小初数学衔接实践作业设计与反馈

为帮助学生适应初中数学教学，笔者基于学生的思维发展特点，在开学初布置了一项衔接小学与初中数学知识的实践作业：画出你家到学校的路线图（明确具体怎么走），用相关工具测量出路线的长度、耗费的时间，并计算出你的速度。从学生上交的作业可以发现，他们上学的方式有走路、骑车、乘车，他们能合理利用工具测量数据，利用数量关系解决问题，并通过绘画方式展现成果。笔者如何反馈作业，促进学生衔接小学与初中数学知识呢？

一、结合实操引出数轴，体会正负数的实际意义

课堂上，笔者选择3份作品组织学生交流，由此引入数轴、负数、相反意义的量等概念。

具体来说，笔者呈现小明、小红、小王绘制的路线图，让学生观察他们的家与学校的位置关系。学生发现，他们的家都和学校大门在同一条直线上，并且分别在大门左侧350米、100米处及大门右侧100米处。然后，笔者拿出一根长绳代表学校所在的这条街道，用长绳的中点表示学校大门（即数轴原点），并引导这3名学生依次按照自己家的位置在长绳上选择相应的站位。小红先按照大致距离站在长绳中点左边，然后小明站在小红的左边。他们站定后，学生发现小明站的位置不够准确，提出质疑：小明家到学校的距离是小红家到学校距离的3.5倍，他们与中点的距离比例不对。怎样站合理呢？学生提出用尺子测量小红到绳子中点的距离，这个距离乘3.5后得到的数据就是小明到绳子中点的距离。笔者鼓励学生动手操作，帮助小明站对位置。接下来，小王毫不犹豫地站在长绳中点的右边。其他学生观察后，示意小王往右移动一段距离。显然，学生发现小红和小王站的位置应在大门两侧且与大门等距。笔者顺势引入数轴的概念——规定了原点、正方向、单位长度的直线。后续，学生在笔者点拨下认识了负数，理解了相反意义的量，知道了从校门（原点）出发向右走100米的位置记作“+100”米，从校门出发向左走100米的位置记作“-100”米，这两个数互为相反数。

二、结合数轴探析绝对值相关问题

借助数轴，学生能清晰地看到点与原点之间的距离。由此，笔者引入绝对值的概念“数轴上表示数[a]的点到原点的距离叫作数[a]的绝对值”，并引导学生学会表示数轴上[a]点到b点的距离，进而解决相关最值问题。

学生明确绝对值的概念及表示方法后，笔者用课件呈现数轴上小明和小王的位置，并提出小红不知道她家确切位置的假设，引导学生探析如何设置小红家的位置，才能使她到小明和小王所在位置的路程之和最短。笔者先引导学生举例试算，如小红家的位置分别在表示-400，-150，200的点上时，分别计算路程之和，让学生熟悉两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值。学生从数轴上直观地看到了点与点之间距离的表示方法，即点A表示的数为[a]、点B表示的数为b时，点A到点B的距离为[a-b]。接着，笔者引导学生思考小红的位置可以在哪些区域。学生发现表示小明、小王位置的两个点把数轴分成了三个部分，因此小红家的位置有三个区域可以选择，分别是-350的左边、-350到100之间、100的右边。在此基础上，笔者引导学生通过比较线段的长短，发现小红家的位置在-350到100之间（小王和小明之间）时路程之和最短。笔者引导：如果小红所在位置对应的数为[x]，如何表示距离之和呢？学生借助已有知识写出了表示距离之和的代数式“[x+350+x-100]”。其中，[x+350]表示数[x]对应的点到-350对应的点之间的距离，[x-100]表示数[x]对应的点到100对应的点之间的距离。笔者引导学生分别判断绝对值里数的正负性，进而去掉绝对值。通过讨论，学生梳理出如下分类情况：①[x]＜-350，②-350≤[x]≤100，③[x]＞100。在①和③的情况下，笔者引导学生利用[x+350+x-100]的取值范围得出[x]大于450；在②的情况下，学生发现[x]抵消后得到的值为450。学生发现这个结果与根据数轴上线段长短所做的判断结果一致。于是，学生归纳：要使距离之和最小，只用考虑小红在小王和小明所在位置之间的情况，此时最短距离是两个点对应数之差的绝对值[-350-100]，也可以用较大的数减去较小的数，即根据“[100-（-350）]”得出最小值450。

