从“确定”到“不确定”,发展符号意识
作者： 徐海燕
[摘 要] 为了让学生感知从“确定”到“不确定”，发展符号意识，研究者以“用字母表示数”一课为例，由字母引出数，让学生感知字母的不确定;由字母式引出关系，让学生思辨最佳的表征;用字母式解决问题，培养学生代数思维。
[关键词] 代数思维;符号意识;字母表示数
“用字母表示数”这节课涉及常量和变量之间的关系，实现了从算术思维向代数思维过渡。本单元的主要内容有：用字母表示数，用含有字母的式子表示数量、数量关系和公式，求含有字母的式子的值以及代入计算，为学生后续的方程、比例的学习奠定知识基础。
一、教学内容
“用字母表示数”。
二、教学目标
1.让学生初步理解并掌握用字母表示数，会用含有字母的式子表示数量、数量关系和计算公式。
2.让学生经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，体会用字母表示数的简捷和方便，培养学生的符号意识，发展他们的代数思维。
三、教学过程
1. 由字母引出数，感知字母的不确定
师：（出示APPLE）老师给大家带来一个单词，这是什么意思？
生（齐声答）：苹果。
师：（出示APPL）去掉一个字母，你们知道什么意思吗？（全班学生沉默）它表示的是资产管理公司的缩写。（出示APP）再去掉一个字母，这是什么意思？
生（齐声答）：它表示应用程序。
师：（出示AP）再去掉一个字母，剩下A和P，你在哪里见过字母P？
生1：停车场里写着P。
师：你在哪里见过字母A？
生2：停车场里有A区和B区。
生3：有的大楼会标着A1和A2来区分哪一幢楼。
生4：扑克牌上有红桃A。
师：停车场上的A、大楼上的A1和A2，这里的A表示一个特定的含义;红桃A，它可以表示确定的数字1。这节课我们就来研究“用字母表示数”。
设计意图：教师巧妙地借助英文单词APPLE开启数学课堂，吸引了学生的注意力，让他们饶有兴致地猜英文单词的意思。教师一次次去掉这个单词中的字母，让学生深刻体会每个字母表示特定的含义。当最后只留下字母A时，学生结合自己的生活实际猜测A所表示的意思，教师智慧地引导学生联想到扑克牌中的红桃A，再根据红桃A引出数字1，与本节课的课题“用字母表示数”相呼应，自然地揭示本节课的学习内容。
2. 由字母式引出关系，思辨最佳的表征
（1）用字母式表示三角形个数和小棒根数的关系
师：摆1个三角形用3根小棒，摆2个、3个、4个三角形用多少根小棒？
生5：摆2个三角形用6根小棒，算式是2×3=6;摆3个三角形用9根小棒，算式是3×3=9;摆4个三角形用12根小棒，算式是4×3=12。
师：你还能继续往下说吗？
生5：摆5个三角形用15根小棒，算式是5×3=15;摆6个三角形用18根小棒，算式是6×3=18……
师：你这样一直往下说，能说完吗？你发现了什么规律？
生5：不能，因为摆1个三角形用3根小棒，摆几个三角形就是几乘3。
师：你们能不能用自己喜欢的方式表示三角形的个数和小棒的根数之间的关系？把想法记录在学习单上。
有的学生说“三角形的个数×3=小棒的根数”，有的学生说“□×3”，有的学生说“a×3”，有的学生说“3x”等。
师：请你们想一想，这些表达方式有什么相同和不同的地方？
生6：相同的地方是摆每个三角形都要3根小棒;表达方式不同，有的用文字，有的用图形，有的用字母。
师：你更愿意选择哪一种表达方式，为什么？
生6：我比较喜欢第三种。第一种写文字太麻烦了，耗时间;第二种画方框有时会看成圆圈，不容易辨认;第四种和第三种差不多。
师：如果用字母a表示三角形个数，那么3a就是小棒根数。像这样含有字母的式子，我们把它称作字母式。这个式子中的a和扑克牌上的A一样吗？
生7：不一样，扑克牌上的A表示一个固定的数，这里的a表示的数是不固定的。
设计意图：从数学发展史的角度看，学生学习“用字母表示数”包括以下三个阶段：第一个阶段是用字母表示未知数，第二个阶段是用字母和字母式表示变化量，第三个阶段是用字母式表示数量关系。学生在第一学段接触到较多的“用字母表示未知数”的题目，这为学习第二阶段的“用字母和字母式表示变化量”提供了理解的基础。当学生在解决三角形个数和小棒根数的数量关系时，很多学生自然想到用字母表示三角形个数这一变量，在类比中用乘法算式表示不同个数的三角形和小棒根数之间的关系。然后，教师启发学生思考“你这样一直往下说，能说完吗”，引导学生用字母式表示两者之间的数量关系，并在不同表达式的比较中让学生体会字母式的简捷与方便，并思考字母式中字母的取值范围。
（2）用字母式表示爸爸和小红的年龄关系
教师出示情境：爸爸比小红大30岁。
师：当小红1岁时，爸爸的年龄是多少岁？当小红10岁时，爸爸的年龄是多少岁？当小红15岁时，爸爸的年龄是多少岁？
生8：当小红1岁时，爸爸的年龄是1+30=31岁;当小红10岁时，爸爸的年龄是10+30=40岁;当小红15岁时，爸爸的年龄是15+30=45岁。
