中华优秀传统文化融入高中数学课堂的实践探究

【摘 要】新课标要求全面落实立德树人根本任务，深入挖掘数学学科的育人价值，发展学生的数学核心素养。将中华优秀传统文化融入课堂教学是落实新课标要求的重要途径之一。中国古代数学家在勾股定理、圆周率计算、数列求和等方面做出了很多有价值的探索，教师在教学时可带领学生从数学家的视角出发，帮助学生在掌握基础知识和方法，体会数学思想，积累数学探究经验的同时，了解中华优秀传统文化，培养文化自信。

【关键词】高中数学；等差数列求和；中华优秀传统文化；核心素养

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）50-0049-04

【作者简介】1.陈影，江苏省无锡市市北高级中学（江苏无锡，214046）教师，一级教师；2.李树民，江苏省无锡市市北高级中学（江苏无锡，214046）教师，正高级教师，江苏省数学特级教师，国家“万人计划”教学名师。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）在“实施建议”中强调“情境的创设和问题设计要有利于发展学生的数学核心素养”。这就要求创设的情境要合乎实际情况或者符合数学发展规律。只有合适的情境才能启发学生思考，帮助学生发现问题、提出问题，并分析解决，引导学生在学习数学知识的过程中提升数学素养。

许多数学问题源于生活实际，有着悠久历史的中华传统文化记录了古人遇到的许多问题及解决方法。而这些中华传统数学文化中蕴含丰富的教学情境，充分体现了数学的应用价值，自然会激发学生探究数学问题的热情。

一、充分挖掘教材，以“情”动人

人教A版高中数学教材在编排上充分体现了中华优秀传统文化的这一作用。教材中“阅读与思考”“数学探究”“探究”及“复习参考题”这些板块中都涉及许多中华优秀传统数学文化内容，例如重要的数学人物和知识发展的历史进程。学生可以通过这些板块了解中国古代数学的伟大成就，也为学习探究提供了出发点和研究思路。（见下页表1）

同时，仔细研究教材，笔者发现教材中的中华优秀传统数学文化内容比较简略，应用到实际教学中还需要教师进行资料的搜集、筛选，将相应的知识链补充完整，适当地调整教学内容，设置探究问题，创设适合学生进行探究性学习的教学情境。

二、多角度整合教材，创“境”育人

下面笔者借助中华优秀传统文化，创设三个探究情境，在三个情境下设置探究问题及相应问题下的教师活动和学生任务，从数学思想方法的学习、数学思维的培养、数学探究经验的积累及数学素养的提升等角度来阐述相应问题的设计意图，以此来进行教学实践案例的展示。

1.刘徽眼中的等差数列

刘徽是我国魏晋时期的数学家，他在为《九章算术》所作的注文中给出了等差数列的求和公式。《九章算术》“盈不足”章的第19问是如下的一个等差数列问题。

今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里。良马初日行一百九十三里，日增十三里。驽马初日行九十七里，日减半里。良马先至齐，复还迎驽马。问：几何日相逢及各行几何？

问题1：如何求良马和驽马所走的路程？

【设计意图】从这样的一个中华优秀传统文化的背景中，学生可以抽象出良马和驽马所行路程分别代表两个等差数列，学生很自然地经历了发现问题、提出问题的过程。

教师先向学生介绍刘徽的解决办法。刘徽用“平行数±中平里”来计算良马和驽马15日所行里数。以良马为例，“平行数”是“以良马初日所行里数乘十五日”得到，“中平里”的计算公式是[（1+14）×142×]13，这样良马15日所行里数和为S = 193×15 + （1 + 14） [×] [142 ×] 13。

展示刘徽的解决方法，一方面是为了将等差数列求和这样一个一般性的问题转化为一个特殊的等差数列：[1+2+3+…+14]，降低问题的探究难度；另一方面是为了落实基本研究方法的教学。列举法是学习数列的基本方法，在研究一个数列问题时，可以从最基础的列举来入手。

问题2：[1+2+3+…+1]00 = ？

【设计意图】在学生了解了刘徽解决问题过程的基础上，笔者将良马的路程求和问题继续特殊化，抽象得到问题2，旨在培养学生数学抽象、逻辑推理等素养。

高斯求和的办法是学生所熟知的，大多数学生都用该法来解决问题2。

问题3：[1+2+3+…+] n = ？

【设计意图】问题3顺势而为，由特殊到一般，将求和问题由100项推广到n项。学生在自主探究中会发现，高斯求和法需要对n的奇偶性进行分类讨论。分类讨论数学思想的渗透为倒序相加法的探究作铺垫。

一部分学生可能会继续顺着高斯求和的思路来解决，但遇到了困难：n的奇偶性未知，从而首尾配对时不能明确有多少组（n + 1）。

问题4：是否有方法能避免分类讨论？

【设计意图】通过这个问题，教师先从结构形式上对学生进行引导，学生通过实际操作直观感受到倒序相加法可以避免n奇偶性的讨论，体会倒序相加的本质，提升数学运算素养，为后面一般等差数列的求和做准备。

