构建抽象数学模型 发展学生建模思想

《数学课程标准》提出：“让学生亲身经历实际问题，将现实问题抽象成数学模型，并进行解释与应用的过程;学生在获得对数学知识的理解的同时，在思维能力、情感态度、价值观念方面得到发展。”数学教学实践中，教师可引入建模思想，立足学生实际生活和数学知识本身，构建抽象数学模型，有助于发展学生的建模思想，培养学生的数学应用意识，引导学生在今后的数学学习中自觉使用数学方法分析与解决问题。

一、立足学生生活，构建数学知识模型

在小学数学教学中，要善于利用数学与学生实际生活之间的内在联系，为学生搭建生活化数学知识模型，将抽象的数学知识借助模型直观表达出来。在构建生活化模型的过程中，教师需要注意，生活化数学模型，就是将抽象的数学知识转化为鲜活、直观的生活场景，以便于学生从中发现并透彻理解数与形的知识，同时启发学生的数学建模意识，便于学生在今后的学习中探究并熟练掌握这种模型化的学习方式。

以《连加、连减、加减混合》教学为例。学生需要学习的内容是：连加、连减运算顺序;用竖式计算书写方法;利用连加、连减解决实际问题。在本部分内容中，具有充足的生活化模型构建条件——解决实际问题。教师设定生活化背景：小明和同学们帮助农民伯伯摘南瓜（如教材中的例1），小明摘了5个，小王摘了6个，小红摘了3个，其中被小李不小心弄坏了1个，问他们一共摘下多少个好的南瓜。至此，关于“连续加减法”的生活实际模型已经形成，经过思考学生得出结论：小明摘南瓜数量+小王+小红+小李<D：＼学友＼山西教育＼2022-1＼2022-2＼Image＼image1.pdf>5+6+3+（-1）=13个南瓜。之后，教师提出：“为什么是13个呢？在混合加减法中，你们的计算过程是什么呢？”引导学生在直观生活化模型的基础上思考数学问题，此时这一问题的抽象性已经得到弱化，学生按照计算算式进行竖式的罗列，得到本问题的竖式，形成连续加减法的竖式模型。通过对竖式模型的观察与分析，学生得到结论：竖式中，相加的两项数字是上下对齐的，若出现了“进位”，则需要在个位之前增设“十位”。

在本次数学生活化模型的构建与分析中，学生借助教师搭建的生活化模型思考数学问题，发现了“连续加、减法”的运算方法，进一步明确顺序为：按照从左到右的顺序进行计算。之后，学生在教师的引导下通过设立竖式形成竖式模型，进一步形成对连续加减法竖式的归纳分析，深化了对本节课数学知识的掌握，同时对“数学模型”形成初步认知。

二、借助数学符号，应用等比关系模型

在小学数学教材中，包含大量关于数学符号的知识，比如小数点、百分数、比、等比关系等，为了让学生理解数学符号，科学使用数学符号，教师可以在数学知识讲解时，借助数学符号表示数量关系，引导学生自主分析，发现隐藏在数学符号中的抽象数学模型。通过观察与分析模型，学生能够对数学符号的内涵与作用形成清晰的主观认知，之后再通过归纳与总结形成对数学符号的理解。

以《比的应用》教学为例，学生在本节课需要完成的目标是，在解决实际问题的过程中理解比的意义，运用比解决有关按比分配的实际问题，形成解决实际问题的能力。为了辅助学生更好地实现课堂学习目标，教师首先为学生提供一组数据，具体为：学校有600名学生，我们班级有50名学生，在一次学校活动中，需要将各班级学生打乱，将我们班级学生混合入学校全体学生中，那这个混合是按照何种关系完成的呢？

学生根据教师提出的数据及基本条件思考，对问题中的基础条件进行梳理，得到如下信息：（1）学校学生600名;（2）班级学生50名;（3）需要将50名与600名均匀搭配;（4）需要明确600名与50名之间的搭配关系。学生对这组数据进行观察与计算，发现600÷50=12，得到结论为：在每12名学生中就有一名是我们班级的学生，这种关系就是合理且均匀的搭配关系。为了将比的模型进一步呈现出来，教师提出“请保证你的‘关系’是同时具备两个元素的”，这时学生纷纷思考“比”与“除法”之间的不同与相同之处，提出：“我们可以借助除法的计算方法，通过比的形式呈现出来，这样就能够知道比例关系啦。”通过分析，学生分别得到比例关系为：（1）600∶50;（2）60∶5;（3）12∶1。最终学生得到本次实际问题的比的模型为12∶1，对“比”进行归纳总结：能够利用比的符号表达数量关系，表达两种事物之间的内在规律。

在本次数学学习活动中，学生通过思考问题、梳理条件、整理数量关系等方法，得到了关于实际问题的比的模型。学生观察、分析模型，发现“∶”这一符号就是表达两个数之间的关系的符号，“11∶2”等比的式子能够表达事物中两个元素之间存在的数量关系，进一步加深对比的符号及其应用的理解，形成对这一比的概念的深层主观认知。

三、组织探究活动，发展学生建模能力

新课程改革不断深化，学生主体地位愈发明确，教师运用建模思想，不仅可以将数学模型作为学生学习数学知识的主要工具，还可以引导学生自主构建数学模型，培养学生建模解决实际问题的能力，提升学生的数学综合学习能力。

以《圆与圆锥》教学为例，教师可以引起之前学习过的几何体积计算方法，具体为：长方体计算方法为V=l×w×h;正方体计算方法V=a×a×a，提出建模导向问题：观察这两个常见的体积计算公式，你发现了什么？哪些为必要元素？学生纷纷思考与交流，表示：两个几何的体积都是三个立体元素相乘，包括了长、宽、高，其中正方体的体积计算要素均为“a”，也可以看作是三个相等的长宽高相乘。教师提出问题：请根据这一原理，大胆猜想，我们要是计算圆柱的体积，需要哪些元素呢？提出这一问题的目的是引起学生对圆柱体积的猜想，促使学生借助长方形体积计算公式构建圆柱的体积计算模型，完成建模环节。通过一系列的观察、对比与分析，一名学生表示：“我认为，长方体的长与宽在体积计算公式中可以看作是长方体底面积，那我们是否可以将圆柱的体积计算公式设想为高×底面积？”最终这名学生构建圆柱的体积模型为V=h×r2×π。学生通过自主构建数学知识模型，推导出了本节课的主要知识内容——圆柱的体积计算公式。

由此可见，引导学生自主构建数学模型，能够有效发展学生的建模能力，培养学生通过构建数学模型解决问题的能力。在教学中，教师还可以带领学生进一步验证已经构建的模型，验证学生的推测，进一步强化学生的建模自信心，辅助学生养成借助模型解决数学知识的能力。

总之，数学建模思想是学生在数学学习中形成的重要思想，也是辅助学生解决更多数学问题的基础思想。在小学数学教学实践中，教师应用数学建模思想，根据生活元素构建数学模型，能调动学生对数学知识的探究兴趣，引导学生探索数学知识与生活体验之间的内在联系。教师借助数学知识构建抽象模型，能够将具体知识点具象化呈现于学生眼前，让学生对该知识点形成深入理解与认知。在此基础上，教师引导学生自主探究数学知识，尝试将知识点转化为数学模型，从而发展学生的数学建模能力，为学生今后的数学学习奠定良好基础。

（作者单位：江苏省南京晓庄学院滨河实验学校）

（责任编辑  张妤）