探索多元表征：数学概念建构的新途径

[摘 要] 小学数学知识体系的基础是数学概念。数学概念不仅是数学知识学习的起点，也是数学思维的起点。数学概念是抽象的，数学思维则包括形象思维和抽象思维等多种类型。对数学概念的深度理解有助于数学思维的拓展。本研究探讨了教师应如何利用学生的生活经验，通过多元表征方法深化对数学概念的理解，进而促进他们数学思维的健康发展。研究指出，多元表征不仅能够作为理解数学概念的切入点，还能有效展现数学思维的生成过程，符合小学生的认知规律。

[关键词] 数学概念；多元表征；数学教学；思维发展；概念可视化

在新课标背景下，如何在教学中帮助学生理解数学概念，进而提升学生的数学核心素养是教师亟待思考的问题。教师要帮助学生学会运用数学思维构建数学知识结构。如何通过概念的学习培养学生的数学思维呢？学生通过数字、图形、符号、算式和数据等多种表征方式学习，在此过程中能够内化数学概念，使数学思维得以全面提升，进而充分发展数学核心素养。

一、借助多元表征的呈现，让概念真正落地

低年级小学生的思维已经从形象思维逐渐转向抽象思维。对于一些概念，如数的读写、组成，他们已经能够理解，但对于“大数具体有多大”没有概念。教师虽然多次讲解，但是学生仍然无法理解的情形时有发生。

究其原因，主要是教师依赖于自己脑海中的表征，并以自己理解的方式讲解概念。如果学生无法理解这种表征，就会导致师生双方的理解出现偏差。教师需要分析学生的心理特点、社会经验和知识结构，在教学时充分利用数字、图形、符号、算式和数据等多元表征来引导学生探究。学生不仅可以学到数学知识和方法，还能在学习和运用多元表征的过程中内化数学概念。这样，学生的数学思维就能得到较大提升，数学核心素养也能得到充分发展。

以学生能接受的表征方式进行教学，是教师提高教学实效的关键。多元表征的呈现需要教师准确把握数学知识概念，并层层递进地引导学生理解并掌握。教师应运用多种表征方式，多视角、多维度展现数学概念内容，引导学生对数学概念进行深度思考，从而使学习真正“落地生根”，达成教学目标。

（一）基于课本的把握，准确切入概念

新课标倡导以学生为主体，同时强调课堂教学要以课本为主要教学资源。教师要准确把握课本，让课本中的例题生动化。在教学时，教师可以对数学概念等较抽象的内容进行二次加工，重新创设贴近学生现实生活、能够激发学习兴趣并调动学习积极性的问题情境表征，让学生主动参与学习过程并积极思考，从而有效激活并拓展他们的数学思维。

以教学苏教版《数学》二年级上册“认识米”为例。课本直接呈现了使用米尺测量较长物体的内容，并引入了米这一概念，然而学生对米尺感到陌生，对米这一单位更是缺乏直观认识，这导致他们难以将新学的米与已掌握的厘米知识进行有效衔接。在测量过程中，学生感受到用厘米尺测量比较烦琐，进而会思考能否换用更大一点的单位或测量工具，来更方便地测量生活中的大物体。这样的教学，教师巧妙地找到了学生对于米与厘米两个概念之间的衔接点。学生通过情境表征，运用自己的想法去解决问题，变得更加积极主动。经历过这一情境探索体验过程，学生自然会思考对于更大物件的测量是否存在更大的单位，对于很小的物件是否也存在更小的单位。这样的教学，不仅有助于学生掌握数学知识，更重要的是有利于培养学生的问题意识、探索精神和解决问题的能力。

（二）借助教具的开发，助力概念内化

数学是抽象的，数学概念更具有高度概括性，它需要用严密的逻辑解释事物的本质属性和特征。在教学数学知识时，教师要引导学生自己去感知和认识，而不是直接“引见”。教师需要引导学生质疑，关注概念产生的必然性和本质特征，通过多元表征展现知识概念的形成过程，让学生加深理解，促进知识的内化。

以教学苏教版《数学》三年级下册“认识面积”一课中的“什么是面积”为例。教师可以先引导学生运用生活常识去比较数学书的封面和桌面，问问自己“哪个面更大”。学生在思维中自然会形成一种“面的大小就是面积”的直觉感知。随后，教师可以通过让学生摸一摸这些物体的表面，使他们进一步深入感知和理解面积这一概念。

这样的表征形式虽然不是传统的，但因在情理之中，会显得尤为自然。教师需要准确把握概念的本质，并灵活运用多种表征，使得数学概念既直观又贴近实际，这样可以让学生思维的条理清晰，从而加深对数学知识的理解。

二、依托多元表征的联系，让概念可视化

小学数学知识具有其独有的连贯性结构。在教学数学概念时，教师要抓住数学知识间的多元联系，引导学生熟练应用不同的表征形式来灵活展示数学概念。能够通过多种表征形式展现数学概念，是学生从初步接触到真正掌握数学知识的重要标志。在数学学习中使用多元表征，学生能够更深入地理解概念、挖掘概念内涵、揭示概念本质，并促进数学思维的成长。

（一）图形示意表征，概念直观可视化

数学概念具有高度的简洁性。符号表征和图形表征不仅能让数学知识获得更直观的展现，也能体现对数学知识的具体化理解。学生对符号表征、图形表征的熟练使用，体现了他们对数学概念的理解和思考。

