在数的认识中发展学生的数感

一、缘起

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）将“数与代数”领域分为数与运算和数量关系两个主题。其中数与运算主题由“数的认识”和“数的运算”两部分整合而来，包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。“数的认识”是小学数学学习内容的基础和核心，在教学中，教师要结合学生的认知发展规律，引导学生从真实的生活情境中循序渐进地抽象出简单的数，在此基础上穿插一些实际问题让学生思考，帮助学生从生活实际出发，充分理解“数”和“运算”的关系，并利用这种关系来解决实际问题，发展学生的数感和符号意识。数感作为一种基本的数学能力，是学生在掌握数学知识、运用数学方法、解决实际问题过程中所表现出的敏锐度和直观感知。基于此，承载了数感这一核心素养培育的“分数的意义”该怎么教？笔者做了如下尝试。

二、教学实践

（一）引发想象，导入课题

师：看大屏幕（屏幕出现数字0），关于0，你觉得是大人的想法多还是小孩的想法多？

生：小孩的想法多。

师：一点儿都不谦虚啊！（笑）不过真让你说对了，的确是小孩的想法多。大家来试一试，好不好？不过得把数字改一改。（屏幕出现数字1）看到1，你能想到什么？

生：1个苹果。

生：1盘桃子。

……

师：同学们想了很多，说得都很好。但我们已经是五年级的学生了，如果对“1”的理解仅仅停留在这种水平上，显然是不够的。“1”还有更深刻的含义，想不想知道？

生：想。

师：好，今天的学习我们就从这一行小圆开始（如图1）。 <E：＼杂志＼江西教育B版＼2024年＼8期＼image2.png>

（二）理解单位“1”

1.“1”是一个“比较的标准”

师：看到图1中这一行同样的小圆，你想到用哪个数来表示？

生：4。

师：你是怎么想的？

生：一个小圆记作1，上面有4个小圆，所以是4。

师：还是这一行小圆，同学们还能想到用哪个数来表示？同桌讨论一下。

生：可以用2表示。

师：跟大家说说你是怎么想的。

生：2个小圆看成一份用1来表示，上面就是2份，记作2。

师：大家听明白了吗？把2个小圆看作一个整体，为一组，那上面这么多个圆和它比就有这样的2组，所以用整数2表示（如图2）。

师：还能表示成几？

生：[1/2]。

师：你是怎么想的？

生：把8个小圆看作1，平均分成2份，一份就是[1/2]。

师：思考更深刻了。把8个小圆看作一个整体，平均分成2份，4个小圆和它比就是这样的1份，所以就用分数[12]表示。如此，还能想到用别的数来表示吗？

生：可以。

师：同学们，问题来了，在这3个情境中（如图3），明明每一个情境中第一行的小圆都是一样多的，为什么表示的结果却不同呢？

（学生先独立思考，然后同桌交流讨论）

生：“1”不同。

（板书“1”）

师：什么意思？具体讲讲看“1”怎么不同了。

生：第一个情境中的“1”表示1个圆片，第二个情境中把2个圆片看成一个整体，用“1”表示，第三个情境中的“1”表示8个圆片。

师：还真是这样！每一个情境中“1”的具体含义不同，拿同样的4个小圆片和这些不同的“1”去比较，就得到了不同的比较结果。这里大家就是把“1”看成了什么？

生：比较的标准。

（板书比较的标准）

师：把“1”当成了比较的标准，“1”不同，也就是比较的标准不同，就得到了不同的结果。

2.理解“比较的标准”也是一个单位

师：同学们对“1”的认识更深刻些了吧，大家可以找到更多这样当成比较的标准的“1”来吗？

生：可以。

师：静心想一想，我们有没有学过有关比较的标准的知识？要是有，哪些是？

生：厘米、分米、米是比较的标准。

……

师：厘米是一个长度单位，大家觉得它是不是比较的标准？如图4，1厘米是这么长，那后面这条线段有多长呢？

生：只要用1厘米长的这条线段去比一比，看它有几个这样的1厘米就是几厘米。

师：看清楚了。它有3个1厘米，所以就是3厘米（如图5）。看来，厘米的确是比较的标准。

师：大家还想到了哪些比较的标准？

生：面积单位，比如平方厘米。

师：想一想，它是不是比较的标准呢？如图6，这是1平方厘米，后面这个图形面积有多大，怎么办？

生：用1平方厘米大的小正方形去比一比，看看它有几个小正方形就是几平方厘米。

师：的确，平方厘米也是比较的标准。

师：长度单位和面积单位都是比较的标准，还有哪些单位也是比较的标准？

生：还有时间单位、质量单位。

师：也就是说，我们以前学过的这些单位其实都是比较的标准。是的，在数学世界里，比较的标准简单点儿说就是一个单位。

3.认识单位“1”

