基于初中视角的初高中数学衔接教学探究

【摘 要】初高中数学衔接教学历来是教研重点，也是课程建设的一个难点。检索发现，当下关于“初高中衔接”类文献多是从高中视角开展的研究或提出的教学建议。从初中视角看初高中数学衔接教学，可以重点关注以下方面：初高中研究路径的衔接、初高中思想方法的衔接、初高中解题策略的衔接、初高中数学知识的衔接。

【关键词】初中数学；初高中衔接；研究路径；思想方法；解题策略；数学知识

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）39-0041-05

【作者简介】刘东升，江苏省南通市教育科学研究院（江苏南通，226006）初中数学教研员，高级教师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“前言”的“主要变化”中特别提出“加强了学段衔接”，既要注重幼小衔接，也要重视小初衔接，同时还提到“了解高中阶段学生特点和学科特点，为学生进一步学习做好准备”［1］4。而“学段之间的衔接历来是课程建设的一个难点”［2］2。检索发现，当下关于“初高中衔接”类文献多是从高中视角开展的研究或提出的教学建议。本文基于初中视角提出初高中数学衔接教学的一些思考与建议。

一、构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，注重初高中研究路径衔接

新课标在课程实施的“教学建议”中指出：“核心素养是在长期的教学过程中逐渐形成的，核心素养在不同学段的主要表现体现了核心素养的阶段性和各阶段之间的一致性。”［1］85

章建跃博士曾对一节“圆与圆的位置关系”课例做出深度评析，提醒初中教师在教学“圆与圆的位置关系”时要抓住重点（从定性分析到定量刻画，从概念出发研究性质）、突破难点（利用极端位置，采取先易后难的策略），并指出要努力“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”。［3］上述教学建议中提到的“研究路径”不但对于初中学段平面几何的同类课题（如点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等）的教学具有普遍指导价值，同样也有利于高中阶段立体几何、解析几何的教学衔接。

王红权老师选取初中起始阶段七年级有理数和几何图形初步的教学内容，给出具体的教学设计，从操作层面详细解读了“小初衔接”的主要内容，包括学习数学语言（研究工具）、学习研究一个数学对象的基本套路（研究方式）和发展适合初中数学学习的思想方法（学习习惯）。［4］可以发现，王老师在该文中给出的虽然是“小初衔接”教学指导，实则也指明了“初高中衔接”的教学要义。因为，这与章建跃博士所指出的“初高中数学学习的衔接任务应包括知识技能、语言表达、思想方法、思维方式等方面”［2］4是“一脉相承”的。

还可提及，初中数学教师教学二次函数y=ax2图象时，应该注重由“数（式）”想“形”的过程，即引导学生先根据这个函数解析式，探索它的图象可能具有什么特征，再由“形”想“数”，发现数量之间的一些变化规律。这样，学生在高中学习指数函数、对数函数、三角函数等的图象时，就有了坚实的基础。笔者二十多年来跟随全国著名特级教师李庾南老师学习，李老师在教学二次函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质时，都是采取了先由“数（式）”想“形”，再由“形”想“数”的研究路径，并且经过多轮次的培训、观摩与评课指导后，目前南通地区初中函数图象和性质的教学中，老师们大多采取上述做法。

二、精选典型问题变式教学促进深度思考，注重初高中思想方法衔接

日本数学家、数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中提到“贯穿在整个数学中的精神”，包括“充满在整个数学中的统一建设的精神”，并指出很多同类问题“无论表面上看来多么不同，都可用同样的方法处理”。［5］人民教育出版社课程教材研究所姜航高级编辑指出，“初高中衔接不仅要关注知识的补充，更重要的是还要以知识为载体培养学生解决数学问题的思维习惯和学习方法”［6］。初中教材上有很多典型问题，如何发挥这些典型问题的教学价值是一个值得深入探讨的教研课题。笔者以为，重视典型问题的变式教学，促进学生深度思考，感悟其中的数学思想方法，可以促进初高中思想方法上的衔接。

以“鸡兔同笼”问题为例。这类问题学生在小学时往往就作为算术题练习过，但是常常不能理解所列算式，到了七年级学习方程（组）之后，理解起来就比较自然、顺利。这说明数学学习的进展和新工具的出现，使得原先较难的问题变得简单，学生也就感受到“从算术到方程”的解法优势。这个过程不但让学生学会了经典问题的不同解法，初步感悟方程思想方法的威力，同时激发了学生的数学兴趣和学习动机，让他们对进一步学习更多数学知识、工具充满期待，使得非认知因素在数学衔接上的价值得到彰显。

再如，“三角形角平分线”问题。高中学生解三角形问题时，常常要用到三角形的角平分线所带来的比例性质，而初中几何教材对这一性质并没有直接提及。因此，在初中数学教学时，教师可以围绕一些典型习题适时变式、补充拓展。例如，八年级学习全等三角形之后，常常会训练这样一道习题。

习题1：如图1，△ABC中，BD是三角形角平分线。求证[S△ABDS△BCD] = [ABBC]。

八年级教学时如果只是满足于作出两条垂线段，利用面积法证出结论（见下页图2），则是“入宝山而空返”。此时教师应该追问学生，如何证出[ABBC] = [ADDC]。待到九年级学习相似三角形之后，可再构造如图3这样的平行线，再次证明角平分线的性质。此种方式可以让学生感受到随着所学知识的增多、新工具的出现，对典型问题的解决又新增了不同方法。这也正如章建跃博士所指出的，“数学思想方法不仅蕴含在一个个概念、原理中，更体现在概念的体系、知识的联系中”。在衔接教学中，“对已学知识进行回顾整理，用新的语言进行再表达，形成思想性、结构性、系统性更强的认识”［2］3。

