数形结合，让推理能力自然生长

推理是由一个或几个已知的判断，推导出一个未知结论的思维过程。在小学数学教学中，教师要结合学生的思维特点，借助图形，促进学生的已有知识、经验、技能有效迁移，使知识之间产生联结、形成体系。教师要把推理能力的培养植根于日常教学中，以具体的教学内容为载体，让学生自主经历知识的形成过程，进行思考与表达，让推理成为学生学习的基本思考方式。“积的变化规律”是苏教版小学数学教材四年级下册的教学内容，是乘法运算中重要的规律。学习本课之前，学生在有关乘法题组的计算中对积的变化规律已经略有所知。因此，在本课教学中，教师应着力思考如何让学生在有根有据的思维与表达的过程中发展推理能力。

一、数形结合，让学生看得更明白

教材通过列表的形式呈现几组乘法算式，引导学生观察发现乘数、积都在变化，进而启发学生猜想、验证。在教学中，学生经常游离于数学知识本质之外，不利于聚焦核心知识。如何引导学生有效地观察素材呢？教师可以利用图形变化引导学生观察算式的变化。

【教学片段1】

师：今天这节课我们一起来研究“积的变化规律”，说到积，你们想到了哪些数量关系？

生：长×宽=面积。

生：单价×数量=总价。

生：乘数×乘数=积。

师：对，两个数相乘的结果就是它们的积。今天我们就从“长是10 cm、宽是3 cm”面积是“10×3=30 cm2”的长方形开始研究。

师：你觉得长方形面积的变化跟什么有关系？

生：跟长、宽都有关系。

师：就以长方形为例，你打算怎么变呢？

生：长变化，或者宽变化，还可以长和宽都变化。

【思考】在新课引入环节中，教师将教材静态的算式改为直观的、动态的图形变化，让学生观察在动态变化过程中形成的算式，把目光聚焦于“积与乘数的变化”。学生透过事实学会思考、迁移知识、研究将图形面积的推理方法，迁移到即将展开的新知识的学习中，有助于学生建立各种模式以及加强新旧知识之间的联系。

二、数形结合，让学生说得更清楚

对于积的变化规律，学生已经略有所知，但是还要让学生清晰、完整地说清楚思考过程。教师要提供图形素材，让学生借助相似的规律、明显的材料自主经历推理的过程。

【教学片段2】

师：先从简单入手，长不变，宽变。

师：现在长方形的面积是多少？是怎样变化的？请结合图1说一说。

生：面积是60 cm2时，长不变，还是10 cm，宽乘2，面积也乘2。

生：面积是90cm2时，长不变，还是10 cm，宽乘3，面积也乘3。

生：面积是120cm2时，长不变，还是10 cm，宽乘4，面积也乘4。

师：还能继续往下摆吗？根据图形，我们列出这些算式，看看这些算式和原式有什么联系。

（教师相机出示算式）

生：长不变，宽依次乘2、3、4。

生：一个乘数不变，另一个乘数分别乘2、3、4，积也跟着发生了变化。

师：发生了怎样的变化，请具体说一说。

师：第一个乘数不变，第二个乘数乘2，积跟着乘2；第二个乘数乘3，积跟着乘3；第三个乘数乘4，积也跟着乘4。

师：借助长方形，我们发现长不变，宽乘几，面积也跟着乘几。

师：如果宽不变，长变化，面积会发生什么变化呢？借助刚才的经验，大家自主研究并完成学习单。

生：我发现宽不变，长乘几，面积也跟着乘几。

师：在“长×宽=面积”这个乘法算式中，长和宽就是两个乘数，面积就是乘积。结合图形，你能说一说乘法算式中积的变化规律吗？

生：在乘法算式中，一个乘数不变，另一个乘数乘几，积也跟着乘几。

师：同学们已经发现了乘数和积之间的一些变化规律，在此基础上，结合图形继续探究，如果这样变呢（课件动态演示：长方形的长不变，宽变小）？你又有什么新的发现？

生：一个乘数不变，另一个乘数除以几，积也就跟着除以几。

师：刚才结合长方形，我们研究了积的变化规律。大家是怎样研究的？

生：先让其中的一个乘数不变，另一个乘数变化，看看积的变化和乘数的变化有什么关系。

【思考】在教学中，教师要让学生在动态变化中体会“长不变，宽变长，面积变大”的规律，并借助图形清楚表述乘数和积之间的变化规律。利用直观图形有助于学生构建知识体系，激发学生主动思考。

三、数形结合，让学生想得更深远

深度学习强调在现实世界中“创造和运用”，运用知识的过程就是迁移知识的过程。这一教学方式旨在让学生把学到的知识迁移到新的情境中，可以帮助学生灵活解决实际问题，借助图形进行有理思考、有序表达，依据规律找寻符合规律的图形，有利于培养学生的推理能力。