教师先将[Sn] = 1 + 2 + 3 + … + （n-2） + （n-1） + n中各项倒序书写，即将第一项“1”作为最后一项，“2”作为倒数第二项。在首尾配对求和中，第一项与最后一项的和等于第二项与倒数第二项的和，这个过程可以如下表示：

[Sn= 1 +   2 + 3   +…+（n-2）+（n-1）+ n

Sn= n +（n-1）+（n-2）+…+   3   +   2   + 1] [n个（n + 1）]

上面每个矩形内两个数的和相等，共得到n个（n + 1）。接下来由学生自主探究，将上述两式相加，得2[Sn] = n（n + 1），即[Sn] = [n（n + 1）2]。

问题5：对于一般的等差数列，该如何求和？

【设计意图】由1，2，3，4，…，n这个特殊的等差数列再次推广到一般的等差数列，有了之前的基础，这个推导过程可以由学生独立完成。倒序相加法是高斯求和法的升级版，体现了数学的和谐对称美。倒序相加法所体现的截长补短的思想更是数学智慧和人文思想的结晶。

学生仿照问题4的思路，自主推导等差数列求和公式，过程如下：

[Sn= a1 +  a2  +  a3 + … + an-2 + an-1 + an

Sn= an + an-1 + an-2 + … +  a3  +  a2 + a1] [n个（a1+an）]

[2Sn=n（a1+an）]，

[Sn=n（a1+an）2=na1]+ [n（n-1）d2]。

2.杨辉垛积中的三角垛

南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了三角垛，即顶层放1个物体，第二层放3个物体，第三层放6个物体……第n层放[n（n+1）2]个物体堆成的堆垛，类似三棱锥的形状，得到数列：1，3，6，10，15，…。三角垛的第n层中放的物体数是[n（n+1）2]。

问题6：该如何求三角垛中物体的总和？

【设计意图】数列的通项是一个关于n的表达式，是将1，2，3，4，…，n这个等差数列的[Sn]作为新数列的通项[an]。三角垛的求和将等差数列求和问题上升到二阶等差数列求和，将数列求和问题更一般化，将探究内容上升到新的高度，能够加深学生对通项公式概念的理解。

3.从杨辉三角再看等差数列

“杨辉三角”出自《释锁》算书，释锁和开方有关，杨辉三角原名“开方作法本源图”，也有人称它为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具。（见图1）

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（图1）

教师先和学生共同观察归纳得出杨辉三角的一个重要性质：三角形的两个腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数相加，例如，10 = 6 + 4，保留左面数不变，右面的4还可以继续写成它肩上两个数的和，即10 = 6 + 3 + 1。

因为组合数的计算在选择性必修3中，学生还不知道如何计算，在这里教师可以进行补充C[mn=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）m！]，则发现的性质可以表示为C[rr] + C[rr+1] + C[rr+2] + … + C[rk-1] = C[r+1k]。

问题7：如何利用杨辉三角求等差数列1，2，3，4，…，n的和？

学生观察发现如图2中箭头上方所示的一列数恰好是等差数列[1+2+3+···+] n = C[2n+1] = [n（n+1）2]。

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（图2）

师：在学习了杨辉三角之后，回过头看，问题6如何解决？

基于问题7的活动经验，学生能够观察发现，三角垛中的数列也是杨辉三角中的一列数，利用杨辉三角性质，可得1 + 3 + 6 + 10 + […] + [n（n+1）2] = [16n（n+1）（n+2）]。

利用中华优秀传统文化创设教学情境，既可以一“境”到底，也可以多“境”并用。上述教学借用刘徽所研究的良马和驽马所走路程的问题情境，一“境”到底，引导学生探究得出等差数列求和公式。一“境”到底的探究过程让学生明确自己的学习内容，激发求知欲，体会到数学学习的实用性。

多“境”并用，本文从古代数学家杨辉研究的两个不同问题情境进行教学，从代数、几何角度来认识数列，并进行数列求和。多境并用能让学生在不同的情境下感受数学知识的多重含义，体会数学之美，将看似孤立的知识点联系起来，帮助学生体会数学内容之间的内在逻辑关联，建构知识网络，提升数学素养。

中华优秀传统数学文化中承载着中华民族的思想和文化，高中数学教师应充分利用这个宝贵的教学资源，帮助学生逐步认识到数学的科学价值、民族文化的价值，培养文化自信。而这些都需要一线教师在教学中不断探索、实践、积累，才能慢慢实现。

【参考文献】

［1］郭英秀.数学史融入高中数学教学的实践路径［J］.数学教学通讯，2023（12）：81-82.

［2］莫里斯·克莱因.古今数学思想（第一册）［M］.张理京，张锦炎，译.上海：上海科学出版社，2014．

［3］覃淋，喻晓婷.HPM视角下“等比数列的前n项和公式”的教学［J］.中学数学研究，2023（4）：1-4.

特约编辑：孙士海 见习编辑：王一民