如何把握新课标对初中几何推理的尺度

摘 要：国家教育部新的课程标准中，对初中几何《证明》作了较大调整。从目前新课程的实施情况看，本人感觉到学生对于何时需要严格按照公理体系、用综合法的表述方式进行证明，感到无法把握。甚至没有在相应的阶段给学生提出明确的要求，以致学生无所适从。

关键词：情感； 新课标； 合情推理； 演绎推理； 学生

中图分类号：G623．5 文献标识码：A 文献编号：1006-3315（2011）7-069-001

新课标中，作为总体目标提出了对学生“数学思考”的要求：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。”在学段目标中，进一步指出：“在探索图形性质、与他人合作交流等活动中，发展合情推理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上，从几个基本事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想。”

按照这一基本要求，我认为北师大版教材在处理初中几何时，可从整体上分为两块，一是以“说理”为主要方式的应用几何，二是以“证明”为主要方式的演绎几何。前者主要目的是让学生探索常用的几何知识、积累活动经验、发展合情推理能力；后者的主要目的是感受公理化思想、发展演绎推理能力、提高逻辑表达水平。

按照这样的理解，我们应当把《证明》严格封闭在《证明一》、《证明二》、《证明三》三节内容的教学之中。在这个系统之中，教材只给出了作为基石的六条公理，同时说明：“等式和不等式的性质也可以作为公理。”因此，我们应当强调，凡用“证明”表述的，必须从这些公理出发，应用已学过的定义和已证明过的定理进行推理，做到步步有据。只有这样，学生才能真正体会到证明的必要性，感受到公理化的思想，形成一定的公理体系，严谨、缜密的逻辑推理能力才能得到提高。

从知识范围上看，严格的“证明”只应涉及到平行线、三角形和四边形，而相似形和圆不在其中。从教材采用的“公理体系”看，相似形和圆中的许多结论也无法直接从六条公理中演绎出来。所以，在进行这两部分内容的学习时，教材上从未出现过“求证”的例、习题。虽然其中也将推理能力的培养作为一个重要标，并且在《圆》一章的“设计思路”中还特别说明：“推理证明是本章采用的研究手段之一，但本章的证明与《证明一》、《证明二》、《证明三》中的基础是有区别的，《证明一》、《证明二》、《证明三》中证明的基础是规定的公理及推出的定理，而本章证明的基础则是以前学过的所有结论。”但是，这部分内容中问题的呈现方式不能直接要求学生“求证”，应当是“为什么？”或“请说明理由。”而相应地应当让学生明确，凡以“证明”来解决“求证”问题时，就必须严格地在“公理体系”内进行演绎推理，确保步步有据；凡用“解”来回答“为什么”或“理由”时，可用已经学过的所有结论。在这些“说理”内容的学习中，除了不要求学生严格按“公理体系”进行演绎外，还应注意，《相似形》中教材以“推出式”示范了说理的格式，《圆》中教材以“三段论”示范了说理的格式，这两种基本的说理方式应当让学生在探索与训练中逐步掌握，但不必要求学生步步批注推理的依据。

苏科版教材对于合情推理或演绎推理的整体设计做的也是比较到位。

在七（上）——八（上）三册课本中，主要采用合情推理的方式探索所有图形的性质；同时，在此过程中又注重不断引导学生学会“有条理的思考和表达”，这种“引导”，教材的呈现方式又分成4种不同的表达形式，以体现教材的层次性：

用不分段的“因为……所有……”说理比如七（上）课本6.1的例题；

用分行的：因为……所有……”引导学生分清因果关系，如七（下）课本的例1、例2.用分行的：“ 因为……根据……所以……”（即通常的小前提、大前提、结论）的方式说理，比如七（下）课本中8.2的例题。用分行的“因为……所以……理由是……”的方式说理如八（上）教材1.4节的例题。其中第（4）种说理方式与“∵…… ∴……”的形式化证明的表述方式很接近，从而为八（下）课本的第11章“图形与证明（一）”进入演绎论证阶段做好相应的准备。

我想，有了这样明确的界定，老师与学生便不会在“何时必须按‘公理体系’严格进行演绎推理，何时可以应用已学的结论进行合情说理”的问题上而困惑了。

在多年从事几何课堂教学特别是近几年来，笔者还感觉到下面几点也要引起重视：

1．对于一题多解的几何题。要求学生的思路要开阔，要能从多角度、全方位进行思考，使同学之间互相启发、取长补短，常采用小组合作讨论、代表发言的方式进行教学。当学生的思路存在不够完善或有错误时，老师进行适当的引导，以求规范完整。解完题后进行反思和点评，这是培养学生发散性思维的有效途径。

2．对于书中有关定理的证明。它给学生提供了一次对规律的再发现和再认识过程，在教学中，要真正让学生进行尝试探究，合作交流，自己得出结论。这样不仅能加深对定理的认识与理解、增强应用此定理的能力，而且能让学生体验成功的喜悦、提高学生学习几何的兴趣。这是培养学生创新意识的一条途径。