例如，苏教版《数学》四年级下册“确定位置”一课中的“数对”教学，是从方向和距离入手的研究。学生首先要在关于位置的讨论中感受统一的必要性，然后在记录位置的过程中体验文本的复杂性，但这样的安排其实不利于速记，也不利于数学表达的清晰明了。教师引导学生理解尺的方向规则，并将其延伸到确定位置。在这个过程中，教师可以引导学生从零开始统一方向，自主创新不同的表征，如4∶3、4.3、（4，3），这些都表示“第4列第3行”，进而让学生比较得出（4，3）这个统一的符号表征，这样就经历了再创造过程。学生在这个过程中经历了思维过程的具体化和可视化，体悟到了数学符号表征的简洁性、直观性和概括性，从而领略到了数学符号的独特魅力。

（二）实践操作表征，概念灵动清晰化

数学经验往往源于生活实践与主动思考，其中实践操作发挥着关键作用。教师应鼓励学生在“做”中学习数学，因为实践是获取数学概念知识和技能的重要途径。学生具有丰富的想象力和独立思考能力，教师需要激发他们的想象力，并通过实践操作将解决问题的方法具体化，使得数学概念和知识更易被理解，同时有助于学生数学思维的清晰展现。

例如，在教学苏教版《数学》二年级上册“认识厘米”时，由于长度单位很抽象，学生往往缺乏具体的生活经验可以对照。教师可以引导学生先用厘米尺去量手指甲的宽度（大约为1厘米），再利用指甲盖去寻找生活中的“1厘米”。通过这种方式，学生学会了使用具体的数据来感知生活中实物的大小，积累了丰富的感性材料。随后，教师可以让学生画出1厘米的长度，并用直尺进行测量。在这一系列“找—寻—画—量”的过程中，学生经历了“抽象—具体—抽象—具体”的思维转换。抽象与具体的表征交织进行，使得厘米这一单位概念变得具体形象，学生在学习过程中牢固掌握了长度的概念，并初步建立了度量感。

针对具有一定经验和概括能力的高年级学生，教师可以设计一系列操作实践活动，让学生通过观察比较、测量计算和推理演绎等方法进行独立思考和合作探究，从而概括、总结并解决问题。例如，在教学苏教版《数学》五年级下册“认识圆”时，教师可以设计小组探究合作活动，提供大小不一的教具模型表征——实物圆片（每组有相同和不同类型的圆片，同组之间也包含相同的和不同的圆片），让学生进行合作探究。学生可以通过折纸、绘画和测量等多种感官协同参与的活动，交流并总结圆的半径和直径的概念、特征及其关系，进而在丰富的表象中感知概念的本质，体验知识的获取过程，从而构建起清晰的概念知识体系。

三、实现多元表征的交流，增强概念整合性

在教学数学概念时，教师应强调运用数学思想来解决问题，以培养学生的数学思维能力，并助力他们构建坚实的数学概念体系。教师需要巧妙利用问题表征来培养学生的发散思维，引导他们进行有效的表征转换，从而切实提高思维能力。教师可以通过语言、示意图等个性化的外部可视表征来呈现概念问题，学生可以运用不同的表征方式来展现和表达问题结构，并在此过程中主动进行概括与反思，在教师的指导下进一步加工形成总结性或算式表征。经历表征间的多元融合后，学生能够对事物产生不同的认知和思考。

（一）语言交流，概念碰撞更深刻

语言是概念的外衣，概念是思维的内核，数学概念、思维语言是相互联系、紧密结合的。在教学中，教师通过语言的表述将数学概念具体化，学生就可以借助语言在交流辨析中碰撞思维，查漏补缺。这样的概念教学，有利于学生加深对概念的理解，锤炼逻辑思维。

例如，在教学苏教版《数学》二年级上册“乘法”概念时，6个5相加和6个5相乘是学生辨析概念的重点，需要学生运用多种表征——从在语言表征中体会，到在算式表征中体现。这个相互转化的过程，能展现学生对概念的理解；不同表征间的熟练转化，也体现了学生思维可以灵活切换。

（二）书面表达，概念整合更严谨

在数学概念表达中，教师应鼓励学生从多样的表征中，找到适合自己独特的数学表达风格，促进其对数学问题进行转换，最终内化为个人知识技能。在引导学生运用多元表征诠释数学概念时，教师不要限制学生只能采用某一种形式，而应重视学生表征展现的有序性和多样性。

例如，在引导学生探究苏教版《数学》六年级下册“解决问题的策略”中的“鸡兔同笼”问题时，培养学生思维的关键在于让他们先独立思考。学生有的采用图像表征，有的采用图形表征。表征的方式虽然不一样，但本质都是将不同的量假设成同一种量，都是在经历数学思维从表象转化为抽象、从粗浅转化为深刻的过程。在学生将思考的过程以算式的形式表现出来时，他们的答题就是表达，每一个答题步骤都反映了其思维的轨迹。教师在教学时要让学生先独立思考，再合作交流。在这一过程中，学生可以了解他人是如何从不同角度看待问题、解决问题的，这种多元的视角能够拓宽他们的思维边界，有利于其在面对新情境时灵活运用所学策略。

在数学教学中，课堂不仅是学生获得数学知识和技能的场所，还是收获成功和喜悦的空间。在新课标背景下，教师要充分解读课本、分析学情，创设适宜学生学习成长的情境，引导学生在掌握数学知识本质的前提下，依靠已有的生活经验和所学数学知识探索数学世界的规律。教师要引领学生学习并运用多元表征，帮助他们头脑中的数学概念从朦胧逐渐变得清晰，从表面深入内核，从局限拓展至广阔。

参考文献

[1]金怡婷.利用多元表征优化数学教学的意义与方法[J].教师博览，2022（30）：74-75.

[2]沈阳，张晋宇，鲍建生.表征在数学教育中的研究现状[J].数学教育学报，2022，31（2）：82-89.

[3]谷诗新.小学数学思想的价值认识及渗透策略[J].新课程研究，2023（10）：21-24.

（作者单位：江苏省宜兴市太华小学）