融合思政元素的工科概率统计与随机过程案例设计

［摘 要］概率统计与随机过程作为研究并揭示随机现象统计规律性的数学分支，是利用数学知识解决复杂工程问题的理论基础。在工科专业人才培养过程中，学生人文素养的培养是不可忽视的重要环节。因此，在概率统计与随机过程课程教学过程中，可将理论知识与工科专业背景相结合，引入融合思政元素的工科课程教学案例，帮助学生更好地理解理论知识、提升个人素质与修养。

［关键词］概率统计与随机过程；课程思政；教学案例；工科专业；大学教育

［中图分类号］G641 ［文献标识码］A ［文章编号］2095-3437（2024）23-0107-04

2016年，全国高校思想政治工作会议在北京召开，习近平总书记出席会议并发表重要讲话。他强调，高校思想政治工作关系高校培养什么样的人、如何培养人以及为谁培养人这个根本问题，要坚持把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人，努力开创我国高等教育事业发展新局面。

概率统计与随机过程课程是重要的自然科学类核心基础课程，包含概率论、数理统计和随机过程三大模块[1]，其与科学实验和工程实践存在密切联系，是信息论、可靠性理论、人工智能等前沿学科的基础。在课程教学过程中，应将理论知识与工科专业背景相结合，设计相关教学案例，有助于学生更好地提升理论水平与实践能力。与此同时，应在案例教学中融入思政元素，将知识传授和价值引领相结合，通过潜移默化、循循善诱的方式，帮助学生树立正确的世界观、人生观和价值观，加强学生个人素质与修养的培养[2-4]。

在上述背景下，本文将设计具有工科专业背景、课程思政育人元素的教学案例，并将教学案例与原有课程知识体系相融合。

一、战术上重视、战略上轻视——小概率事件

例1 中国民用航空局发布的《2023年民航行业发展统计公报》显示，2023年，民航安全运行平稳可控，运输航空百万架次重大事故率十年滚动值为0.0249。从中可以看出，飞机发生事故的概率非常小，是目前最安全的交通工具之一。假设每架飞机每次飞行时是否发生重大事故相互独立且概率相同，试计算在累计经历过1万次、10万次、100万次、1000万次飞行后，飞机发生重大事故的概率。

解 根据题意可知每万架次飞机发生重大事故的概率为0.0249%。设飞机发生事故的次数为[X]，则经历过[n]万次飞行后，飞机发生重大事故的概率为

[P{X≥1}=1-P{X=0}=1-（1-0.0249%）n]。

当[n]分别取1，10，100，1000时，飞机发生重大事故的概率具体为

1万次：[P{X≥1}=0.0249%]

10万次：[P{X≥1}=0.249%]

100万次：[P{X≥1}=2.460%]

1000万次：[P{X≥1}=22.044%]

课程思政教学 通过对飞机发生重大事故的概率的计算，帮助学生辩证地看待小概率事件，培养学生的辩证思维能力。一方面，不用过分关注小概率事件，避免因噎废食。另一方面，只要重复次数足够多，即使是小概率事件，其发生也具有必然性。因此，对于小概率事件，应该做到战略上轻视、战术上重视，尽可能降低飞机发生重大事故的概率，同时减小重大事故的影响。

二、事故调查有方向——贝叶斯公式

例2 马航MH370航班在2014年3月8日从吉隆坡飞往北京途中失踪，事件引起了国际社会的广泛关注。对MH370航班实施的涉及多国的搜寻是航空史上规模最大、成本最高的搜寻之一，根据卫星数据分析，搜寻重点放在印度洋南部的偏远海域。长时间的搜寻尽管使用了深海潜水器和其他先进技术，但并没有找到飞机的主体部分。

假设飞机坠落在甲、乙、丙、丁四个区域之一，搜救部门判断其概率分别为0.1，0.2，0.6，0.1。现打算逐次搜索不同的区域。若飞机坠落在某个区域内，搜救部门在该区域搜索一次后发现飞机的概率为0.5。问：若首次搜索丙区域后，未发现飞机，则此时飞机落入四个区域的概率是多少？第二次应该搜索哪个区域？

