基于知识原点实施结构化学习

摘 要 学习的过程就是利用已有知识经验进行迁移并建立知识结构的过程，结构化学习就是对碎片化知识的系统性建构。基于知识原点的结构化学习，是在知识产生的本源处，从知识和思维两个生长点上下功夫，实现学习的结构化。一是找准知识原生点，知识结构溯本求源；二是抓住知识连接点，知识经验自然迁移；三是把握知识和思维生长点，生长过程浑然天成。最终让学生在结构化学习的数学体验中积累数学活动经验，提高数学核心素养。

关键词 知识原点 结构化学习

我国数学家华罗庚说：“善于退，足够地退，退到最原始而不失重要的地方是学好数学的诀窍”[1]。这个“最原始而不失重要的地方”就是知识产生的原点，也是学习数学知识的起始点。基于知识原点的结构化学习就是以知识原点为起点，遵循数学知识的整体性、一致性、序进性特征，引导学生主动进行已有知识经验迁移，对新旧知识进行融合、重组，依托旧知识生成新知识，在知识和思维的结构化过程中，实现对“碎片化学习”进行“磁盘整理”，建构大单元系统的知识体系，培养学生的结构化思维，发展学生的数学核心素养。

一、找准原生点，知识结构溯本求源

学习新知识就是对原有知识经验的丰富和扩充。要帮助学生找到新知识中的本源性旧知识，从旧知识中找到学习的起始之处，即知识的原生点，通过知识和经验的双重迁移，完成新知识的学习和体系的构建。

（一）找准算理的原生点，筑牢知识结构化生长的基点

问题呈现：以苏教版六年级上册“分数除以整数”教学为例。

例1：有6升西瓜汁，平均分给2个小朋友，每人分多少升？4升西瓜汁每人分几升？[45]升西瓜汁每人分几升？

教学分析：此题的前两问是整数除以整数，学生不难计算，而最后一问是分数除以整数。此题难点在于要让学生真正理解分数除以整数的算理，而找到算理的原生点是理解算理的关键。教师首先引导学生理解分数的意义。具体地说，分母表示平均分的份数，分子表示有这样的几份，分数表示有几个分数单位。分数除以整数是把分数单位的个数平均分，也就是把分子表示的份数平均分，甚至是对分数单位进一步平均分，从而对分数单位进行细化。回到具体问题当中：[45]升西瓜汁平均分给2人，每人分几升，即算式[45] ÷ 2的算理表述就是：[45]表示杯里西瓜汁的体积，除以2表示把[45]升西瓜汁平均分成2份。由此我们可以看出，分数除以整数算理的原生点是分数的意义和平均分的概念。教师只有引导学生找到知识的原生点，才能让学生真正理解问题的实际含义，并以原生点为基点，促进学习的结构化生长。如果忽视了知识产生的本源，只关注某一课时知识，势必忽视知识的系统性和结构性，不利于学生建立起知识结构，从而产生大量的知识碎片。

（二）利用数形结合思想，验证算理

问题呈现：

师：结合图形（图1和图2）思考：把谁平均分了？怎样分的？

生1：把西瓜汁平均分了。

生2：把这样的4份平均分了。

生3：把分子平均分了。

生4：把这样的4份平均分成2份，一份就是[12]。

教学分析：为了让学生进一步理解[45] ÷ 2的算理，教师可以利用数形结合的思想进一步直观验证算理。图1是把一升的杯子平均分成5份，西瓜汁占了4份，再把这4份平均分成2份，一份就是[25]。图2是把一个长方形平均分成5份，取这样的4份，再平均分成2份，一份是[25]。数形结合的方式进一步验证了分数除以整数的算理。

（三）找准算法的原生点，促进思维的生长

接续之前学生的回答，教师进一步提问：

问题1：说清楚是谁的[12]？

问题2：[45]的[12]怎样写算式？结果是多少？

问题3：这个算式的结果与[45] ÷ 2的结果有什么关系？想到了什么？

教学分析：教师通过以上的几个问题，目的是让学生找出分数除以整数算法的原生点。通过图1与图2的数形结合的直观展示，学生可以得出[45] ÷ 2的结果为[25]，同时，根据之前学过的分数乘法[45] × [12]的结果也为[25]，引导学生组成一个等式[45] ÷ 2 = [45] × [12]，建构起分数除法与乘法的算法关联。学生进一步通过对等号两边算式的观察比较，归纳概括出“分数除以整数就是求一个数的几分之一是多少”，即找到分数除法的算法原生点。