师：同学们，这个“1”是比较的标准，现在我们就可以说它是一个什么？

生：一个单位。

师：说得对，为了突出这个“1”是比较的标准，是一个单位，我们在它上面加上双引号，干脆就把它叫作单位“1”。

（板书单位“1”）

（三）建构分数的意义

师：如图7，如果把这1个圆当作比较的标准，看作单位“1”，图中涂色部分该怎么表示？说说你是怎么想的。

生：把1个圆看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的1份，就是[1/3]。

师：如图8，把6个苹果看作单位“1”，下面2个苹果该怎么表示？

生：[1/3]。

师：你是怎么想的？

生：把6个苹果看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的1份，就是[1/3]。

师：如图9，如果把这1条长线段看作单位“1”，下面短线段怎么表示？先和同桌说一说。

生：把一条长线段看作单位“1”，平均分成3份，表示这样的1份，就是[1/3]。

师：同学们，问题又来了，明明单位“1”各不相同，表示一份的数量也不一样，为什么都是用[13]表示？

生：都是表示3份中的1份。

师：具体说说看。

生：不管是1个圆、6个苹果，还是1条长线段，我们都是把它们看作单位“1”，把单位“1”平均分成3份，表示这样的1份，所以都是[1/3]。

师：说得真好！这就是[1/3]这个分数的意义。

师：既然[1/3]的意义是这样，那[1/4]的意义呢？你会说吗？[2/5]的意义呢？

（学生逐个表达意义）

师：这就是我们今天要学习的——分数的意义。其实，理解分数的意义的关键就要先理解单位“1”的意义，下面我们就再来深入理解单位“1”。

（四）沟通联系

师：如图10，如果把4朵蓝花作为比较的标准，看作单位“1”。那红花该怎么表示？黄花呢？

生：红花用[1/4]表示，黄花用[2/4]表示。

师：你是怎么想的？

生：这里都是把蓝花看作单位“1”，红花是蓝花4份中的1份，所以是[1/4]，黄花是蓝花4份中的2份，所以是[2/4]。

师：变一变，假如把2朵黄花看作单位“1”，红花和蓝花该怎么表示呢？（小组内互相说一说）红花怎么表示？

生：红花用[1/2]表示。

师：同样是1朵红花，为什么刚才是用[1/4]表示，现在却用[1/2]表示了？

生：因为第一次是把蓝花看作单位“1”，平均分成4份，红花有这样的1份，就是[1/4]；现在是把黄花看作单位“1”，平均分成2份，所以是[1/2]。

师：哦，原来是单位“1”不同，也就是比较的标准不同了。那你们说，这个比较的标准重要吗？单位“1”重要吗？

生：太重要了！

师：蓝花怎么表示？

生：用2表示。

师：为什么红花用分数表示，而蓝花却用整数表示？

生：红花是把单位“1”平均分成2份中的1份，蓝花是有2个单位“1”这么多。

师：好，再来变一变。如果把红花看单位“1”，那黄花与蓝花分别怎么表示？

生：黄花用2表示，蓝花用4表示。

师：回顾刚才的学习过程，大家在表示红花、黄花、蓝花的时候，有时用整数，有时用分数，你们觉得都和谁有关系？

生：单位“1”。

师：是啊！那整数、分数和单位“1”究竟有什么联系？

生：整数是单位“1”累加后得到的，分数是单位“1”平均分后得到的。

师：真是个不错的发现，知道了整数、分数和单位“1”的关系，你能在图11这条数轴上找到整数2和分数[12]这两个点吗？

（师生互动交流）

师：只要确定了“1”，我们就能在数轴上找到任意一个整数、任意一个分数所对应的位置。

三、教学思考

分数概念非常抽象，学生难以准确理解分数概念，也很难建立数感。由此，笔者通过“分数的意义”的教学，着力培养学生的数感，让核心素养真正在数学课堂中“落地生根”，结出丰硕的“学习之果”。

（一）“播种”——抓住核心概念，培养数感

认识分数，需要沟通整体与部分、部分与部分之间的关系，前提找准单位“1”。学生初次接触分数，往往难以准确判断，这是教学中的“痛点”。因此，教师要加强对比，实现关联，引导学生厘清数量关系，培养数感。在教学中，教师要抓住“比较的标准”这个核心概念，不断进行单位“1”的累加和细分，发挥好单位“1”的桥梁和纽带的作用，真正架起一座知识的桥梁，有效沟通分数和整数之间内在的联系，从而实现知识教学的结构化。

（二）“生根”——创设真实情境，孕育数感

创设真实的情境，是孕育学生数感的重要策略。通过创设与现实生活紧密相连的教学情境，可以使学生更好地感知分数的意义，增强对数的敏感性和理解力。在教学中，教师利用学生生活中常见的长度单位、面积单位、质量单位和时间单位中“具体的量”，理解“比较的标准”，降低了认知的难度，让数感自然孕育。

（三）“发芽”——借助直观素材，发展数感

在教学中，教师要借助直观素材，通过实物或图形，引导学生动手操作，从而理解分数的意义。教师可以用苹果、花朵、纸片等实物以及线段图等图式，让学生通过动手分一分、数一数的方式建立分数的表象。借助直观素材，将红花、黄花、蓝花分别看作“比较的标准”，在单位“1”的不断变换中，学生对数量之间的关系的理解更深入了，发展了数感。

（四）“开花”——利用估计猜测，丰富数感

在核心素养背景下，估计猜测是建立数感的重要途径。在教学中，教师要巧妙利用数轴，让学生根据单位“1”进行估计猜测，在数轴上找到整数和分数的对应点，从而沟通整数和分数的联系，实现多角度的关联。学生在丰富的估测活动中，可以更全面地认识分数，从而建立丰富的表象。可见，教师设计具有结构化的估计猜测练习，可以丰富学生的数感。

（五）“结果”——采取抽象概括，建立数感

数学教学不是简单的知识传授，而是要着力培养学生的数学素养。数感是数学素养的重要组成部分，影响着学生未来的数学学习。发展学生数感，关键是要让学生能感悟数量之间的关系，培养学生的抽象概括能力。教师可以通过语言描述的方式，引导学生感知数的意义，逐渐形成抽象的分数概念，让学生逐渐适应数学的抽象性，发展抽象思维能力，从而真正建立数感。

（作者单位：江苏省江阴市实验小学教育集团）