课程思政教学 贝叶斯公式可以帮助搜救团队在有限的信息和资源下，有效地更新和优化搜救策略。应让学生认识到在实际生活中经验固然是宝贵的，但是任何事物都处在发展变化之中，需要不断挖掘和发现新信息，合理调整对事物的认知，这样才能做出更好的决策，避免教条主义。

三、质量控制有手段——正态分布

例3 在药品生产过程中，要加强质量控制，不断优化生产工艺，以达到产品质量持续可控的目的。在阿莫西林胶囊质量的过程控制中，通过对目标产品全过程检验数据的分析，确定影响制剂成品的关键质量属性（CQAs）为阿莫西林闭环二聚体[5]。

假设产品质量特性值[X]服从正态分布[N（μ，σ2）]，且根据国家标准GB/T 17989.2—2020《控制图第2部分：常规控制图》设定制剂成品CQAs的控制界限为[μ±3σ]，即取[μ±3σ]作为上下控制界限，位于该范围内的产品即为合格产品，利用正态分布的“[3σ]准则”控制药品生产质量。

问：（1）制剂成品CQAs的合格品率是多少？（2）若将控制界限设置为[μ±2σ]，制剂成品CQAs的合格品率变为多少？（3）根据上述结果，若制药工厂在生产过程中实行“[3σ]准则”，相较于“[2σ]准则”，为什么会导致使用同一个品牌的产品，但不同用户的疗效会有较大差异？

解

（1）制剂成品CQAs的合格品率为

[P{μ-3σ≤X≤μ+3σ}]

[=Φ（3）-Φ（-3）=99.74%]。

（2）若将控制界限设置为[μ±2σ]，制剂成品CQAs的合格品率变为

[P{μ-2σ≤X≤μ+2σ}]

[=Φ（2）-Φ（-2）=95.44%]。

（3）根据上述计算结果可知，当实行“[2σ]准则”时，有4.3%的产品被判定为不合格品，而这些产品在实行“[3σ]准则”时会被判定为合格品。因此，若用户刚好买到这部分产品，则更容易导致药物疗效不稳定，即买到了“合格品中的次品”，这解释了使用同一个品牌的产品，实行“[3σ]准则”时不同用户的疗效会有较大差异。对工厂而言，不能盲目地通过增大[σ]的系数来降低次品率，应该设法优化生产工艺，提高产品质量。对用户而言，同一个品牌的产品质量存在差异是不可避免的。

课程思政教学 从生产制造案例出发，引导学生通过生产过程的质量控制了解正态分布的应用，培养学生的数学思维，并将其与生活进行联系，引发学生主动思考。引导学生理性看待产品质量问题，了解产品质量的波动性，学会通过现象了解事物背后的本质，从而正确处理问题。

四、高效检测有方法——数学期望

例4 新冠疫情的暴发对全球公共卫生体系提出了严峻挑战。在这场抗击疫情的战斗中，科学成了重要的武器。其中，核酸检测作为诊断新冠病毒感染的关键手段，其效率直接关系到疫情防控的效果。

为了提高检测效率，混检技术在实际应用中发挥了重要作用。从数学期望的角度来看，混检技术相比单检技术能够显著提高检测效率，特别是在样本数量庞大且感染率较低的情况下。

假设有[N]个样本需要检测，感染率为[p]。如果采用单检技术，则总共需要进行[N]次检测。当采用混检技术时，首先将样本混合后进行一次检测，此时检测结果为阳性的概率是[1-（1-p）N]。如果检测结果为阳性，则对[N]个样本再单独进行检测。因此，检测次数的数学期望为[1+N[1-（1-p）N]]。当感染率较低时，[1-（1-p）N]较小，因此检测次数少于[N]。尤其是在样本数量庞大且感染率较低的情况下，混检技术的优势更加明显。

