运算能力的内涵、维度与具体表现

运算是数学内部发生发展的动力与工具，对人的思维能力提升具有不可替代的作用。运算贯穿小学数学课程与教学的全过程，具备运算能力是学习数学的基础。《义务教育数学课程标准（2022年版）》发布以后，如何实现核心素养导向的教学成为数学教学实践方面的重要议题。本组文章聚焦运算能力，以“20以内的进位加法”单元为例，从运算能力的内涵、维度与具体表现的分析入手确定学习目标，从课程标准要求、教材编写、教学实践三个角度整体解读教材，并探讨指向运算能力发展的学习任务设计与实施策略，以真实案例展示如何实现核心素养导向的小学数学教学。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课程标准”）提出数学课程要培养学生的“三会”核心素养：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。运算能力是小学阶段唯一作为“能力”要求的行为表现，主要指向数学思维的发展，体现数学的严谨性。教师只有理解运算能力的内涵，并将其与具体的单元内容建立关联，才能在教学中有针对性地表述和落实核心素养目标。本文基于已有研究成果分析运算能力的内涵及维度，探讨运算能力的具体表现。

一、运算能力的内涵分析

运算能力是数学学习中至关重要的一种能力。

从心理学角度讲，端木钰在《锻造基于思维特质学习力的小学生运算技能》一文中提出，运算技能指学生借助内部言语在头脑中进行的一系列智力活动方式，它是智力技能，而非操作技能。这强调了运算能力的智力技能属性。

《数学辞海》（第六卷）指出：运算能力是运用有关运算的知识进行运算、推理求得运算结果的能力，它是数学能力的基本成分之一；数学运算包括初等数学阶段的四则运算，整式、有理式、根式运算，指数、对数、三角函数运算，高等数学阶段的运算，以及更广义、抽象的运算。《中国中学教学百科全书·数学卷》（1991年版）指出，运算能力和逻辑思维能力、空间想象能力并称为数学的三大基本能力。运算能力在2022年版课程标准中被定义为根据法则和运算律进行正确运算的能力。可见，运算能力作为数学的一项综合技能，是运算技能与逻辑思维能力的一种独特结合。

不同学者对运算能力持有不同的认识，比较典型的观点如下：王强国在《数学“运算能力”的内涵、要求及提升路径》一文中提出，运算能力并非孤立的数学能力，它需要通过了解并正确应用运算知识、运算条件、运算方法与运算步骤尽可能简洁地获得运算结果，从而促进操作和思辨的融合；吕世虎在《数学核心素养的内涵及其体系构建》一文中强调，运算能力的发展是运算技能和逻辑思维的有效整合，这有助于个体程序化思考问题能力的形成以及逻辑推理能力的提升，同时，运算过程中对通性通法和简洁算法的追求可以使个体的思维更加灵活，运算得到优化；孙敦甲在《中学生数学能力发展的研究》一文中将运算能力划分为三级水平，分别是理解掌握各种运算的能力、灵活运用各种运算的能力和抽象认识运算的能力。

以上著作和学者对运算能力内涵的界定虽然不同，但其内涵大都涉及“知识”“技能”“结果”“法则”“思维能力”等关键词。运算能力的发展过程蕴含着抽象、推理、建模等基本数学思想，能有效促进学生数学思维的发展。综上，运算能力是以知识为基础，融合技能运用，以求得正确结果为导向，旨在提升思维能力的遍布各个学段、分为多个层次的综合技能。

二、运算能力的维度划分

在把握运算能力内涵的基础上明晰其构成维度，进而明确其具体表现，有利于有的放矢地进行针对性教学与练习。

2022年版课程标准对运算能力主要表现的描述包括三个方面：一是能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；二是能够理解运算的问题，选择合理、简洁的运算策略解决问题；三是能够通过运算促进数学推理能力的发展。林崇德将数学运算能力划分为三级水平。第一，了解与理解运算的水平：学生对运算的含义以及运算律、运算公式有感性的、初步的认识。第二，掌握应用运算的水平：学生在了解运算水平的基础上通过练习形成技能，并能够解决一定的数学问题。第三，综合评价运算的水平：学生在掌握多种解法的基础上能够选择最便捷、灵活的方法解决问题。杨豫晖在《义务教育课程标准（2011年版）案例式解读 小学数学》一书中提出，运算能力从运算内容看，包括数的运算能力和符号运算能力；从运算过程看，包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中因遇到障碍而调整运算的能力。李吉在《小学生数学能力的维度及培养》一文中提出，培养学生运算能力首先要正确掌握数学基本知识（法则、性质、概念等）；其次要加强运算能力训练；最后要养成良好的运算习惯，形成一丝不苟的学习态度。由此，我们可以发现，已有研究普遍认为运算能力包括了解与掌握运算相关知识、形成应用技能、选择合理的策略解决数学问题三个方面。

