突显关键，自主建构

数学是研究数量关系和空间形式的科学。史宁中教授认为，数学的研究包含数量与数量关系、图形与图形关系，研究数量之间和图形之间关系比研究数量和图形更重要。“常见的数量关系”是学生第一次对数量关系进行理性认识。在这之前，学生在日常生活和解决问题的过程中，已经积累了比较丰富的数量关系知识，初步感悟到如何用数量关系解决生活中的实际问题。本节课，教师通过创设情境、激发思辨、联结生活、自主创编、实践应用等环节，帮助学生主动联系经验，进一步完善认知结构，并在实际应用中建立数学模型。

一、创设情境，唤起学习经验

师：开学初，诚诚到文具店买了一些学习用品。从图1中，你能获得哪些数学信息？

生：诚诚买了4支钢笔，每支12元；买了5本练习本，每本3元。

师：我们把这些信息整理成表1，就更加清楚了。

师：这里的每支12元，每本3元，数学上我们叫作“单价”；买了4支、5本，可以叫作“数量”。谁来说说什么是单价？

生：单价就是每支的价格、每本的价格。

生：单价表示每件商品的价格。

师：是的，这里钢笔的单价是每支12元，我们还可以这样写：12元/支，读作：十二元每支。练习本每本3元，你也能像这样写一写、读一读吗？

师：根据表格中的这些信息，你能求出什么问题？怎么解决？

生：我能算出钢笔一共多少元，12×4=48（元）。

生：我能算出练习本一共多少元，3×5=15（元）。

师：数学上，像这样一共表示多少元，我们可以叫作“总价”。这里的总价，你是怎样算出来的？和单价、数量之间有什么关系呢？

生：总价=单价×数量。

师：这是生活中常见的一个数量关系，它能帮助我们解决很多实际问题。

【思考】生活是数学学习的源泉，特别是数量关系的学习，学生已经在解决实际问题中积累了丰富的经验，这些经验是学习本节课的重要基础。教师从学生熟悉的购物情境入手，引导学生梳理信息，整理成表格，为学生发现单价、数量、总价三者之间的关系做好铺垫。同时，教师又引导学生自主提出问题、解决问题，让学生主动参与数量关系的概括，为思维的进阶做好准备。

二、激发思辨：探寻知识本质

师：诚诚又去超市买了一些牛奶，请大家看看这张购物清单（如表2）。这里的表格你能填吗？

（学生填空格，互相交流）

生：伊利牛奶的总价可以用4×5=20（元）算出，因为“总价=单价×数量”。

生：安佳牛奶的数量可以用18÷6=3（盒）算出。因为“数量=总价÷单价”。

生：特仑苏牛奶的单价是120÷2=60（元）。

师：思考一下，这里的60元是什么的价格？

生：应该是一箱牛奶的价格。

师：你能说说怎样求单价吗？

生：单价=总价÷数量。

师：观察一下这里的单价，同样是牛奶，单价的差别怎么会那么大？你有什么想法？

生：上面两种牛奶是指每盒的价格，最后一种牛奶是指每箱的价格。

师：看来仅仅用元作单位，我们还不能清楚地表示商品的单位价格。像这样用两种单位结合起来使用，这样的单位叫作复合单位。

师：这个单位很有学问，它还隐含着求单价的数量关系。你能看出来吗？

生：我觉得这个“元”表示总价，这个“盒”表示数量，这里的斜杠表示除法。

师：看来从单价的单位中，我们就能看出“单价=总价÷数量”，数学真是太奇妙了。

师：刚才，我们由生活中的购物问题，发现、总结了常见的数量关系：“总价=单价×数量”。随后我们又推导出：“数量=总价÷单价”“单价=总价÷数量”。

【思考】在教学中，教师要鼓励学生勇于审视、怀疑，经历反思、质疑的过程，这样习得的知识才是深刻的。在得出三个基本数量关系后，教师质疑：“同样是牛奶，单价的差别怎么会那么大？”让学生在审视结果、仔细辨别中，发现复合单位中的玄机。此时，教师又再次启发学生：“它还隐含着求单价的数量关系。”让学生聚焦单位，发现规律，再次深化对这一数量关系的认识。

三、联结生活：丰富认知体验

师：在我们的生活中，像这样常见的数量关系还有很多。明明一家人寒假去了昆明的翠湖公园游玩，明明记录了一些数学信息，让我们一起来读一读吧。

游船每分钟行驶450米，一共行驶了20分钟。

自行车每分钟行驶200米，骑一圈正好用了12分钟。

师：用数学的眼光看，这些文字中含有几种不同的量？

（教师根据学生的回答情况，完成板书，如表3所示）

师：这里的每分钟行驶450米、每分钟行驶200米，分别是游船和自行车的速度；20分钟、12分钟，这是它们分别行驶的时间。每分钟45米，知道还可以怎么写，怎么读呢？每分钟200米呢？

师：知道了速度和时间，就能求出路程，你能算一算吗？

生：游船行驶的路程是9000米，自行车骑的路程是2400米。

师：根据“路程=速度×时间”这个数量关系，我们同样可以推导出时间和速度的数量关系，谁来说一说？

生：时间=路程÷速度，速度=路程÷时间。

师：大家又学会了三个数量关系，你能解决明明旅行中的问题吗？

教师出示：（1）从昆明回来，明明乘坐了飞机，飞机每小时飞行800千米，飞行的总路程大约有2400千米。你知道飞了几小时吗？（2）从机场到家有9600米，明明乘坐出租车，大约用了10分钟，你能求出出租车的速度吗？

