借助几何直观，优化计算教学

《义务教育数学课程标准（2022年版》（以下简称“新课标”）指出：几何直观主要是指利用图表描述和分析问题的意识与习惯。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，把握问题的本质，明晰思维的路径。几何直观可以帮助我们直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。笔者认为，几何直观既是一种借助图形进行教学的手段，又是学生辅助解题的思维方式，也是一种能运用几何图表对数学的研究对象进行直观感知和整体把握的能力。

计算教学是小学数学教学的一个重要领域，在小学数学阶段有着十分重要的地位。然而，小学生尤其是低段学生以形象思维为主，根据学生的认知规律、心理特征和思维特点，教师必须为他们提供理解抽象知识的“脚手架”。因此，在计算教学中运用多样化直观表征，使得较抽象的计算教学更加直观、形象，可以帮助学生理解算理，掌握算法，掌握运算策略，从而提高运算能力，发展数学思维。

一、借助几何直观，理解算理

算理，顾名思义，是指计算过程中的道理，为什么这么算，是计算过程中的思维方式。从数学学习心理的角度看，学生对算理的理解，除了为学生运算能力的形成与提高提供了有力支撑，更是为算法提供了准确可靠的数学依据与思维过程；从数学知识获得的过程上分析，算理的探究与理解可实现由经验表述到形式化认识，再到具体算法抽象的知识形成过程；从数学建模的角度讲，算理认知是材料感知、提出问题—探究感悟、理解算理—聚类抽象、形成算法—互相转化、意义内化的过程。可见，在小学数学计算教学中对算理的理解与内化，除服务于构造算法外，更关注算理本身对于计算的本质认识。

在进行计算教学时，教师要想达到循“理”入“法”、以“理”驭“法”的目的，必须清楚算理的理解与内化在学生数学学习过程中的意义。然而，运算的道理是隐性的。因此，在教学中，教师要思考如何凸显这些隐性的“理”，进而内化为学生的认知。只有采用直观式教学，才能使抽象的算理变得形象、看得见，进而使算法的掌握变得水到渠成。

案例1 人教版教材小学数学一年级上册“20以内的进位加法”

师：你们会算“9+4”吗？给大家5分钟的时间自己想一想，大家打算怎样算出“9+4”的和呢？可以利用手中的小棒、圆片、计数器说说你们的想法。

学生实践（5分钟），汇报成果。

1.圆片操作

师：如图1，为什么要把这一盒饮料转移到箱子里呢？

生：这样箱子里就有10盒饮料，箱子外面还有3盒，一共是13盒。

2.小棒操作

师：如图2，这一捆小棒是怎么来的？

生：一捆是10根小棒，原来有9根小棒，还有从4根里分出来的1根小棒，合起来是10根小棒还有3根，也就是13根小棒。

师：算式“9+1+3=13”中的1是从哪里来的？

生：4可以分成1和3。

师：同学们想得非常好，我们可以把图和算式结合起来变成一个“算式图”来说明，我们可以这样理解（如图3）。

师：刚才很多同学也得到结果是13，因此可以列出“9+4=13”这样的算式了。

（教师通过动手操作，让学生直观地感受到为什么凑十，怎么凑十，1从哪里来）

二、借助几何直观，掌握算法

算理是计算的道理，而算法是计算的方法或基本程序，是算理的一种表达形式，是算理指导下的一些人为规定，用来说明计算过程中的规则和逻辑顺序。算法为计算提供了便捷的操作程序和方法，保证了计算的正确性和快速性。算理与算法相互依存、缺一不可，在计算教学中教师要寻求算理与算法的平衡，两者并重。

案例2 人教版教材小学数学三年级下册“两位数乘两位数”

