度量视角下基于计数单位运作，感悟运算一致性

【教学内容】

北师大版小学数学教材五年级下册第五单元第57页。

【教学目标】

1.在经历“包含除”的问题情境中，探索并掌握一个数除以分数的算法，借助长度模型直观理解一个数除以分数的算理，沟通算法与算理之间的内在联系。

2.通过图式互联聚焦计数单位，感悟分数除法运算的一致性，完善、发展认知结构，培养运算能力。

3.在问题解决的过程中建立联系的视角，培养严谨求实的态度、勇于尝试的精神和持续思考的习惯，享受数学学习的乐趣，获得成功的体验。

【教学重难点】

理解“一个数除以分数”运算方法背后的道理，探索并掌握算法；感悟分数除法运算的一致性，建立分数除法运算的整体结构。

【课前慎思】

“分数除法（二）”是北师大版小学数学教材五年级下册第五单元“分数除法”的第二课时，内容聚焦“一个数除以分数”。此前学生已经系统地学习了分数加减法、分数乘法、倒数以及分数除以整数，掌握了分数除以整数的算法与算理，初步体会了除法运算的一致性。笔者对学习了分数除法后的六年级学生做追踪调研发现，对于“你是怎么理解2÷[23]=2×[32]=3的”问题，学生一致表示不能理解“分数除法为什么要‘颠倒相乘’变成分数乘法再计算”，理由是：“怎样把2平均分成[23]份呢？又如何求1份是多少呢？[23]份还不到1份呀！”笔者启示他们可以从“2里面有几个[23]”这样“包含除”的含义出发画图试试，但作用不大。可见，理解“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”是本课的重点、难点。

首先，运算教学要注重说理，即解释计算方法背后的道理。而且要说清算理往往离不开对运算意义的理解，本课内容的学习应建立在除法“包含除”意义的基础上进行学习。因此，教师要创设“包含除”的问题情境帮助学生更好理解算理。其次，多元表征算法的背后体现的是算法与算理的一致性，这要通过图式关联、几何直观的方式帮助学生建立对算理的理解。再次，运算一致性在“一个数除以分数”中同样有体现，在教学时，教师要创设类似的思维时空，启发学生在度量的视角下基于计数单位的运作来感悟分数除法运算的一致性——无论是分数除以整数，还是整数除以分数，其实在计算时都是计数单位细分、均分的过程，计算的道理是一致的，这样就帮助学生建立了分数除法乃至整个除法运算的整体结构，提升了学生对除法运算的整体认识。

【教学过程】

一、任务驱动，自主探索算法

1.抽象算式，感受除法意义的一致性

笔者出示题组：有一根2 m 长的绳子。

（1）截成每段长1 m，可以截成几段？

（2）截成每段长[12] m，可以截成几段？

（3）截成每段长[13] m，可以截成几段？

（4）截成每段长[23] m，可以截成几段？

师：这个题组有4个问题，该分别怎样列算式解决呢？说说理由。

生：第一个问题，截成每段长1 m，求可以截成几段，就是看2米里有几个1米，是包含除问题，可以用除法解决，列式计算：2÷1=2（段）。

生：后面3个问题也都是包含除问题，分别看2米里有几个[12]米、2米里有几个[13]米、2米里有几个[23]米，可以依次列式为：2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]。

师：看来，包含除问题，我们都可以用除法解决。无论是整数、小数还是分数，除法的意义是一致的。

【思考】运算的意义是理解算理的关键。教师以长度模型引入，呈现题组，让学生在经历抽象出除法算式的过程中再认识理解除法“包含除”的运算意义，感悟除法运算意义在不同数系中的一致性，为后面探索算法、理解算理奠定基础。

2.多元表征，探索算法

师（指2÷[12]、2÷[13]、2÷[23]）：整数除以分数，会计算吗？

生：上节课，我们学习分数除以整数，除以一个不为零的整数，相当于乘这个整数的倒数。所以我猜想，除以一个不为零的分数，是不是也相当于乘这个分数的倒数呢？

师：特别好！猜想是数学研究的第一步，是不是这样的呢？

生：需要实际探索一下具体算法。

活动要求：独立思考，先想一想、画一画、分一分，再用算式记录分绳子的操作过程，自主探索计算方法和结果；小组交流，把自己的想法解释清楚。

（学生独立尝试，再组内分享想法，全班交流）<E：＼杂志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量视角-3.tif>