需要注意的是，在实际应用中还需要考虑其他因素，如检测过程中可能出现的假阳性、假阴性等问题以及实际操作中的复杂性和成本等因素。总的来说，混检技术通过减少所需的检测次数和样本数量来提高核酸检测的效率，使得工作人员在有限的时间内能够检测更多的样本，为疫情防控提供了有力支持。

课程思政教学 通过此案例，学生可以深刻地认识到科技在抗击新冠疫情中的重要作用、科技工作者的责任担当，同时还可以了解到科技与社会发展的紧密联系，以及科技在推动社会进步中的重要作用。这有助于培养学生的科技素养和社会责任感，激发他们的创新精神和报国情怀。

五、从量变到质变——中心极限定理

例5 中国芯片产业对国外依存度较高，在外国的限制和封锁下，中国芯片产业陷入了“卡脖子”的困境。中国目前在推动芯片产业的自主可控、减少外部依赖方面投入了大量的资源和精力，例如加大研发投入、支持本土芯片企业发展，以及通过国家层面的战略规划和政策支持来提升整体产业链的竞争力。这是一个长期而艰巨的任务，但对于确保国家安全和经济自主性至关重要。芯片制造是一个极其复杂且精密的过程，具有多达数百个步骤，其次品率受多种因素影响，因此控制次品率对整个行业来说都是巨大的挑战。

某企业对某款器件的芯片进行了设计，在芯片量产之前需要经过流片环节，这一环节是芯片制造的关键环节，如果流片成功就可以开始大规模制造，但如果流片失败则需要继续优化设计。假设该企业在流片环节总共生产了300片样品，生产工艺存在不稳定性，已知在生产过程中，每片芯片的厚度相互独立且服从在区间[（8，12）um]上的均匀分布，问在流片环节生产的所有样品的平均厚度近似服从什么分布？

解 设第[i]个芯片的厚度为[Xi，i=1，2，...，n]，根据题意可知[Xi∼U（8，12）]，因此[E（Xi）=10]，[D（Xi）=43]。又由于[Xi]相互独立，且[n=300]，由中心极限定理可知，当[n]充分大时，所有样品的平均厚度[Y]近似服从正态分布：

[Y=1300i=1300Xi∼N（10，4900）]。

课程思政教学 即使独立同分布的随机变量本身不服从正态分布，多个随机变量和的极限分布也服从正态分布，这就是量变引起质变的道理。通过此案例教导学生只要脚踏实地、注重积累，就一定会有所收获；在社会中，每个人的小贡献加起来就可以推动社会的大发展。此外，要教导学生有科技强国的责任感与使命感，能够适应国家重大战略需求、促进自身发展，为祖国的繁荣和发展作出重要贡献。

社会的发展对大学生的综合素质和思想品质提出了更高的要求。在大学生的世界观、人生观和价值观还未完全成熟的情况下，教师在教学过程中适时进行价值引领具有重要意义。在对概率统计与随机过程课程进行教学案例设计时，要注重落实立德树人根本任务，为了培养实践能力强、创新能力强、具备国际竞争力的高素质综合型工科人才，将思政元素融入具有工科专业背景的教学案例中，加深理论知识教学、思政教育与工科专业的有机融合。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 石爱菊，丁秀梅，孔告化，等. 概率统计与随机过程：第3版[M].北京：人民邮电出版社，2024.

[2] 李晨，陈丽萍. 概率论与数理统计课程教学中思政元素的挖掘与实践[J]. 大学教育，2021（9）：104-106.

[3] 曹宏举，何素艳，郭巧丽. 概率论与数理统计课程浸入式课程思政教学实践[J]. 大学教育，2023（4）：116-118.

[4] 张宇，姜雄，李芳芳. 基于课程思政理念的概率论与数理统计案例设计[J]. 大学数学，2024，40（3）：114-122.

[5] 戚淑叶，黄伟明，王德刚，等. 阿莫西林胶囊生产过程质量控制方案初探[J]. 中国抗生素杂志，2022，47（6）：575-580.

［责任编辑：林志恒］