三、训练“程序性解题”要避免思维定式，注重初高中解题策略衔接

我国著名数学教育家曹才翰先生曾指出：“初中代数教材中，大量的是按法则、公式的形式出现，而这些法则、公式大都是带有程序性的。”［7］具体来说，一元一次方程（不等式）、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程等解法都带有“程序性解题”的特征。当然，代数“程序性解题”有其积极的一面，比如有利于形成技能，大面积提升解题教学质量。但是，过量的“程序性解题”容易造成思维定式，对学生思维灵活性的发展无益。比如，下面这道七年级一元一次方程的习题。

习题2：若关于x的一元一次方程[12023]x + 4 =3x + m的解是x = -2023，那么关于y的一元一次方程[12023]（y - 1） -4 = 3y - m - 3的解是 。

解法分析：如果只是想到常规“程序性解题”思路，由已知条件，将x = -2023代入所给的关于x的方程，求出m的值，再代入关于y的一元一次方程，求出y，解法比较繁琐，没有体现出思维灵活性。如果能认真观察所给的两个方程的结构特征，将关于y的一元一次方程恰当变形为[12023]（1-y）+4 = 3（1-y）+m，对比关于x的方程的结构特征，可以直接看出1-y = -2023，求出y = 2024。

让我们再来看一道高考题。

习题3：（2022年全国高考甲卷）已知△ABC中，D在边BC上，∠ADB = 120°，AD = 2，CD = 2BD。当[ACAB]取得最小值时，BD = ____。

解法分析：设BD = x，CD = 2x，运用余弦定理，在△ACD，△ABD中可分别得出：AC2 = 4x2-4x+4，AB2 = x2+2x+4。要使[ACAB]取得最小值，即[AC2AB2]最小，也就是要分析[4x2-4x+4x2+2x+4]的最小值。对这个分式最小值的分析有不同的方法，让我们从恰当变形的角度做如下处理：

[4x2-4x+4x2+2x+4] = [4（x2+2x+4）-12x-12x2+2x+4] =4-12·[x+1x2+2x+4]=4-12·[x+1（x+1）2+3]=4-[12（x+1）+3x+1] 。

连续“逆向”变形，直到出现基本不等式的结构特征，可得（x+1）+[3x+1]≥2[3]，此时[AC2AB2]≥4-2[3]，当且仅当（x+1）2 = 3时（x = [3]-1或-[3]-1（舍去））可取等号，故BD = [3]-1。

宁连华教授针对学生在数学新高考中答题素养上的四个不足：想得不深、变得不当、算得不好、写得不精，建议数学教学要重视“教深度思考，教合理变换，教运算思维，教精准表达”。［8］从本文关注的初高中衔接教学来看，在初中阶段开展必要的“程序性解题”训练的同时，还应该重视像“习题2”这样“合理变换”的解题策略，为学生进入高中处理类似“习题4”连续“逆向变形”进行解题策略上的衔接训练。

四、采取螺旋方式逐渐拓展加深课程内容，注重初高中数学知识衔接

新课标在“课程内容的呈现”中明确提出，“根据学生的年龄特征和认知规律，适当采取螺旋式的方式，适当体现选择性，逐渐拓展和加深课程内容，适应学生的发展需求”［1］3。根据教学经验，采取螺旋上升的方式对一些前后联系的数学知识逐渐拓展并加深，的确有利于提升学生对数学整体性的认识。以下选取高中阶段基本不等式、二项式定理两个知识点，构建出初中阶段螺旋上升式的知识生长图示（如图4）。

从图4可见，七年级一些基础知识在八年级学习完全平方式、九年级学习圆和相似之后，可以融合在一起如“藤蔓一样继续生长”［9］，自然而然地拓展出高中基本不等式和二项式定理的雏形。至于对这两个知识点的深刻理解、系统梳理并继续运用它们解题，则留待高中阶段进一步学习探究。

本文主要是从初中角度看初高中衔接教学，对于初中学段七、八、九三个年级的衔接也有一定的启示。当初中各个年级的任课教师都能“站在高处”理解“学材”（教学内容）时，也就能更好地把握重点、看清难点，从而在本年级教学过程中做到削枝强干、突出重点。特别是面对一些对后续衔接教学意义不大的人为编造的“无趣题”时，也就能果断删减、及时舍弃。在一定意义上说，这也正是为“切实减轻学生过重的学业负担”做出一份贡献吧！

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022．

［2］章建跃．“预备知识”预备什么、如何预备［J］.数学通报，2020，59（8）：1-14．

［3］章建跃.构建逻辑连贯的学习过程使学生学会思考［J］.数学通报，2013，52（6）：5-8，66．

［4］王红权.一般观念统领下的“初小衔接”要衔接什么、如何衔接［J］.数学通报，2022，61（10）：29-34，38．

［5］［日］米山国藏.数学的精神、思想和方法［M］.毛正中，吴素华，译.上海：华东师范大学出版社，2019：42-59.

［6］姜航.初高中数学学习的顺利过渡：基于教科书使用的视角［J］.中国数学教育，2024（4）：4-8.

［7］曹才翰.曹才翰数学教育文选［M］.北京：人民教育出版社，2005：210-222.

［8］宁连华.指向核心素养的数学高考评价及教学转向审思［J］.中学数学月刊，2022（11）：1-4.

［9］Greg McColm.数学教育的一个比喻［J］.姜红，译.陆柱家，校.数学译林，2012，31（3）：212，264-267．