感悟加减运算算理、算法一致性教学策略

运算教学的重点在于理解算理、掌握算法。整数、小数、分数加减运算的一致性主要体现在算理、算法上，教师从大单元视角依托以下路径教学加减运算，有助于学生沟通整数、小数、分数加减运算之间的联系，从计数单位及其个数的角度理解加减运算的本质，感悟其算理、算法的一致性。

一、重组教材内容，构建结构化大单元

整数、小数、分数加减运算的教学内容分布在各册教材中，教师以数的认识和数的运算一致性为主旨整合各册教材中的相关内容，通过大单元整体设计厘清加减运算教学内容之间的关联，有助于学生通过类比理解算理，通过迁移掌握算法，进而融会贯通地理解加减运算算理、算法的一致性。基于此，笔者对北师大版数学一年级下册第四单元“100以内数的认识”和第五单元“100以内数加与减（一）”的内容进行大单元整体设计。

具体来说，笔者将第四单元中身边的数（100以内数的数法）、数一数（100以内数的数法）、数豆子（100以内数的读写）、谁的红果多（数的大小比较）、小小养殖场（数的相对大小关系）、做个百数表（100以内数的顺序）、整理与复习（100以内数的组成、读写、大小比较）7个课时的内容，整合为“我是识数小达人”和“拓展整理”2个主题，分为经验转化课、基础认知课、巩固应用课3个课时教学，主要教学活动分别是：通过数数方法的迁移与提升，学会数100以内的数；学习相应的计数单位及含义，读、写100以内的数；借助对计数单位的理解进行数的大小比较、数的顺序等方面的应用。

笔者还将第五单元中小兔请客（整十数的加减法）、采松果（两位数加减一位数、整十数）、青蛙吃虫子（两位数加减两位数）、算一算（竖式的初步认识和计算）、有趣的算式（探究个位和十位数字相同的算式）、回收废品［解决比一个数多（少）几的数是多少的问题］、整理与复习（100以内数的加减法计算）7个课时的内容，整合为“我是计算小达人、拓展提升、解决问题、回顾梳理”4个主题，分为感悟归纳课、迁移建构课、拓展思维课、实际应用课、总结内化课5个课时教学，并分别设置如下主要教学活动：借助多种表征方式理解算理、总结算法，正确计算整十数加减法、两位数加减法；进行算法迁移，学习笔算，建立算法模型；探究个位和十位数字相同的算式计算；在解决问题中深入理解加法、减法的含义和关系；总结100以内数的加减法算理和算法。

这样设计能为学生感悟数与运算的一致性赋能，为他们后续学习小数、分数加减运算奠定基础。

二、借助直观模型，理解算理一致性

探究算理是加减运算教学的重难点，学生只有理解加减运算的本质，明白加减法是对数量的合并与拆分，才能更好地掌握算法。直观模型是探究算法的有力工具，笔者结合北师大版数学五年级下册第一单元“分数加减法”第一课时《折纸》（异分母分数加减法）的教学做具体阐释。

学习异分母分数加减法之前，学生已经学习了整数和小数加减法的意义及算理、分数的意义和性质、简单的同分母分数加减法，对相同计数单位上的数才能直接相加减的算理本质有了一定认知。在本节课，笔者重点借助直观模型引导学生沟通分数加减法与整数加减法之间的联系，结合在整数加减法学习中积累的有关算理理解的经验，理解异分母分数加减法的算理并概括其算法。

教材展示学生熟悉的折纸情境，引出两个问题。第一个问题教学异分母分数加法，学生结合教材中直观的正方形折纸图清楚地看到[12]就是[24]，体会到通分在异分母分数加减法中的必要性，并从分数单位的角度理解算理——[12]+[14]=[2 4]+[14]=2个[14]+1个[14]=3个[14]=[34]，进而梳理算法——先通分成同分母分数，保证两个分数的分数单位相同，再进行相同分数单位个数的合并。由此，学生对异分母分数加法计算的感性经验上升到理性认识。第二个问题教学异分母分数减法，学生基于之前的学习经验尝试自主计算。在说明算理和算法时，笔者同样引导学生借助直观图阐释并验证。然后，笔者引导学生讨论计算异分母分数加减法时为什么要先通分。学生总结：通分的目的是把异分母分数转化为同分母分数，分母相同也就是分数单位相同，分数单位相同，才能直接相加减。最后，笔者引导学生对比加法和减法两个算式计算的共同点，并结合例题和整数加减法的算理，概括异分母分数加减法的算理与算法，体会整数加减法和分数加减法算理、算法的一致性。