师：这些式子，每个都只能表示某一年爸爸的年龄。你们能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗？
生9：如果小红的年龄是b，那么爸爸的年龄是b+30。
师：想一想，如果当b=6时，你们能算出爸爸的年龄吗？
生10：b+30=6+30=36。
师：当字母b有一个具体的数时，我们就可以算出字母式的结果。我们来回顾一下：a和b分别表示什么样的数？
生11：这里的a表示三角形的个数，大于0的整数;这里的b表示小红的年龄，一般是小于100但大于0的整数。
师：字母在表示数的时候是不确定的，这些数是有范围的。
设计意图：当学生初步体验用字母式表示乘法的数量关系后，这个环节中教师让学生用字母式表示加法的数量关系。教师先引导学生用字母和字母式表示变化量，写出当小红1岁、10岁和15岁时，爸爸年龄的算式;然后，引导学生用字母式表示数量关系，用字母b表示爸爸和小红年龄之间的数量关系;最后，让学生尝试求含有字母的式子的值以及代入计算，用代入的方法计算当b=6时爸爸的年龄。在这个环节，学生经历从具体到抽象，又从抽象到具体的过程，为学习方程奠定了基础。
3. 用字母式解决问题，培养代数思维
（1）化简字母表达式
师：你们在哪里见过字母式？
有的学生说在学习加法和乘法运算定律时见过，有的学生说在学习周长和面积公式时见过。
师：如果用a表示正方形的边长，C表示周长，S表示面积，你们能写出正方形的周长和面积公式吗？
生12：正方形的周长公式是C=4×a，正方形的面积公式是S=a×a。
师：像这样的字母式还有更简单的写法，请大家自学课本第100页。
生13：正方形的周长公式化简后是4a，即可以把乘号省略，数字写在前面，字母写在后面。正方形的面积公式化简后是S=a2。
师：刚才的a×3和b+30可以化简吗？
生14：a×3=3a，b+30不能化简。
师：4×b，5+x，a×c，y×1，a-6，c×c，c+c，c×2，请化简这些字母表达式。
生15：4×b=4b，a×c=ac，y×1=y，c×c=c2，c+c=2c，c×2=2c。
设计意图：在这个环节中，教师先引导学生回忆字母式在以前学习中的应用;然后让学生用字母式表示正方形的周长公式和面积公式，在自学和阅读课本中掌握含有字母的乘法式子的简便写法;最后让学生在练习中巩固乘法字母式的化简，尤其是比较c×c、c+c、c×2这三道题的异同。
（2）用字母式解决问题
师：甲、乙、丙、丁四地在一条直线上依次排开，甲地在前，丁地在后，乙地和丙地在中间，甲、乙两地之间的公路长185千米，乙、丙两地之间的公路长x千米，丙、丁两地之间的公路长y千米。甲、丙两地之间的公路长（ ）千米，乙、丁两地之间的公路长（ ）千米。
生16：甲、丙两地之间的公路长（185+x）千米，乙、丁两地之间的公路长（x+y）千米。
师：假如聪聪从甲地坐车到丙地，汽车每小时行驶100千米，2小时到达，甲、丙两地的公路长（ ）千米。
生17：甲、丙两地的公路长是100×2。
师：（出示185+x=100×2）同学们，甲、丙两地的公路长有两种不同的表达式，我们可以用等号连接，这就是含有字母的等式。
设计意图：第1题和第2题是检验学生用字母式表示数量关系，第3题是检验学生用字母和字母式表示变化量，让学生再次感受用字母表示数和数量关系的简捷。同时，教师巧妙地让学生用不同的算式表征甲、丙两地之间的公路长，并用等号将两个算式连接起来，为后续学习含有未知数的等式做好铺垫。
四、教学反思
“用字母表示数”这节课让学生经历从“一个式子表示一种图形的三角形个数”到“一个式子表示任何图形的三角形个数”、从“一个式子表示某一年爸爸的年龄”到“一个式子表示任意年爸爸的年龄”等过程，体会从特殊到一般的归纳过程。
1. 用字母表示数，发展符号化思想
符号意识是数学核心素养之一，主要是指能够感悟符号的数学功能。“用字母表示数”一课让学生使用符号进行数学表达和掌握用符号表示数量、关系和一般规律的方法，不断加深学生理解用字母表示数的意义，体会用字母表示从确定量到不确定量，有利于发展学生的抽象能力和推理能力。
2. 从关系到等式，代数思维的启蒙
第一学段，学生基本是用算术思维解决数学问题;第二学段和第三学段，学生开始尝试用代数思维解决数学问题，尤其是“用字母表示数”这节课标志着小学生正式学习代数的开始。用字母表示数、用字母式表示数量和关系不仅简便直观，还能抽象地概括数量关系中的一般规律。在用含有未知数的等式解决问题时，学生根据题意顺向思考，已知数和未知数共同参与运算，能为解决复杂的数学问题带来方便。同时，代数是中学数学的重要内容之一，小学阶段学生初步感知有利于打通小学与中学的衔接。
总之，数学教学时教师要打破零散的知识结构，重构用字母表示数的单元结构，使之顺应学生的认知水平和数学知识的发展，让学生经历从含有未知数的字母式到含有未知数的等式的过程，在丰富的数学思维活动中积累方程的学习经验。
作者简介：徐海燕（1982—），硕士研究生，中学一级教师，从事小学数学教学与研究工作，曾获苏州市吴江区“教学能手”称号。