学生围绕知识的原生点，全面深刻地理解了分数除以整数的算理和算法，既对除法的意义进行了扩充，又建立起分数除法与乘法的意义关联，也为后续学习整数除以分数、分数除以分数的算理和算法做好准备。同时，利用新知识的原生点，引发了观察、比较、推理，促进了思维的生长，经历了知识与思维的双重建构。

二、抓住连接点，知识经验自然迁移

布鲁纳说：“学习知识结构就是学习事物是怎样相互关联的。”[2]零散的只能称为“信息”，联结起来的才能称为“知识”。学习就是在学生的头脑中形成各学科知识的知识结构，要让学生发现那些看起来零散的“信息”是相互关联的，而且与他们已有的知识经验密切关联。教师要引导学生发现新旧知识之间联接的“桥梁”，即知识的连接点，促进知识经验的自然迁移。

问题呈现：以苏教版六年级上册“解决问题的策略”为例。例2：小明把720毫升果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满。已知小杯的容量是大杯的[13]，小杯和大杯的容量各是多少亳升？

教学分析：该例题是用假设的策略解决问题，本质上是低年级就学过的关系的传递性，即等量代换，就是用A表示B的代数问题。由此，我们可以清晰看到知识间的脉络和结构的连接点——代数。为让学生更好地掌握代数相关知识，教师可以设置前置练习题，意在唤醒以往的知识经验，找出新旧知识的连接点。

问题1.○ + ○ + □ = 25   □ = ○ + ○ + ○   ○ =  （   ）  □ = （   ）

问题2.甲乙两数的和是80，甲数是乙数的3倍，甲数是（    ），乙数是（   ）。

问题3.A = 3B，B + B + B + A + A + A = 12，A = （   ），B = （   ）。

问题4.上面的三道题有什么相同之处？

教学分析：问题1至3分别运用图形、字母、文字再现替换的方法，经历从图形表征、文字表征再到字母表征的一般性表征过程，体验两个量之间的倍比关系。紧紧抓住“等量代换”这一新旧知识的连接点，很自然地把新旧知识有机联系起来，不仅唤醒了代换的思想和方法，又为学习新知识搭建了“认知桥”。

在学习过程中抓住知识的连接点，学生就可以轻松、愉悦地进行知识和经验的自然迁移，不仅加强了对学习过程的体验，还分解了难点，降低了学习难度，有利于形成解决问题的策略意识，积累学习经验。在这个过程中，教师必须站在学生的位置思考学生是如何学习的，以最近发展区为目标导向，把学习材料多维度、多样化地呈现给学生，帮助学生抓住新旧知识间的连接点，引发学生进行知识经验的自然迁移，将新知识纳入已有的认知系统，实现学习策略的迁移和创新，从而达到结构化学习的目的。教师如果忽视了新旧知识的连接点，就丢掉了对知识本质的认知，学习便成了无源之水，失去了根基和生命力，造成知识结构和思维结构双链条断裂，终将导致学习障碍。

三、把握生长点，知识和思维的生长浑然天成

在找到知识的原生点和新旧知识的连接点后，教师要进一步引导学生如何促进知识和思维的结构化生长。知识的结构化生长包括对旧知识的融合、重组、改造，思维的生长包括对新知识的分析、综合、创新。知识和思维的生长只有达到从量变到质变的程度，才能让数学课堂具有本源性的活力。我们要把握住知识和思维的生长点，让结构化学习的成长浑然天成。

（一）把握知识的生长点，在对旧知识的融合、重组、改造中完成新知识的结构化生长

新知识的生长是在旧知识基础上的自然生长，教师要精准把握知识的生长点，促使学生在经历同化或顺应的过程中，建立起新知识结构。从学习过程的角度看，无论是同化还是顺应，本质上都是利用已有经验对旧知识融合、重组和改造，从而建立新的认识结构和知识结构。以“用字母表示数”一课教学为例，“用字母表示数”的难点在于让学生理解字母式子也可以表示数量，重点在于字母式子还可以表示数与数之间的运算关系。

