活用工具，巧作图

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）对学生的动手操作能力提出了更高的要求。第一学段（1～2年级）要求学生会简单识图、拼图、画图，第四学段（7～9年级）要求学生能够利用无刻度的直尺和圆规作图。在画图要求方面，在小学阶段，“新课标”不仅对数学工具（直尺、三角板、圆规、量角器）的使用提出了更加明确的要求，而且对画图的要求也更多、更细。这些变化既让学生体会到不同的数学工具在画图中承担的角色和作用，还对学生的动手操作能力提出了更高要求，这将加深学生对几何图形的直观认识和对经验的感悟，为学生抽象思维能力的培养奠定基础。

“新课标”对尺规作图的具体要求主要有两大变化。第一个变化是，对用尺规完成基本作图中的“作一条线段等于已知线段”的要求挪到小学阶段，增加了“过直线外一点作这条直线的平行线”的要求；第二个变化是，由要求“会用三角尺过圆上一点画圆的切线”变成能用尺规完成“过圆外一点作圆的切线”，对学生利用尺规作图提出了更高的要求。这一变化要求学生在尺规作图的过程中，增强动手能力，能想象出通过尺规作图的操作所形成的图形，理解尺规作图的基本原理与方法，发展空间观念和空间想象力。基于“新课标”对作图要求的调整，教学人教版教材八年级上册“尺规作图”时，笔者改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进以“用活工具”为目的的大单元整体教学设计，取得了较好的教学效果。

一、梳理前置任务，引出问题

任务一：作图工具的盘点。

在研究数学问题时，我们经常使用哪些工具作图？请你盘点一下。

任务二：完成下面两个任务，同时请你思考数学工具在作图中起到了什么作用。

1.尺规作图（保留作图痕迹，写清结论）。

已知如图1的∠α，求作∠AOB，使∠AOB＝α。

2.按要求画15°角和135°角。

要求：只能使用三角板作图，每个角度设计两种方案（保留作图痕迹，写清结论）。

学生活动：（1）完成利用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角的基本作图；（2）用特殊的30°、45°、60°、90°三角板进行组合画一些指定角的度数；（3）学生解说和梳理作业内容。

教师活动：（1）教师展示优秀的学生作业并请两个学生进行解说；（2）教师在结合学生解说的基础上对知识进行再提升，对数学工具的作用进行整理；（3）教师引导学生思考：我们可以借助三角板画一些特殊度数的角，那么能否仅用尺规作出一些特殊度数的角呢？比如，用尺规求作一个角等于90°，请大家思考并拿出自己的方案。

在教学中，教师对基本尺规作图和画图进行总结，让学生感受各种数学工具在画图、作图中的不同作用。在巩固画图、作图具体要求的同时，学生对灵活利用手中的数学工具作图有了深层次的认识，为后续探究活动做好铺垫。

二、动手操作，探究新知

教师要求学生根据以下文字语言作图。

如图2，已知线段AB。

∠AOB的作法：（1）分别以A、B为圆心，以大于[12]AB为半径画弧，两弧在线段AB的上方交于点C；（2）分别以A、B为圆心，以大于[12]AB为半径画弧，两弧在线段AB的下方交于点D；（3）作直线CD交线段AB于点O。

教师活动：（1）观察图中是否有我们想要的90°角？如果有，怎样判断是90°？如果没有，请说明理由。（2）教师要求学生在尺规作图的基础上，给出垂直平分线的定义和等腰三角形的性质。

在教学中，学生能读懂作图语言，并能根据语言描述作出相应的图形，在作图过程中体会直尺和圆规这两种数学工具的作用，能够对图形进行分析，理解作图所蕴含的基本原理，加深对垂直平分线作法的理解，并在此基础上探究新知识，了解新概念。

三、现场学习，知识运用

教师出示任务：利用尺规过一点作已知直线的垂线。

1.点C与直线l的位置关系有几种？

2.对于每一种情况，如何过点C作出直线l的垂线？

学生结合七年级学过的知识知道，点C与直线l有两种位置关系（点C在直线l上，点C在直线l外），如图3所示。通过对线段垂直平分线作法的学习，领悟到作直线的垂线，本质是作线段的垂直平分线。

教师活动：结合已学知识，利用尺规过直线外一点C作已知直线l的平行线。

学生活动：通过思考判断两条直线平行的条件“同位（内错）角相等”，由此可以推断其本质就是用尺规作一个角等于已知角。

在教学中，教师不仅要将新学的知识与前置作业有效地联系在一起，让学生复习和巩固“作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，过直线外一点作这条直线的平行线”这三个基本作图，还要让学生理解作图、画图的理论依据，以及基本作图之间的内在联系。

四、能力拓展，自主交流

思考：1.如图4，如何画出△ABC的边BC上的中线；

2.如何作出△ABC的边BC上的中线；

3.改成BC边上的高线，该怎么画图、作图？

教师活动：教师引导学生在不同背景下利用几何图形的性质分析问题，探究问题的本质，灵活利用数学工具解决问题。

学生活动：学生自主探究如何解决三角形一边上的中线和高线的作法和画法问题。学生在交流中发现，作法尽管多种多样，但其基本原理还是线段的垂直平分线的作法和画法。在画图和作图中体会不同数学工具所起到的作用。

学生能够理解不同背景下的作图和画图的基本原理，并能利用手中的数学工具灵活作图，不仅体会到巧用数学工具带来的便利，还提升了学生分析问题、解决问题的能力。

（作者单位：北京市陈经纶中学）