师：你是怎样做的，依据的是哪个数量关系？

生：时间=路程÷速度，所以要求飞机的飞行时间，用2400÷800=3（小时）。

生：速度=路程÷时间，出租车的速度是：9600÷10=960（米/分钟）。

【思考】“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”是两个最基本的数量关系，它们都来源于现实生活。在购物情境的基础上，教师又创设了旅游情境，并逐步放手，让学生根据“路程=速度×时间”，推导出“时间=路程÷速度”和“速度=路程÷时间”，随后又回归生活，让学生在解决现实问题中丰富对数量关系的理解，培养学生用数学眼光观察生活、用数学思维思考生活的能力。

四、自主创编，完善认知结构

师：刚才，我们研究了购物中的问题和旅行中的问题，总结了这些数量关系。这些常见的数量关系还能解决生活中的哪些问题呢？

教师出示：（1）一套《童话故事》80元，买这样的5套一共要用多少元？（2）小汽车每小时行驶80千米，照这样的速度，5小时一共行驶多少千米？

（学生独立思考，互相交流）

师：你是怎样解决问题的？根据哪个数量关系？

生：第（1）题是根据“总价=单价×数量”来解决问题的，第（2）题是根据“路程=速度×时间”来解决问题的。

师：比较一下，这两道题有什么相同的地方吗？

生：这两道题都用80×5来解决问题。

师：像这样用80×5解决问题的题目还有吗？你能编一个用它来解决问题的题目吗？先想一想，再和同桌说一说。

师：看来，这样的问题有很多，下面这几道题，你能说说它们的数量关系吗？

教师出示：（1）王师傅每小时做80个零件，做了5小时，一共做了多少个零件？（2）每袋糖果有80克，有5袋糖果，一共多少克？（3）每个书架放了80本书，有这样的5个书架，一共放了多少本书？

（学生回答略）

师：仔细观察一下，这些题目有什么相同的地方呢？

生：我发现，第一个条件告诉我们每一份有多少。

师：也就是每份数。

生：第二个条件告诉我们的是份数，要求的是总数。

生：我发现这么多的数量关系，如果概括为一个数量关系，就是“总数=每份数×份数”。

师：我们从低年级开始，就接触了“总数=每份数×份数”这个数量关系，今天我们学的“总价=单价×数量，路程=速度×时间”，与“总数=每份数×份数”在本质上是一样的。

【思考】数学知识不应求全，而应求联，教学中，教师要在多种联系中，帮助学生由点及面，自主完成知识建构，形成完整的知识体系。在这个教学环节中，教师没有满足于最基本的两个数量关系，而是借助“80×5”这个算式进行结构化教学，让学生通过编题，说数量关系，找共同点，提炼出“总数=每份数×份数”，从而完成旧知识与新知识的链接。在观察、概括、联系、表达中发展数学思维，让学生进一步理解基本数量关系的本质意义。

五、实践应用，体会数学价值

师：大家听说过“中国飞人”吗？苏炳添，他是100米跑亚洲纪录保持者。有一只小蜗牛不服气，竟然想和苏炳添比赛跑，我们来看看吧（见表4）。

师：表4中告诉我们，蜗牛、苏炳添和电动车的时间与路程，你能求出速度吗？

（学生算一算、填一填，并汇报结果）

师：小蜗牛说，我和苏炳添的速度数值都是10米，不是一样吗？你有什么想法？

生：虽然都是10米，小蜗牛的10米是每小时跑的，而苏炳添的10米是每秒钟跑的，苏炳添比小蜗牛快多了。

师：看来，这里的速度是一个复合单位，我们既要关注斜杠前面的信息，还要看清斜杠后面的信息。

师：照这样的速度，苏炳添也跑一小时的话，可以跑多少米？

生：苏炳添的速度是10米/秒，照这样的速度，1小时是3600秒，可以跑36000米，写成36000米/小时。

师：苏炳添不愧为中国飞人，他能跑得过电动车吗？

生：电动车速度是250米/分钟，可以写成15000米/小时，还是苏炳添快。

师：是的。但我们还要注意，这个比较是建立在苏炳添的百米速度上的，如果时间长，他就不一定能跑过电动车了。

师：今天这节课，我们研究了数量关系。从购物问题中，我们总结出“总价=单价×数量”；从旅行问题中，我们又总结出“路程=速度×时间”；由其他生活问题，我们还总结了“工作总量=工作效率×时间”等数量关系。通过沟通联系，我们发现这些数量关系本质上都可以用“总数=每份数×份数”来表示。看来，善于思考、善于总结，数学会越学越简单，希望同学们发现更多的数学奥秘。

【思考】教学中，教师让学生在更为丰富的现实情境中理解和运用数学知识，让学习更有深度和力量。通过创设小蜗牛、苏炳添和电动车比赛的情境，在速度的计算中进一步巩固学生对数量关系的理解，在三者的比较中深化学生对复合单位的认识，产生转化单位的需求。同时，教师的一句提醒“如果时间长，他就不一定能跑过电动车了”让学生回归理性，提升了学生联系实际解决复杂问题的能力。最后，教师回顾总结，再次帮助学生梳理知识，鼓励学生发现数学奥秘，让学生进一步体会到数学的价值。

（作者单位：江苏省无锡市新吴区泰伯实验小学）