关联、想象、拓展：让知识再生长

【教学内容】

人教版小学数学教材四年级下册第五单元“三角形单元复习”。

【教学目标】

1.在解决问题的过程中，进一步梳理三角形知识，沟通边与角的内在联系，提高运用知识的能力。

2.通过观察、想象、画图、推理等数学活动，提高空间想象能力，培养空间观念。

3.在活动中突破思维定式，体验成功，增强学好数学的信心。

【教学重点】

梳理三角形知识，沟通边与角的内在联系，提高运用知识的能力。

【教学难点】

在边与角的联动中发展空间观念。

【教学过程】

一、复习引入，回顾旧知

师：今天这节课我们要对三角形单元进行复习。关于三角形，大家已经学习了哪些知识？

生：三角形的分类、三角形的内角和、三角形的三边关系。

师：这些知识有的是与三角形的边有关的，有的是与三角形的角有关的。如果请你应用这些知识来解决问题，你敢接受挑战吗？

【评析】单元知识的梳理与回顾是复习课的重要内容之一。教师通过“关于三角形，大家已经学习了哪些知识？”这一问题唤醒学生对已学三角形内容的简单回忆，让学生能够快速地进入学习状态。

二、任务驱动，温故知新

（一）以点带面，沟通边角关系

1.问题解决，复习三边关系

出示任务一：三角形ABC的周长是24 cm，其中一条边长是8 cm，另外两边的长度分别是多少（边长为整数）？请把你想到情况写下来。

（生独立完成后反馈）

生：8 cm、8 cm、8 cm。

师：三条边都是8 cm，符合任务要求吗？（生一致认同）那只有这一种吗？

生（补充）：还有8 cm、7 cm、9 cm，8 cm、6 cm、10 cm和8 cm、5 cm、11 cm。

师：8 cm、7 cm、9 cm，你们是怎么想到的？

生：因为其中一条边8 cm是固定的，那另一条边可以在8 cm的基础上减少1 cm，第三条边就增加1 cm，保持两条边的和是16 cm就可以了。

师：这个同学的想法真棒，很有条理。以这样的方法，我们继续想，就可以得到8 cm、6 cm、10 cm和8 cm、5 cm、11 cm。（稍停顿）为什么不继续列举了？