师：14×12 到底得多少呢？你们想不想自己探究一下？

出示活动要求：

1.独立思考，看看能不能根据以前学过的知识求出14×12 的结果。

2.如果有困难，可以利用点子图圈一圈、画一画，再列式解决问题。

3.完成的同学可以和同桌交流想法。

（学生活动并汇报交流）

生（指着图4）：把12 拆成6 和6，先算14×6=84（本），再算14×6=84（本），最后合起来：84+84=168（本）。

生（指着图5）：把12拆成10和2，先算14×10=140（本），再算14×2=28（本），最后合起来：140＋28=168（本）。

师：你们能看懂这两个同学的作品吗？

生（齐）：能。

师：我们再来看看其他同学的作品。

（教师展示学生作品并进行比较）

师：这些同学都借助点子图来分析问题，并利用自己的方法求出了14×12 的结果。这在数学上叫做数形结合思想。我们再来看看他们的作品有什么相同点？

生：结果都是168，表示14×12=168。

生：都把其中一个两位数拆成两部分进行计算。

师：拆成什么样的两部分？

生：拆成两个一位数或是整十数。

师：为什么要拆开算？

生：两位数乘两位数我们没学过，但是两位数乘一位数我们学过了。

师：这些同学都把两位数乘两位数这个新知识转化成了两位数乘一位数或整十数的旧知识。（板书：转化）转化也是一种非常重要的数学方法，我们在以后的学习中会经常用到。

师：能尝试用竖式把口算过程表示出来吗？

生：我写的是14×12 的竖式，结果是 168，如图6所示。

生：我写了三个竖式，分别是：14× 2=28，14×10=140，140+28=168，如图7所示。

师：对比图6与图7的竖式，哪一种竖式更能体现刚才的口算过程？

生：图7 的竖式。

师：对，虽然图6 的竖式非常简洁，直接写出了答案，但是我们要求在竖式中体现口算的过程。显然图7 的竖式符合要求， 将三步口算的过程全展现了出来。

生：但是三个竖式太麻烦了。

师：对啊，有没有既能展示口算过程又能简单地列竖式的方法呢？

生：我是这样想的，先算14×2=28，写在横线下面，这是以前学过的。再算 14×10=140，写在28 的下面，数位对齐。最后把它们加起来，140+28=168，再画一条等号线，结果是168，如图8所示。

师：这个同学的想法很巧妙，他用一个竖式把刚才的三个竖式全概括了。你们对这个竖式有疑问吗？

生：他刚才说最后把 28 和 140 加起来，为什么不写加号？

生：加号表示把上下两部分合起来，写上也行，不写也行。

师：那到底写不写？

生：不写，这样比较简便。

师：再看这里还有一种方法，如图9所示，和刚才图8的方法有什么不同？

生：14 后面没写0。

师：那第二层积最后那个“0”可以去掉吗？

生：不可以去掉。因为去掉的话就是14，可我们算的是140。

生：可以去掉，因为数位对齐了，虽然写14，但表示140。

生：我也认为可以去掉，数学要简便，去掉0 还是表示140。

……

师：这样用竖式计算是大家共同探索的方法，今后我们在计算两位数乘两位数时可以用竖式来计算。大家再一起梳理一下计算过程。

（教师对应着点子图介绍，并让学生说说每一步表示的意思）

教师借助点子图这种几何直观工具，帮助学生掌握两位数乘两位数的计算方法，并尝试结合点子图用竖式把口算过程表示出来，探讨了两位数乘两位数的笔算方法，学生在经历知识的形成过程中，理解算理、掌握算法，同时学生的运算能力与数学思维能力也得到相应的提升。

三、借助几何直观，掌握运算策略

运算策略是指对运算信息的挖掘与运算方法的选择、运算过程的简化及自觉评价。

案例3 [12+14+18+116=]        。

师：案例3这个数列怎么求和？

生：可以直接通分计算。

（教师出示[12+14+18+116+132+164+1128=]     ）

师：像这样的一组数，甚至更多的数，你们还打算通分吗？

生：老师，应该还有更简便的方法吧？

师：用一个正方形表示1，先画图研究案例3中的问题，看看发现了什么？

通过画图（如图10）可知，学生恍然大悟，发现要计算这一组数列的和，只要把整个正方形的面积减去最后一次所取的面积同样多的部分，也就是减去[1/16]。

学生借助直观图理解算理、掌握算法，并掌握了运算策略。实践证明，几何直观是连接学生直观思维与数学抽象内容的一个纽带，通过运用几何直观，可以让抽象的计算教学具有“画面感”，有助于学生准确、全面地分析问题，能提高学生的学习效率，发展学生的数学思维。加强几何直观教学，可以提升学生的数学核心素养，让学生形成几何直观的思维方式。

（作者单位：浙江省温州市南浦小学）