图1 <E：＼杂志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量视角-1.tif>

图2 <E：＼杂志＼江西教育B版＼2025年＼2期＼度量视角-2.tif>

图3

生：我们是借助画图解决的（如图1至图3）。先画一条线段表示2米，问题（2）是看2米里能截成出几段[12]米，我的思路是先看1米里能截出几段[12]米，2米可以分成2个1米，就能算出总段数了。从图1中可以看出，1米里有2段[12]米，2米里有2个1米，也就是2个2段[12]米，也就是能截出（2×2）段。所以，2÷[12]=2×2=4（段）。

生：问题（3）是看2米里能截几段[13]米，也是先看1米里能截出几段[13]米，再算出总段数。从图2中可以看出，1米里有3段[13]米，2米里有2个1米，也就是2个3段[13]米，也就是能截出（2×3）段。所以，2÷[13]=2×3=6（段）。

生：问题（4）是看2米里能截几段[23]米，我的思路是，[23]米是2个[13]米，通过平均分割看看2米里有几个[13]米，就能进一步算出有几段[23]米了。从图3中可以看出，1米里有3个[13]米，2米里有6个[13]米，[23]米是1段，也就是2个[13]米是1段，数一数正好能截出3段[23]米。所以，2÷[23]=2×3÷2=3（段）。

生：我把除法转化为乘法计算，2÷[12]=2÷（1÷2）=2÷1×2=2×2=4；2÷[13]=2÷（1÷3）=2÷1×3=2×3=6；2÷[23]=2÷（2÷3）=2÷2×3=2×[32]=3。

师：大家介绍的这些方法，无论画图还是算式转换，其实都是把新问题转化为旧知识来解决，非常棒！

【思考】猜想是培养创造力的基础。探索算法之前先借助之前的学习经验猜想，再探索算法，激发学生的求知欲。学生通过画线段图结合直观长度模型解释算法，初步理解算理，感悟转化的数学思想方法。

二、层层递进，抽丝剥茧，促法理融通

师［指着问题（4）的算法］：他是通过算式转换，把除法转化成了乘法进行计算的。仔细观察转化过程，你发现了什么？

生：2÷[12]=2×2=4，2÷[13]=2×3=6，2÷[23]=2×[32]=3，他把除以一个分数转化成了乘一个整数或一个新的分数，这个整数或新的分数就是这个分数的倒数。

生：除以一个分数，相当于乘这个分数的倒数。

师（指着2÷[12]=2×2，2÷[13]=2×3，2÷[23]=2×[32]）：为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数？谁能结合图形来解释一下？

生：比如问题（2），2米可以截出2个1米，每个1米又可以截出2个[12]米，2米就相当于（2×2）个[12]米，所以可以截出（2×2）段，也就是4段[12]米。

师：也就是说（2×2）在这里其实表示的是什么？

生：2米里面含有的[12]米的个数。

师：2÷[12]是不是可以写成2÷[12]=（2×2）×[12]÷[12]？同意吗？

生：同意，也就等于（2×2）了。

生：同样，问题（3），（2×3）算的是2米里面包含的[13]米的个数。2米可以截出3个1米，每个1米又可以截出3个[13]米，2米就相当于（2×3）个[13]米，所以可以截出（2×3）段，也就是6段[13]米。

生：2÷[13]也可以写成2÷[13]=（2×3）×[13]÷[13]=2×3。

师：问题（4）怎么解释呢？

生：1米可以截出3个[13]米，2米就是（2×3）个[13]米，[23]米是2个[13]米，2米里有几个[23]米，就是算（2×3）个[13]米里有几个2个[13]米，其实就相当于算（2×3）里有几个2，所以2÷[23]=2×3÷2=3。

师：刚才的这个解释过程，如果用算式做记录，可以怎么写呢？

生：2÷[23]=（2×3）×[13]÷（2×[13]）=2×3÷2=3。

生：2×3÷2=2×[32]，所以2÷[23]就相当于计算2×[32]。

生：我明白了！我们可以这样理解，从图3中可以看出，1米里有1.5个[23]米，也就是[32]个[23]米，2米里就有（2×[32]）个[23]米，也就是说2×[32]算的是2米里有几个[23]米，和2÷[23]的意义相同，所以2÷[23]=2×[32]×[23]÷[23]=2×[32]。