三、结合数量关系式体会字母表示数的一般性

为助力学生学习七年级上册第三章《代数式》，巩固《用字母表示数》相关知识，笔者在课前整理学生的路线图作品作为课堂探讨素材，帮助他们深入理解用字母表示数具有一般性。

课堂上，笔者呈现两幅学生的路线图作品，引导学生讲一讲其中的数据是怎么来的，相应的字母[s]，[v]，[t]分别表示什么意义。学生1回答：我从家到学校共走了500步，我一步的距离是60厘米（0.6米），因此我家到学校的距离是300米，我从家到学校用了5分钟，用“300÷5”计算出我的速度是60米/分；这里的[s]对应300米，[t]对应5分钟，[v]对应60米/分。学生2的回答与此类似，只不过他是通过手机软件测得从家到学校的路程。由此，学生发现：虽然每名同学所写的数据不同，但是它们都能用[s]，[v]，[t]表示，满足“路程=时间×速度”的数量关系。笔者点拨：字母可以像数一样参与运算，不同的数据只要满足“路程=时间×速度”的数量关系，就可以用“[s=vt]”的字母关系式表示。笔者让学生回顾以前所学的知识，举出用字母表示数或数量关系的例子。学生列举出“长方形面积=长×宽”可以用“[S=ab]”表示等例子，进而发现数据有特殊性，每组数据只能对应一种情况，而用字母表示数或数量关系具有一般性。最后，笔者设计趣味游戏：①在纸上写一个数字；②将这个数字加11后乘2；③用得数减去20后乘5；④用上一步的得数减去开始写的数字的10倍，得出最终结果。学生自主选用数字计算，发现即便大家所选的数字不同，最终答案也一致。这引发了学生的质疑，笔者提醒学生结合课堂所学想一想，学生意识到可以把数字换成字母试一试。他们按步骤写出综合算式后，发现字母在计算过程中被消除了，字母不影响最终答案，也就是最初选用的数字对计算结果没有影响。

四、结合平面直角坐标系表示位置

部分学生的家不在学校大门所在的这条街道上，如何利用数学方法简明地表示他们家的位置呢？笔者结合七年级下册平面直角坐标系的内容做如下引导。

课堂上，笔者先出示学生3的路线图（他的家在出校门后右转走200米，再右转走500米的地方），引导学生思考：之前我们用数轴上的点表示位置，规定以学校大门为原点，以大门南边为正方向，则大门北边为负方向，出校门后右转（往南）走200米就对应数轴上表示200的点，那么，东边和西边该怎么表示呢？学生回答：我们之前学习过位置和方向的知识，要表示一个点（位置），我们可以画出东南西北四个方向的坐标图，目前已知南北方向，我们可以垂直于南北方向再画一条数轴表示东西方向。笔者顺势引导学生建立平面直角坐标系，规定大门以南和大门以东为正方向，并用课件演示。经过讨论，学生得到学生3的家可以用点（200，-500）表示。笔者提问：学生4的家在出校门后向北走150米处，这个位置怎么表示？学生观察直角坐标系后答出“（-150，0）”。随后，笔者组织学生两人一组，分别用有序数对表示学校附近的幼儿园、书店、公交站等的位置。合作学习后，学生发现可以用有序数对表示平面上所有区域的点，并提出新的问题：学生3的家在10楼，能用有序数对表示这个具体位置吗？学生创造性地提出可以垂直于地面再画一条数轴，规定向上为正方向，单位长度为“1层楼”，这样他家就可以用（200，-500，10）表示。笔者提醒学生注意每条数轴上单位长度的统一。

（作者单位：湖北省水果湖第一中学）

文字编辑  刘佳