初中数学教学中数形结合思想的应用

为了帮助学生更好地理解复杂、抽象的数学知识，加深对数学概念、原理、内涵的印象，教师在数学教学中应用数形结合法，可将抽象的知识直观化、构建形象数学知识体系，促使学生对数学知识之间的关联一目了然。开展数形结合教学，还能够有效攻克重点难点问题，利用“形象分析”的方法分解抽象复杂的问题，帮助学生更深入地学习数学知识，促使学生形成良好的数学知识应用能力、问题解决能力。

一、组织数学概念教学，启发学生数形结合认知

进入初中阶段学习之后，学生需要面对更多的数学知识和概念。教师可以借助数形结合思想，根据具体的课程知识点，适当引入知识点相关的实例，利用多媒体教学工具或者黑板，将实例以图示、图形、图像等方法直观展现出来，让学生能够通过“观看”发现自己即将学习的知识内容，认识“数在形中的体现”，在加深对数学概念理解的同时初步认识到“数形结合”，形成数形结合认知。

结合《正数与负数》一课的教学，教师为了让学生更好地理解“正数”“负数”与“0”之间的关系，形成对“负数”“非负数”这一概念的理解，可以利用多媒体视频工具展示一条“数轴”，以具体的“图形”为学生展示“不同数之间的关系”，初步启发学生的数形结合思维。

师：观看图形，你们发现了什么？

生：数轴上分别存在“1，-1，2，-2，2，3，-4，5”等数字，“0”在最中间。

（设计目的：教师在数轴上分别设置若干个点，利用这些点表示正数、负数与零，将正数与负数的关系以“形”的方式呈现出来，有助于学生以形理解数，同时认识到数与形之间是可以互相转化的。）

师：思考“为什么‘0’右边的就没有‘-’这个符号，左边的数字就有这种符号呢？”这一问题，你发现了什么？

生1：“0”貌似是一个分界线。在坐标轴的图示中，“0”左边的数字均为“-”标志的数字，右边的则是我们常见的数字。

生2：那带有“-”标志的数字与正常的数字是什么关系呢？

师：你们单独观察右边，发现了什么？

生：越靠近“0”的数字越小。

师：那单独观察左边呢？

生：表面上是相同的，但是由于增加了“-”的标记，所以越靠近“0”的数字越大。

（设计目的：学生能够通过观察“有形”的数轴及其数字分布情况，更好地理解“有理数的大小”这一知识点，以便于学生理解“‘0’右边的数字为正数，左边的数字为负数”这一概念，实现数形结合思想强化概念教学的目的。）

通过这种数形结合教学方法，学生能够在“数轴图像”的指引下，结合教师提出的引导性问题，自主推理、分析出相关知识点，相较于教师以往直接灌输知识点的方法，具有较强的应用价值；且这一教学活动之后，学生感受到了利用图形表达数学知识的乐趣，能够初步形成这种数形结合、借“形”助“数”的思想。

二、开展数形对比教学，引导学生掌握数形关系

初中数学知识点繁杂，知识体系较为庞大，学生面对大量各种各样的知识点、数学概念、数学原理，难免产生混淆、混乱的感觉。教师可以借助数形结合思想，在不同的知识点讲解时均引入数形结合思想，借助图像的方式，让学生感受不同知识点对应图像之间的差异，这样，既能够帮助学生更好地记忆大量不同的数学知识，又能够帮助学生提高学习效率，掌握初中数学学习方法。

例如，以“平面直角坐标系”与“函数”这两个知识点为主要讲解对象，展开一系列的数形结合教学活动，引导学生掌握平面直角坐标系与函数之间的关系。

师：观察这些函数图像，你发现了什么？

生1：每个图像中都有一个平面直角坐标系。

生2：平面直角坐标系中应该能够体现出不同函数图像的特点与规律。

（设计目的：展示平面直角坐标系中的函数图像，让学生对坐标系中的函数图像差异一目了然，萌发“直角坐标系”与“函数类型”之间是否存在关系这一想法。）

生2：y=kx+b，图像会同时分布于三个象限，比如k>0且b>0时，图像会分布于一三四象限，且会分别受到k、b两个元素数值的影响。

生3：y=ax2+bx+k的图像同时占领一四象限、二三象限，且受到a、b、k等数值大小的影响。

（设计目的：学生分析不同的函数图像，在分析的同时绘制出了三个函数的图像，能够进一步理解函数坐标系图像中的重点在于函数曲线的位置、相对位置及曲线变化，加强对函数及其图形关系的认知。）

通过上述这种对比类教学，学生不仅能够明确同一元素在不同数学知识学习中的作用，更能够有效解决初中函数知识体系庞大、学生面对不同函数难度较大的问题。在教师的有意引导之后，班级学生已经形成一定的数形思维，能够认识到不同知识对应的图像之间的差别，能够在今后学习更多函数类型与知识时自觉运用数形思维，体会不同图像与函数之间的对应关系。

三、讲解数学重点问题，强化学生数形转化思维

教师可以结合不同的章节内容，考虑班级学生的学习情况，分析其中的重点难点问题，在重点难点数学问题解决中引入数形结合思维，将复杂的问题以直观、简单的形式展现出来，让学生体会数与形之间的转化关系，促使学生掌握问题解答方法，凸显数形结合在数学问题解决中的有效性与完整性。

例如，在《三角函数》课程教学中，由于学生此时已经学习了“全等三角形”“等腰三角形”“等边三角形”的概念及知识，对“角”“边”的关系具有一定认知，为了避免学生发生“不同类型三角形认知不足”的情况，教师可以引进数形结合思维，利用“以形助数”的理念，让学生解决实际问题。

直角三角形ABC，AB=10cm，AC=8cm，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s；同时点Q从B点出来，向BC方向运动，速度为2cm/s，若其中一个点到达终点，则另一个点停止运动，确定△PBQ面积为ycm2，问y与x的函数关系。

师：观察这三个元素构建形成的数学坐标系图像，分析坐标系中P、B、Q构成的图形。

（设计目的：使用数形结合思想，分别提炼出“直角三角形”“P的运动轨迹”“Q的运动轨迹”，让学生利用数形结合思维解决数学问题。）

生1：是三角形。

生2：可以利用三角形的特征及其坐标中的点位数值计算△PBQ的面积，这样就可以获得函数关系了。

在这一过程中，学生观看图像形成全过程，能够利用图像中各点的位置找出答题线索，确定相似三角形的性质，得到边长，从而取得函数范围，体现数形结合有效性。学生可以发现，若不能够正确绘制出图像，则无法准确判断位置关系，更无法得到取值范围。“以形助数”的解题思想，能够有效培养学生的问题解决能力，体现数形结合思想的应用价值。

总之，教师在数学教学中应用数形结合思想，通过开展数形结合教学能够启发学生的问题分析思维；将数形结合思想贯穿于数学教学始终，有助于培养学生的数学思维；在课堂教学活动中引进数形结合手段，能够引导学生更好地分析难点问题，突破数学学习屏障，有效提升数学课程教学质量。

（作者单位：甘肃省秦安县古城农业中学）（责任编辑晓寒）