生：因为继续往下是8 cm、4 cm、12 cm，8+4=12，不能围成三角形。

师（小结）：是的，在三角形中任意两边之和要大于第三边。对于三边关系，同学们掌握得很扎实！

2.由边及角，画等边三角形

师：那这4个三角形分别长什么样呢？哪一个最容易想到？

生：8 cm、8 cm、8 cm最容易想到，因为这是一个等边三角形。

师：那这个等边三角形你们会画吗？老师已经在方格纸中帮你们画好了其中一条边，请大家继续将它画完。（如图1）

（生独立尝试，师巡视）

师：同学们完成了吗？遇到了什么困难？

生：第二条8厘米的边画完后，发现第三条边不是8厘米，三条边都正好是8厘米很难。

师：看来要画等边三角形只关注边还不够，那还需要关注什么呢？

生：我们还可以关注它的角，等边三角形的角也是相等的，都是60°。

师：从边想到了角，那现在可以怎么画呢？

生：借助量角器画60°的角，在射线上取8 cm，最后连接另一条边。

师：你们想到的方法真不错，那就请大家动手试试吧。

3.思考分类，感受边角关系

师：同学们，刚才我们画的等边三角形如果按角分，它是一个什么三角形？

生：锐角三角形。

师：那另外的3个三角形按角分会是什么三角形？先看边长为8 cm、7 cm、9 cm的三角形。

生：也是一个锐角三角形。

师：你是怎么想的？

生：因为底边8 cm不变，左边减少1 cm，右边增加1 cm，最上面的顶点就应该往左下偏一点或者往右下偏一点，所以仍旧是锐角三角形。

师：他真的很会想象和思考，请把掌声送给他。

师：按照这个同学的方法继续想，边长为8 cm、6 cm、10 cm的三角形会是什么三角形呢？

生：再往下偏一点，可能还是锐角三角形。

生：会不会变成直角三角形？

师：到底是什么三角形呢？我们一起来看看（课件呈现如图2）。原来是一个什么三角形？

生：直角三角形。

师：现在你一定想到了边长为8 cm、5 cm、11 cm的三角形是什么三角形。

生：钝角三角形。因为11 cm这条边更长，它对应的角就会大于90°。

（根据学生表述，课件逐步呈现，如图2所示）

师：同学们很会分析，确实是钝角三角形。原来当三角形的一条边越来越长时，它所对应的角也会越来越大。

师（小结）：同学们，前面在学习三角形的时候，是从边和角这两个方面去研究的，通过今天的复习，我们发现，其实边和角是紧密联系在一起的。

【评析】本环节，教师以“已知周长和一条边长，求另外两条边的长度”切入，从周长入手对学生来说是有难度和挑战的。在解决这一任务的过程中，学生除了有序思考，更要主动运用所学的三角形三边关系的知识解决问题。这样既避免了枯燥的复习和简单的操练，又能在运用知识中进一步巩固所学知识。而在画等边三角形的过程中，从边的特点走向角的特点，教师引导学生主动将两者联系在一起。同时，借助等边三角形推理、想象、判断其余三角形的类别，让学生在感受边角的紧密联系的同时，培养空间想象能力，使所学知识进一步结构化。

（二）想象推理，打破思维定式

1.以线段AB为边寻找直角三角形

出示任务二：请你找一个点C，使△ABC是一个直角三角形。想一想，点C会在哪里？（如图3）

师：这里有几个点，哪几个是符合要求的呢？

生：①号点。

生：①号点和④号点。

生：①号点、②号点和④号点。

师：大家的想法有些不一样，但是你们都觉得③号点不对，为什么？

生：③号点连接后形成的是钝角三角形。

（课件跟进连接、形成三角形）

师：①号点你们都觉得是对的，为什么呢？

生：因为①号点与点A连起来的线段和线段AB是垂直的，就会形成一个直角三角形。

师（呈现①号点与点A连起来的直线）：那在这条直线上你还能找到其他的点也能构成直角三角形吗？

师：是的，我们可以在这条直线上找到无数个点。哪个点和①号点的判断方法是一样的？

生：④号点。

师：①号点和④号点这两个点形成的三角形都是以线段AB为直角边的直角三角形，你们的判断很准确。那最后剩下的②号点形成的是直角三角形吗？有什么办法证明？

生：是直角三角形。因为②号点与点A、点B连起来是正方形格子的对角线，所以两个角分别是45°和45°，那顶角就是90°。

师：你们同意他的证明方法吗？

（学生一致认可）

师：那像这样的点只有这一个吗？

生：对应下面也有一个。

（教师请学生指出，课件呈现⑤号点）

师：如果把这②号点和⑤号点连成一条直线，第三个顶点在这条直线上移动，都是直角三角形吗？

生：不是。往上移是锐角三角形，往下移是钝角三角形。

师：是啊，在移动的过程中，角是在不断地变化的。但无论怎么变，这些三角形都是什么三角形？

生：等腰三角形。

2.丰富以线段AB为斜边的直角三角形

师：那以AB为斜边的直角三角形，除了②号点和⑤号点外，还能找到其他的点吗？请你们再来试一试。

（学生独立尝试后反馈。展示方法：摆三角尺。把三角尺的两条直角边与点A、点B重合，描出的三角形就是直角三角形，如图4所示）

师：这个同学的方法太有意思了，你们看懂了吗？这种方法有什么需要注意的地方吗？

生：需要注意的是，点A和点B必须在两条直角边上。

师：想不想试一试？那就请你也在练习纸上用这种方法画两个直角三角形。

师：成功了吗？画出来的点C会在哪里呢？我们一起来看看。（课件逐渐呈现）

师：仔细观察这些点，你们有什么发现？

生：这些点连起来像一个圆。

师：是的，以AB为斜边可以画无数个直角三角形，而且这些点的位置连起来正好是一个圆。

【评析】教师充分利用上一个材料请学生继续思考：如果要找第三个点使之成为一个直角三角形，这第三个点会在哪里？教师引导学生去想象、辨析：为什么与AB垂直的直线上的点都可以？为什么中间上方的点也符合直角三角形的要求？让学生借用想象后的验证说理，进一步提升想象和推理的能力。从以AB为直角边走向以AB为斜边，从以AB为斜边的2个点走向无数个点。打破了学生的思维定式，进一步培养了学生的创新意识。

