基于一题一课的初中数学专题复习课实践与思考

*本文系江苏省泰州市教育科学“十四五”规划课题“初中数学解题中学生坚毅品质养成教育实践研究”（tjkzxyb2022139）阶段性研究成果。

【摘 要】教师在初中数学复习课中可由一题出发，展开关联复习教学，挖掘试题教育价值，引导学生理解知识，关联成网；学会思考，进阶思维；变式创新，培养坚毅品质。

【关键词】初中数学；一题一课；思维进阶；坚毅品质

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2023）50-0056-03

【作者简介】李齐荣，江苏省泰州市姜堰区克强学校（江苏泰州，225502）校长，高级教师。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“教学建议”中提出要“整体把握教学内容”，强调要“引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”。初中数学几何部分知识点多而繁琐，内容呈现碎片化，教师要有意通过合适的主题，整合教学内容，帮助学生学会用整体的、联系的、结构化的眼光看问题。下面笔者尝试以“一题一点”为切入口，引导学生向外拓展，关联知识，主动建构知识体系，在问题解决中实现思维进阶，培养坚毅品质。

一、试题呈现

如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点。

（1）求证：DE∥BC，DE = [12]BC。下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明。方法1：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF；方法2：过点C作CF∥AB交DE的延长线于F；方法3：过E作EF∥AB交BC于F，过A作AG∥BC交FE的延长线于点G。

（2）如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作△ABC的角平分线BP。（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）

本题源于课本，又适度变化、高于课本，以三角形中位线为载体，结合平行四边形、全等三角形、等腰三角形、尺规作图等知识，对学生进行系统考查，构思新颖、形式开放，能有效考查学生的理解能力、探究能力。

二、教学实践

1.重温试题，一题多解，关联知识成网

新课标对中位线定理的要求为“探索并证明三角形的中位线定理”。第一小问给出了三种证明思路让学生自主选择一种完成证明。因此，笔者在教学过程中从引导学生思考三角形中位线的判定方法（主要依据是定义），到引导学生应用多种方法证明三角形的中位线定理，带领学生复习相关知识。

首先，笔者在教学中引导学生在三种证明方法的基础上，应用构造平行四边形法，思考其他证明方法。方法1、方法2，图相同，但辅助线论述不同，如图2；方法3，如图3。再如，若过D作DF∥AC交BC于F，过A作AG∥BC交FD的延长线于点G，与图3作图不同，但证明思路和应用原理相同。构造平行四边形、矩形证明本题的证法还有很多种，这里笔者不一一列举。这样就自然地由中位线关联到了平行、平行四边形、等腰三角形等知识点的概念、性质、判定及其应用，实现了系统复习。这些方法的探索与呈现，能有效地将相关知识串成线、连成网。

<F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image3.png><F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image4.png> <F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image3.png><F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image4.png>

（图2）                         （图3）

笔者还在等腰三角形情境中，引导学生思考这个问题。如图4，作BC边上的高AH构造两个直角三角形，这样又可以用等腰三角形及直角三角形斜边上中线等知识来证明。

在新情境中换角度再思考，有助于帮助学生将知识点由单点结构向多点结构、关联结构延伸，形成知识体系。上述教学中，笔者以三角形中位线为中心，向外拓展，除可关联以上内容外，还可以关联全等、平移、翻折、旋转等知识点。如此，在教学过程中教师引领学生构建起知识点的关联网络。

2.理解试题，拓展应用，引导平时教学

本题的第二小问是作图题，是平行线与角平分线的综合，模型较常见，学生有思路，但仍有部分学生没有得到全分，究其根源是学生对题意理解不到位。因此，笔者首先对怎样操作叫“用一次圆规”，怎样操作叫“用一次直尺”，逐一引导学生操作、理解、感悟。这要求教师在教学过程中要注重细节，引导学生关注细节，理解知识点的本质，让理解真正成为思维过程。

笔者认为，本题第二问的设计只是与中位线平行于第三边这个性质关联，还不够“完美”。笔者思考改进后设计如下：

如图1，D、E分别是△ABC的边AB、AC中点，请用无刻度的直尺和圆规作出中位线DE的中点P。（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）

【设计意图】改进后的题目真正应用到中位线的“平行且等于第三边的一半”性质。

三角形中位线广泛应用于计算、证明之中，作图应用较少，故笔者在教学过程中又增加如下变式训练，引导学生深度学习，实现思维进阶。

应用变式训练1：如下页图5，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，E是边BC中点，在AD上取一点F，能使得EF = [12]（AC-AB）。请用无刻度的直尺和圆规作出点F。（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）

【设计意图】题中只有一中点，没有连成中线，又出现了[12]，这提示学生思考中位线的应用，F点应为某线段中点，从而画出“效果图”：用圆规以A点为圆心，AB长为半径在AC上取一点M，连接BM交AD于F点，点F即为所求。

应用变式训练2：如图6，在△ABC中，AC>AB，E是边BC的中点，在△ABC内取一点F，使得EF = [12]（AC - AB）。请用无刻度的直尺和圆规作出点F可能位置。（保留作图痕迹）

<F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image11.png><F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image12.png> <F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image11.png><F：＼江苏教育定稿文件＼中学12期＼Image＼image12.png>[（图5）][（图6）]

【设计意图】变式2将变式1条件简化，进一步考查基本作图方法。本题F点位置不唯一，难度明显增大。许多学生受变式1的思维限制，只找到一个点，就认为完成了。本题作法较多，可关联平行线作法、圆等多个知识点。

三、教学反思

1.挖掘价值，关联成网

上述教学借助一道基础试题，从试题中提出的三种定理证明方法出发，引导学生自主思考探究更多证明方法。在证明过程中发现其关联知识点，由点及面，构建知识体系。因此，教师要在日常的教学过程中应适时地回顾知识点，将各知识点关联，形成知识网络，让知识点间的相互迁移更顺畅，让知识理解更深刻，让思维进阶更自然。

2.学会思考，进阶思维

在教学过程中，教师应当从学生的角度去预设思考。本题教学过程中，在学生没有思路的情况下，教师通过提示“可否应用相似来证明”“可否用反证法证明”，引导学生思考。学生分享后教师又可追问“你是如何想到的”，让其展现思考的全过程，从而给其他学生启发，引发学生的思维碰撞，实现学生思维进阶。

3.变式创新，培养品质

美国数学家乔治·波利亚说过“没有任何一个题目是彻底完成了的，总还会有些事情可以做；在经过充分研究和洞察后，我们可以将任何解题方法加以改进；而且无论如何，我们总可以深化对答案的理解。”在课堂教学中，教师要擅长把试题作为教学资源，作为学生理解知识、学会解题、思维进阶的平台，这是教学应然的价值追求。这道题评讲结束后，教师进行了改编和变式训练，这有助于学生对知识的理解，也有助于培养学生的坚毅品质，启迪学生创新意识和创造思维。

【参考文献】

［1］邱志刚.一题一课，问题驱动的数学思维复习课——以“二次函数”复习课为例［J］.数学教学通讯，2023（11）：36-38.

［2］李建华，胡军.基于数学高阶思维培养的中考数学专题复习课架构——以“相似三角形”专题复习课为例［J］.数学通报，2022，61（6）：42-48.

［3］腾好波.开展“一题一课” 提升复习质量——以一道中考压轴题为例［J］.中学数学教学参考，2023（18）：31-33.

特约编辑：孙士海 见习编辑：王一民