D实物图》的学习作铺垫。

（二）三视图还原3D实物图

三视图的绘制可以采用“化繁为简”的方式，三视图还原3D实物图是否可以采取类似的思路展开分析呢？一起来探究一下吧（如图3所示）。

通过课堂师生探究，利用“化繁为简”的方法，拆分三视图，形成清晰简单的图形。在3D建模的过程中，借助3D ONE平台，利用“增加材料/减少材料”的方法，使用平台中的“基本实体”“草图绘制”及“拉伸”命令，根据三视图方位关系逐步绘制3D实物图。在3D建模的过程中进一步让学生明确三种视图之间存在的密切关系，即“长对正（正视图与俯视图），高平齐（正视图与侧视图），宽相等（侧视图与俯视图）”。