【教学片段3】

师：接下来，我们运用规律解决实际问题（如图2）。

师：你们是怎样求出总价的？

生：用“单价×数量”求出总价。

师：还有不同想法吗？

生：用单价乘数量算出第一个总价是60元，因为单价是不变的，数量乘几，总价就乘几，所以求出第二个总价是60×2=120元。

师：最后两空求数量，你们是怎样想的？

生：和第一空的总价60元比，发现60×（6）=360，60×（8）=480，因为单价不变，所以数量也要分别乘6和乘8，求出结果是24个和32个。

师：大家根据积的变化规律很快求出了结果，真棒。

师：刚才买4个计算器需要60元，现在计算器涨价了，单价乘2，购买的数量乘3，积会发生怎样的变化呢？你们是怎么想的？

生：一个乘数扩大2倍，积也扩大2倍；另一个乘数扩大3倍，积也扩大3倍，两个乘数同时扩大，积就扩大了2×3=6倍。

师：确实，一个乘数乘3，另一个乘数乘2，两个乘数同时变化，积也就乘了它们的乘积倍。

师：我们刚才研究积的变化规律，先锁定其中一个量不变，另一个量变化，初步发现规律，后来又把这两个量同时相乘，积也发生变化。

师：想一想，是否还有其他变化规律呢？

生：如果一个乘数除以3，另一个乘数除以2，我觉得积要除以它们的乘积倍。

生：如果一个乘数乘3，另一个乘数除以3，它们的积不变。

……

师：同学们的推理都很有道理。

师：我们学校操场南边有一块480平方米大的草坪，为了让同学们有更大的体育活动空间，学校决定对这块草坪进行扩建。根据学生数量，学校对学生活动范围进行了预估，认为扩建后的草坪面积在4000平方米左右比较合适。现在有下面两种扩建方案，你们觉得哪种方案更符合扩建要求？扩建方案：（1）长扩大为原来的3倍，宽不变；（2）长和宽都扩大为原来的3倍。

师：老师有个要求，同学们不要动笔算，看着题目思考后选择方案。

生：我觉得这个实际问题好像缺少条件，没有告诉长和宽的数量，没有办法求出扩建后的面积是多少。

生：我不同意他的想法，我觉得不需要知道长和宽也可以求出扩建后的面积，只要用今天学的积的变化规律，把长和宽看作是两个乘数，在方案（1）中，长是原来的3倍，宽不变，最后积就扩大了3倍，把480看作500去估算，面积就是1500平方米左右；在方案（2）中，长和宽都是原来的3倍，根据上面发现的规律，两个乘数都扩大，积就要乘上乘积倍，所以就比原来扩大了3×3=9倍，500×9=4500平方米。

生：我同意这个同学的想法，不过我还有补充，因为把480看作500去估算，是把乘数估大了，所以得到的结果要比正确答案要大，我认为正确答案肯定比4500平方米要小一些，比4000平方米要大一些。

师：同学们的想法都有道理，在实际生活情境中，可以灵活应用积的变化规律解决问题。

【思考】在“买计算器”情境中，教师应用规律解决“积的变化规律”问题。通过两种方法的比较，学生发现，应用积的变化规律可以让计算更快捷。在知道总价求数量的过程中，根据积的变化来倒推乘数的变化，让学生灵活应用规律解决问题。学校操场扩建方案问题则是积的变化规律的推广，教师要让学生明白：当两个乘数变量都扩大时，积也发生变化。学生通过交流辨析，发现两个乘数同时变化，积也发生变化。基于真实情境的学习任务，学生能明晰问题解决的过程，提高推理能力、分析能力。

【教学反思】

一、推理能力的培养，要基于具体的教学内容

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，在小学阶段要培养学生的推理意识，推理意识主要是指对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。小学数学教材中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”四个领域的课程内容，都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材和载体，具体的教学内容都有关联的核心素养。因此，教师要充分挖掘教材背后的数学思想方法，从培养学生核心素养的高度重新思考教学目标的设定，用教材教，而不是教教材，让数学学习更有探究的味道。

二、推理能力的培养，要有机融合在教学过程之中

在教学中，教师要抓住合适的时机，充分融入推理意识。这节课以动态变化的长方形贯穿始终，从“变什么”到“怎么变”都由学生自主探究。首先锁定一个变量，即长不变，观察另外两个量之间的关系。从一个变量拓展延伸到两个变量，即长与宽同时扩大或缩小，最后又延伸到课外的自主探究“是否存在乘数变化，但是积不变的情况”。依据长方形面积的变化情况，通过内容选择、流程设计、策略优化的全过程，让学生经历积的变化规律的发现过程。

三、推理能力的培养，要应用于真实的问题解决

在教学中，教师通过问题驱动的方式让学生经历了推理的全过程，课堂教学关键节点的设计都有对应的问题驱动。教学起点的设计，对应的驱动性问题是“你觉得长方形面积的变化跟什么有关？以长方形为例，你打算怎么变”；教学生长点的设计，对应的驱动性问题是“结合图形，说一说乘法算式中积的变化的规律”；教学延伸点的设计，对应的驱动性问题是“结合图形想一想，乘法算式中是否还有其他的变化规律？”在问题解决的过程中，培养了学生用数学思维思考问题的能力，实现了数学教学的增值性发展。

（作者单位：江苏省无锡市张泾实验小学）