三、统整情境素材，感悟算法一致性

2022年版课程标准在教学建议中提出，要注重发挥情境设计与问题提出对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养。教师创设真实情境，选取贴近学生生活经验、符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，能帮助学生更好地理解加减运算的算理，并抽象出算法。

北师大版数学一年级下册第一单元“20以内数与加法”的主要内容包括认识11～20各数、学习20以内的进位加法和不退位减法。各课时教学内容都融于不同的情境中，但情境之间的关联度不高，难以有效帮助学生通过类比与迁移理解算法的一致性。为此，笔者教学时整合古人计数（一）、古人计数（二）、搭积木、开心农场、一起做家务、小兔子安家等情境素材，创设大单元背景下贯通各个课时教学的情境。例如，在第一课时，笔者创设“一起出去游玩”的情境，将上述零散的情境素材有机融合在同一幅图中，引导学生观察图中有什么、分别有多少，让他们用自己的方法数一数、认一认20以内的数。在第二课时，笔者选择第一课时情境图中的元素，通过改变元素的数量，如将羊分为羊圈里面的14只和羊圈外面的3只，引导学生解决一共有多少只羊的问题，探究20以内不进位加法和不退位减法。在第三课时，笔者通过同样的方式引出9加几的进位加法，以及8，7，6加几的算式，让学生将凑十法贯通地应用于20以内进位加法的计算中，体会各课时涉及的加法在算法上的一致性。

学生通过连贯的情境素材学习数的认识和加减法，自主进行算法的类比与迁移，进而理解了凑十法的通用性，感悟到9加几、8加几、7加几、6加几算法的一致性。

四、推理与迁移，助力算法的抽象与概括

整数加减法分布在小学一至三年级各册教材中，但从课程内容看，5，10，20以内的加减法教学重点在于让学生从具体情境中物体数量的加减过渡到数字符号的表达，体会不同数位上的数字表示不同的值，感知数的加减运算要在相同数位上进行；100以内数的加减法则重在类比推理，让学生将100以内数的加减法算法自主迁移至万以内数的加减运算中。

北师大版数学一年级下册第五单元“100以内数加与减（一）”，通过整十数加减法，两位数加减一位数、整十数，两位数加减两位数，竖式的初步认识和计算等课时，已经将100以内数的加减法“相同数位上的数才能相加减”的算理和“相同数位对齐，从个位算起”的算法全部展示，教师后续教学二年级下册第五单元“加与减”（万以内数加与减）时完全可以放手让学生自主探究，类比推理出万以内数加减法的算理和算法，归纳概括整数加减法算法的同时，理解前面所学加减法在算理、算法上的一致性，增强推理意识。

小数加减法的算理、算法也可以通过整数加减法的转化与迁移得出。教学北师大版数学四年级下册第一单元“小数的意义和加减法”中的《买菜》（小数的加减法）一课时，笔者先从油菜和芹菜的价格入手，让学生根据小数的意义思考并填写“1.25元=     元   角   分=   分，2.41元=   元   角       分=   分，3.66元=   元   角   分=   分”，为小数加减法的算理理解做铺垫。学生在转化单位的过程中将小数转化为整数，从而将小数加减法转化为整数加减法。这样，学生自然能回忆起相同数位对齐、从个位算起的整数加减法算法。然后，笔者展示元、角、分单位分别对齐后相加减的算法，帮助学生理清“1元2角5分+2元4角1分=3元6角6分=3.66元，3元6角6分-1元2角5分=2元4角1分=2.41元”，并总结出“元与元对齐、角与角对齐、分与分对齐的目的是把相同的计数单位对齐，因为只有相同计数单位上的数才能直接相加减”。最后，笔者结合小数加减法的竖式，帮助学生从计数单位的角度理解小数加减法的算理，如1.25加2.41就是先用1个一加2个一、2个0.1加4个0.1、5个0.01加1个0.01，再把它们的和合并起来。笔者还提示：列竖式计算小数加减法时，把加数的小数点对齐就是把相同数位对齐。通过以上学习路径，学生抽象、概括出了整数加减法和小数加减法在算法上的一致性。

此外，在复习教学中，教师可以先从计数单位的角度引导学生先回顾与梳理整数、分数、小数的表达形式，如3458=3个千+4个百+5个十+8个一、[34]=3个[14]、0.36=3个0.1+6个0.01，然后将其加减法算理归结为相同计数单位上数的合并或拆分，最后基于算理分别概括相应的算法，从而深入理解加减运算本质上的一致性，达到增强数感、运算能力、符号意识、推理意识的素养目标。

（作者单位：简翠萍，宜昌市夷陵区教师发展中心；刘宜，宜昌市夷陵区实验小学）

文字编辑  刘佳