三、观察联想，适度“孕伏”

师：同学们，刚刚我们以AB为直角边画出了无数个直角三角形。请你们仔细观察这些三角形，说说有什么发现（如图5）。

生：这些三角形的一条直角边越来越长了，三角形也越来越大了。

师：同学们都很善于观察，其实越来越长的这条直角边就是这个三角形AB边上的高。那如果要画一个更大的三角形，应该怎么画？

生：把高画得更长一些。

师：当底不变时，我们发现，高越来越长，三角形也越来越大了。那么到底三角形的大小和高有什么关系，在以后的学习中我们会继续探索！

【评析】对于三角形的认识，本单元的学习只是一个开篇，后续还会进一步研究三角形的面积等知识。而为什么要学三角形的“高”，学生其实是缺少对其价值感悟的，事实上“高”又是后续研究面积时的核心要素。因此，教师试图借助同底不同高的直角三角形的大小比较，渗透三角形的高对面积的影响，为后续教学种下生长的种子。

【总评】

复习课的教学有很多不同的模式，但对复习课的教学目标定位往往是一致的，那就是“温故而知新”“求知、求联、求发展”。在三角形单元的复习教学中，教师通过挑战性任务的驱动、学习材料的精心选择、拓展性知识的巧妙设计，在实现教学目标的同时，引导学生突破思维定式，助力学生空间观念的培养和数学思维的提升。

一、布置结构化任务，促进知识联结

复习课需要教师既能把握横向知识，又要着眼于纵向知识的深度联结。本单元内容包含三角形的概念、稳定性、三边关系、分类以及内角和几个板块的内容，虽然知识点较多，但仅进行知识点梳理并不难，真正的难点在于如何让学生在梳理中对疑难点进行巩固。如何让横向的知识连成片、纵向的知识连成网，如何提升学生应用知识解决问题的能力等。因此，在教学中，教师借用“一条已知的8 cm的边”这一个学习材料，精心设计了两个连续性的任务：已知周长和一条长为8 cm的边，找三角形、画三角形、对三角形进行分类；已知一条长为8 cm的边，构建不同的直角三角形。任务一，从三角形的三条边的关系入手，引导学生复习疑难知识，横向打通单元内知识的联系。任务二，以直角三角形为切入点，将相关知识进行纵向联结。教师以两个任务为驱动，让学生巩固本单元所学知识，在完成任务的过程中主动联结知识，感受知识之间的联系，又提升了综合运用知识的能力。

二、创设想象空间，促使数学素养落地

对于图形与几何内容的教学，除了知识点的学习，还有一个长远、核心的任务就是培养学生空间观念。培养空间观念是一个长程任务，且很难对学生的想象过程进行展示与指导。在教学中，我们多次看到了教师对学生进行想象引导的任务：根据等边三角形想象另外3个三角形的样子，根据点的移动想象三角形的类型，根据找到的点想象无数个点形成的形状……同时也给学生独立想象创造了空间：先想再写、先想再画、先想再交流。更重要的是，借助课件中点的移动过程的呈现、学生操作的呈现、错误画图的呈现等的设计，将学生的想象进行可视化的展示，让空间观念的培养真正落地。

三、“孕伏”后续知识，促进思维生长

复习课是知识的梳理课，是练习的巩固课，更是后续教学的“孕伏”课。“孕伏”什么，如何“孕伏”，考验的是教师以发展的眼光、以大单元的视角进行教学思考与设计的能力。学生以同一条边为斜边画直角三角形，从2个点到无数个点突破了思维的局限，从无数个点走向轨迹形成圆形，“孕伏”直角三角形三点共圆；以同一条直角边的三角形高的变化带来面积大小的变化，感受三角形的高与三角形的面积之间的关系，为后续面积的学习做好铺垫。在看似本单元知识复习的过程中，教师不断渗透后续学习的新知识，让复习有增量，让知识有延续，让思维可生长。