夯实数学概念教学的基本路径

数学概念在数学学习中的重要性毋庸置疑。学好数学概念、夯实概念教学，帮助学生构筑数学知识大厦，对其正确理解和准确把握数学知识体系，利用数学知识解决现实问题，发展数学思维，形成数学能力，有不可替代的作用。这就要求教师在教学过程中要按照课程标准的要求，顾及学生发展现实和发展需要，精心备课，启发引导学生，通透、彻底地理解概念，精准恰切地把握概念，准确运用概念，创新发展概念，助推学生尽快到达数学学习的理想彼岸。

一、创设情境，帮助学生透彻理解概念

情境对学习有极大的正向促进作用。学习概念亦需要温馨的、富有启发性、挑战性的适宜情境。这就要求教师依据课程标准的要求，制定恰切的教学目标，创设学生主动建构、积极建构、发展性建构所需要的学习环境、学习的基础条件、学习的即时氛围，创设适宜的师生、生生关系等学生学习所需要的课堂教学氛围。

从数学发展的实际来看，数学知识都是来源于人们的生活实际，是人们从古到今观察、思考的结果，是人们对现实世界观察思考后不断抽象和条理化的结果，生活是数学知识的宝库。在数学课堂教学过程中，教师应该有意识、有目的地把数学概念还原到生活背景当中，把呈现在书本上的知识放回到固有生活中来学习，让数学问题回归到浓烈的生活气息中，为学生的学习缔造脚手架。

例如，初中几何“角”的概念的形成，假若按照教材要求画出一个“角”，再出示教材中“角”的定义，学生能知道数学知识中的“角”，但很难透彻理解几何意义下的“角”。这就需要教师遵从知识形成过程的基本逻辑，让生活中的情境走向学生，让学生的思维走向生活，由学生观察、讨论相关事物所呈现的图像，进而抽象出“角”的模糊概念，再通过去情境化的操作，舍弃具体物体中的材料因素、颜色因素、边长长短因素等非本质要素，进一步落实到“角”的核心要素中，即由一点发出的两条射线所组成的图形。在此基础上，教师可让学生寻找周围环境中与“角”有关的物品，看看教室中的角、黑板周边形成的角，摸摸厚厚的教科书、文具盒、折纸玩具等物体的不同大小的角，说说自己知道的角，就会明确角的构成要素：一个顶点、两条射线，由此形成对“角”的概念的透彻理解。

知识的学习与学生原本熟悉的现实生活密切相关。教师需要从学生熟悉的生活背景切入，创设和谐轻松愉悦的课堂教学情境，让学生置身于熟知的生活中学习数学知识，把数学知识与日常生活中的观察、思考、发现相互交融，激发学生的求知欲望，生发学习数学知识的浓厚兴趣。

二、对比分析，帮助学生准确把握概念

在数学概念的学习中“没有对比就没有收获”。对比分析就是通过比较分析构成概念的各种要素之间的相对性，认识事物的本质和规律。简单地说，对比分析就是通过不同的指标跟维度来找到概念的差异点，进而准确定义概念、把握概念、理解概念。

例如，在学习初中代数“一元一次方程”概念时，教师就可利用对比分析的方法，帮助学生准确掌握相关概念。

从构词上说，“一元一次”是“方程”的限定词语，“一元一次方程”首先是“方程”，其次是“一元一次方程”。顺此逻辑，要想理解“一元一次方程”，就要先明确何为“方程”。

“方程”就是含有未知数的等式。此定义包含如下几个要素：方程必须是等式，方程必须含有未知数，两者要同时具备，缺一不可。从上述定义可知，只要是方程，必须是等式，但并不是说等式一定是方程，数学上只把含有未知数的等式叫方程。方程中必须含有未知数，但并没有限定和表明未知数的个数，但至少要有一个未知数，也可以有多个未知数；方程中必须含有未知数，但没有限定所含未知数的次数（未知数的次数等相关内容编排在后续课程中，教师应该用举例的方式直观地让学生明确未知数的次数）。方程中含有一个未知数时，一般用x表示，也可以用其他字母表示，含有多个未知数时，一般用x、y、z等表示。