1.第一阶段：从字母到字母式子的延伸。

问题1：小纸盒里有多少颗糖？大纸盒里有多少颗糖？用字母表示。（小盒里有a颗糖。大盒里有b颗糖）

问题2：如果把这两个装糖的盒子放在桌子上，你能写出怎样的算式？（a + b、b - a）

教学分析：问题1是让学生学会用不同的字母表示不同的量，用字母a表示小盒里糖的数量，用另一个字母b表示大盒里糖的数量。在此基础上，问题2进一步引导学生用字母式子表示量，即用小盒子里的数量加上大盒子里的数量或用大盒子的数量减去小盒子的数量，并用含有字母的式子表示出来（a + b、b - a），学生在写算式的过程中，真正感悟到不仅字母表示数，用含有字母的式子也可以用来表示数，求异思维得到发展。

2.第二阶段：从数到数量关系的生长。

问题3：a + b、b - a表示量外，还表示什么含义？

教学分析：学生在理解字母和字母式子都可以用来表示量后，进一步引导学生理解字母式子所表述的具体含义：a + b表示两个盒子一共有多少颗糖，b - a表示大盒子比小盒子多多少颗糖，即表示的是数量之间的和差关系。从字母可以表示数逐渐生长过渡到字母式子还可以表示数量关系，本课的难点在自然生成中得以突破。

3.第三阶段：从和差关系到倍数关系的扩展。

问题4：除了和与差两种关系外，两个盒子里糖的数量会有其他关系吗？怎样表示这种关系呢？（b ÷ a）

教学分析：由和差关系的经验，自然可以引申到还有可能是倍数关系，即用式子b ÷ a表示，表示大盒子里糖的数量是小盒子里糖的数量多少倍。

由上例可以看出，知识生长过程具有阶段性。学生在从字母到字母式子，以及数量之间和、差、倍的关系逐步自然的迁移中，学会了用含有字母的式子表示和、差、倍等数量关系，本节的教学难点、重点得到深化理解。

（二）把握思维的生长点，在冲突矛盾中促发高阶思维

斯托利亚尔说：“数学教学是数学活动（思维活动）的教学，而不仅是数学活动结果——数学知识的教学。”[3]数学学习过程就是思维活动的过程，就是思维由具体到一般的抽象过程。思维的生长是在知识结构化的过程中，通过分析、综合、创造等思维活动，逐步建立起有意义的高阶思维活动。教师要善于制造有价值的思维冲突，培养学生的批判性思维，让思维活动具有延展性，更利于进行深度的结构化学习，达到“会学习”的目的。以“分数的加法”为例：

制造矛盾冲突：

问题1：图3有有几朵花？有几朵红花？红花占总数的几分之几？

（一共有2朵花，1朵红花，红花占总数的[12]。）

问题2：图4有有几朵花？有几朵红花？红花占总数的几分之几？

（一共有5朵花，1朵红花，红花占总数的[15]。）

问题3：两幅图合起来（图5）一共有几朵花？有几朵红花？红花占总数的几分之几？（一共有7朵花，2朵红花，红花占总数的[27]。）

结论：[12] + [15] = [27]

教学分析：教师要充分利用学生开始学习时产生的“错误”，把“错误”当作一种学习资源，让学生在思维碰撞中自主探究，通过推理、验证得到正确结论，在化错中前行。不难看出，得出错误结论的原因是分数[12]、[15]与[27]使用了不同的分数单位，也就是说单位“1”不同，所以分数不能直接相加。从分数意义角度理解，分数[12]、[15]分别以2朵和5朵作为单位“1”，[27]是以7朵花作为单位“1”，分数之间必须使用相同的分数单位才能进行加、减运算。为了培养并发展学生的批判性思维，学会运用批判性思维探求真理，引入悖论，制造一个更高级的思维冲突，从而使学生深度理解异分母分数加减法的算理是相同计数单位（即相同的分数单位）相加减，计数单位相同是前提。

数学的学习要基于知识原点。教师要以知识原点为基点，站在知识系统的高度和结构化学习的角度去思考设计教学活动，让导与学融为一体。教师要引导学生从源头入手，促进知识和经验的迁移，逐步建立起完整的知识结构、有序的思维结构。学生在体验结构化学习的过程中，不断积累数学活动经验，感受到数学的独特魅力，从而构建有生命的数学课堂。

[参 考 文 献]

[1]顾迈南.华罗庚传[M].上海：复旦大学出版社，1998：22.

[2]布鲁纳.教育过程[M].邵瑞珍，译.上海：上海人民出版社，1973：30.

[3]斯托利亚尔.数学教育学[M].北京：人民教育出版社，1984：70.

（责任编辑：杨红波）