《义务教育数学课程标准（2022年版）解读》提到运算能力包含以下几个方面：首先是根据运算律、运算法则和运算程序熟练地进行数的四则运算；其次是理解运算对象、运算律与算法之间的关系，感悟运算的一致性；再次是通过运算解决数学问题和简单的实际问题；最后是通过运算、探究，发现简单的数量关系与规律。北师大版小学数学教师用书（2024年版）将运算能力的维度划分为理解运算的意义、理解算法与算理之间的关系、选择合理的策略解决问题、通过运算促进推理能力的发展四个方面。

综上所述，我们可将2022年版课程标准给出的运算能力的第一个表现拆分为“理解意义”和“理解关系”两个方面，以凸显运算能力的进阶性，引导学生循序渐进地达到相关要求，并基于此，将运算能力的表现界定为以下四个维度：①理解运算的意义；②理解算法与算理之间的关系；③选择合理的策略解决问题；④通过运算促进推理能力的发展。

三、运算能力各维度的具体表现

第一，理解运算的意义。理解运算的意义是构建数学知识体系的起点，小学阶段主要涉及整数四则运算、小数四则运算、分数四则运算的理解，以及加法交换律、结合律等运算律的理解。在学习四则运算的过程中，学生要先经历从数量到数的抽象过程，理解并掌握数的概念。无论是整数、小数的四则运算，还是分数的四则运算，都要遵循四则运算的运算顺序、定律、性质和关系等。理解整数四则运算的意义是学习小数、分数四则运算的基础。小数的运算紧密贴合生活中的度量，与生活场景紧密相连。分数的运算侧重部分与整体关系的诠释。不同运算之间同时存在着内在的逻辑关系，如加法与减法互为逆运算，乘法是特殊的加法且与除法存在着密切的互逆关系等。

第二，理解算法与算理之间的关系。这是数与代数领域数与运算教学的重点。顾名思义，算理就是计算过程所遵循的道理，即为什么这样算；算法即计算的方法，也就是怎样算。算理是算法的依据，是形成运算策略的基础，理解算理是小学阶段所有运算教学的核心目标，而算法形成于理解算理的过程中，因此算理与算法相互融合。比如，小数四则运算以整数四则运算为基础，小数加减法所强调的小数点对齐与整数加减法所强调的数位对齐在算理上别无二致。史宁中提出计数单位是一种特殊的计量单位，即个数和顺序的计量单位，我们可以把它作为数学化（一致性）的抓手。因此，数的运算实质上是相同计数单位的运算，如异分母分数除法的教学涉及通分，我们要引导学生理解通分的目的是得到相同的计数单位，因为只有计数单位相同，才能直接相加减，进而感悟运算的一致性。

第三，选择合理的策略解决问题。数学源于生活，服务于生活。无论是在课堂探究中还是在日常练习中，教师都应联系实际生活提出问题，引导学生结合实际分析问题，基于所掌握的运算法则找出最合理、简便的方法解决问题，并在相同情境中依据已有经验估算与判断。如在“欢乐购物街”主题学习中，学生认识并使用人民币，在真实的购物活动中换算人民币，合理选择人民币购物，加强对加减法的运用。

第四，通过运算促进推理能力的发展。推理一般包括合情推理和演绎推理。在学习四则运算的过程中，学生需要依据运算法则和已有经验推测出合理的运算顺序，并在后续学习中随着对运算律的深入理解，学会在解决问题时从定律的普遍原理推导出具体题目的解法。

根据以上分析，我们将运算能力各维度的具体表现细化（见表1）。该表格从理解运算的意义、理解算法与算理之间的关系、选择合理的策略解决问题和通过运算促进推理能力的发展四个维度，层层递进地阐述运算能力的核心内容，展现从基本理解到高阶思维的发展路径，构成运算能力的层级框架。每个维度下细化出的可操作的具体表现，既能为教师设计教学内容提供指导，又能为教师评价学生运算能力的发展水平提供依据，对落实数学核心素养具有重要价值。

（作者单位：福建师范大学）

［本文系福建省教育科学“十四五”规划2022年度基础教育高质量发展重点专项课题“高质量发展视域下课堂教学的评价指标体系构建研究”（FJGHZD22-06）、福建省教育科学规划教育考试招生重点课题（A类）“核心素养导向的中小学考试与评价研究”（FJJYKS23-06）的成果］