具体到“一元一次方程”的概念学习中，还要明确其中的“元”和“次”。所谓“元”，代表未知数的数量，含有一个未知数，就是“一元”，含有两个未知数，就是“二元”，以此类推。所谓“次”，就是未知数的次数，道理与“元”类似。可见，“一元一次方程”就是方程中含有一个未知数，并且所含未知数的次数是1。具体说来，即首先是方程，是等号两边都是整式的方程，是只含有一个未知数的方程，该未知数的次数是1的方程。

从对比的角度进一步分析，不难得出二元一次方程、三元一次方程……以及一元二次方程、一元三次方程……如此，就可以将“一元一次方程”的本质和规律充分显示出来，使“一元一次方程”这一概念的性质、状态、特征更加突出、清晰，帮助学生准确把握概念。

三、变换条件，帮助学生创新发展概念

所谓变换条件，就是把学生原有认知结构中的概念，在新的情境中不断赋予新的内涵，让学生在顺应和同化中实现原有概念的升级和跃迁，进而形成适应新情境的新概念，实现概念的创新和发展。

例如，“矩形”是学习平行四边形之后学习的，是一个发展性概念。教学时，教师可以只给一些规格不一的平行四边形图片或图形，让学生先量一量各个角的度数，然后把“有一个角是直角”的平行四边形归为一类，在此基础上引入“矩形”概念。同样，在后续的“正方形”“菱形”的学习过程中，亦可仿照前述方式，引出它们的概念。通过这样的方式可以强化学生对相关图形本质属性的掌握，促进学生对概念发展变化规律的认识。

此外，在学习了一元一次方程后，教师可以让学生利用学习过程中形成的经验，研究分析一元一次方程（组）、一元二次方程、二元一次方程以及一元一次不等式（组）、一元二次不等式。如此，学生学习的模型就会不断丰富和发展，为能力的迁移创造了良好的条件。

四、联系现实，帮助学生恰当运用概念

理论联系实际的原则是数学概念学习的基本原则之一。《义务教育数学课程标准》指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，指导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”将数学知识应用到实际生活中，解决现实生活中的问题，是学生应该具备的数学素养，对帮助学生深切感知抽象的数学知识，提高解决实际生活问题的能力，让概念学习不断焕发出生命活力，具有不可替代的作用。

例如，“两点之间直线最短”路人皆知，但应用到实际场景中就需要根据具体问题进行具体分析，做出正确判断。最近几年，著名的“胡不归”问题，成为中考热点。故事中说，在外求学的学子胡氏，当得知父亲病危后，决定抄近道回家，其实他知道所走近道中有大片的沙漠，并不好走，但当时他脑中只有“两点之间直线最短”这一数学真理，而舍弃走看起来经过第三点的平坦的驿道。当他心急如焚在不好走的沙漠中星夜兼程赶到家的时候，他的老父亲刚刚故去。家人告诉他，父亲弥留之际，一直念叨：“胡儿还不归？胡儿还不归？”胡书生悔恨交加之际，发誓要找到最近的回家之路。经过反复钻研，终于找到了一条最省时间的回家路。这其实就是数学中的经典的几何最值问题，涉及几何图形、动点、最值、三角函数等知识。这个问题本身就是最值问题（用时最少），而学生在解决此题时经常把它理解为“路径最短”。可见，对实践问题的深入思考，能切实帮助学生厘清概念，准确使用概念。

数学概念有其独有的本质特性，枯燥的文字、符号背后是一个丰富多彩、奇妙无比的鲜活世界，唯有理解它的内涵、明晰它的外延，才能真正体验到数学概念本身固有的丰富与灵动。

（作者单位：甘肃省通渭县义岗川学校）

（责任编辑晓寒）