师：仔细观察图形和算式的计算过程，你有什么发现？

生：它们计算的都是这个数与分数单位之间个数的关系。

生：一个数除以分数单位，就是看这个数里含有多少个分数单位。一个数除以分数，就看这个数和这个分数里各有几个分数单位，再算个数的关系。

师：也就是说，一个数除以分数，其实就是在计算这个数与分数单位个数之间的倍数关系。

【思考】教师引导学生整体回顾解决三个问题的计算过程，启发学生发现隐藏于其中的规律——都是把除法转化为乘法，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。启发学生结合直观图理解“为什么除以一个分数等于乘这个分数的倒数”，进而发现，一个数除以分数计算的就是这个数与这个分数的分数单位之间个数的关系，这既是本课算理的核心也是教学重点和难点，在深刻理解算理的基础上通过图式互联感悟算法与算理的一致性。

三、度量视角，感悟运算一致性

师：我们还可以这么看，比如2÷[12]，结合图形观察，如果以[12]为计数单位，要数几次才能正好数到2？

生：4次，数2次到1，数到2要数（2×2）次，也就是4次。

生：所以2÷[12]=2×2=4。

师：2÷[13]、2÷[23]呢？

生：2÷[13]，如果以[13]为计数单位，要数6次才能正好数到2。数3次到1，数到2要数（2×3）次，也就是6次。2÷[13]=2×3=6。

生：2÷[23]，如果以[23]为计数单位，要数3次才能正好数到2。数1次是[23]，也就是2个[13]，数2次到[43]，也就是4个[13]，数3次是[63]，也就是6个[13]，也就是2。数到1时正好数了1.5次[23]，数到2时要数（2×1.5）次，也就是3次。所以2÷[23]=2×[32]=3。

生：一个数除以分数，计算的还是这个数与分数的分数单位个数之间的关系。

师：一个数除以分数，就相当于以这个分数为单位去计数；或者以这个分数为单位，看这个数被平均分成了几个分数单位。无论是分数除以整数，还是整数除以分数，其实计算时都是相同计数单位均分的过程，计算的道理是一致的。

【思考】对于整数除以分数的问题，教师启发学生在度量视角下以这个分数的分数单位作为计数单位去“数”这个整数，再次发现，一个数除以分数计算的就是这个数与分数的分数单位个数之间的关系，体现了算法与算理的一致性。学生继续体会“整数除以分数”与“分数除以整数”算法一致性——除以一个数等于乘这个数的倒数，体会二者算理的一致性——计算时都是相同计数单位均分的过程，建立分数除法的整体结构，完善认知结构，这是本课的又一个教学难点。

四、总结算法，贯通认识，巩固应用

师：上节课我们学习了分数除以整数，这节课我们又探究了除数是分数的除法，请你总结一下分数除法该怎样计算？

生：不管除数、整数还是分数，计算方法是一样的，除以一个数等于乘这个数的倒数，这个数不能是0。

（教师出示：5÷[16]，[34]÷[58]，[512]÷3）

师：算一算，并说一说进行分数除法计算时要注意什么。

（学生独立计算，组内交流具体是如何计算的，全班汇报）

（教师出示学生的计算结果，如图4所示）

师：生1、生5是怎么计算的？

生：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

师：生2的计算方法在提醒我们什么？

生：转化成乘法后能约分的先约分，可以使计算简便。

师：生3、生4的计算方法又在提醒我们注意什么？

生：生3是把被除数变成倒数了，除数却没变成倒数，不符合计算法则。

生：生4是把除数变成倒数的同时，把被除数也变成倒数了，计算方法不对。

生：分数除法在转化为分数乘法时，要注意除数变成自己的倒数，计算过程中被除数是始终不变的。

师：看来，我们在明确了计算的道理之后，想要计算正确还是很不容易的，需要大家在计算过程中时刻注意正确运用计算法则。

【思考】通过交流不同类型计算题的计算过程，辨别对错，分析错因，发展元认知能力，总结算法，贯通对除法运算算法的整体认识——除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数，进一步完善了认知结构，培养了运算能力。

（作者单位：北京师范大学教育学部 北京市海淀区中关村第一小学教育集团）

本文系教育部人文社会科学重点研究基地“十四五”重大项目“中国教育经验的国际传播研究”（项目编号：22JJD880007）的阶段性研究成果。