小包装大问题

[摘  要] 为了让学生学会解决包装中的数学问题，研究者开展了一堂综合实践课“包装中的数学”：通过谈话导入，让学生初步感知重合的面越多越节约包装纸;通过合作探究，让学生感知组合图形越接近正方体越节约包装纸;通过应用拓展，让学生感知包装在数学与生活中的联系和区别。

[关键词] 包装问题;综合与实践;小学数学

包装问题是学生在生活中经常遇到的问题。学生在学习了“长方体和正方体”后知道了长方体和正方体的特征，会正确计算长方体和正方体的表面积。在此基础上，笔者增加了一节综合实践课“包装中的数学”，引导学生探索多个长方体叠放后使其表面积最小的最优策略，体验策略的多样性，以此发展学生的数学思维。

一、教学内容

综合实践课“包装中的数学”。

二、教学目标

1.让学生结合具体的物品想出不同的包装方案，能分别计算不同包装的表面积，并选出最节约的包装方案。

2.让学生在活动中体验解决问题的基本方法和过程，能用不同的方法解决简单的实际问题。

3.让学生在解决包装问题中体会策略的多样性和优化思想，培养节约的意识，感知数学与生活的联系。

三、教学过程

1. 谈话导入，揭示课题

师：同学们，你们在哪里见到过包装？

生1：给别人送礼物的时候，礼物的外面会有包装盒，比如春节礼物外面的包装盒。

师：包装盒在我们生活中无处不在，也正因为有了礼物的包装，才使我们的生活变得更加丰福多彩。看，老师带来了几盒茶叶，请给这几盒茶叶包装一下。此时我想知道究竟要用多少包装纸，从数学的角度看实际上是求长方体的表面积。请大家回忆一下：长方体的表面积怎么计算？

生2：把长方体的六个面加起来。

师：现在我要送2盒茶叶，把这2盒茶叶先拼成一个长方体，再进行包装。可以怎样拼呢？

生3：我觉得有三种不同的拼法，第一种是我们可以把最小的两个面合在一起;第二种是我们可以把两个中面合在一起;第三种是我们可以把最大的两个面合在一起。

师：把两个小面、两个中面和两个大面合在一起后，所拼得新长方体的重合面是怎样的？分别重合了什么？

生4：第一个重合了两个小面，第二个重合了两个中面，第三个重合了两个大面。

师：你们能不能快速找到哪一种包装方式最节约纸，哪一种包装方式最浪费纸，为什么？

生5：第三种最节约纸，因为他把两个最大的面重合了起来。第一种最浪费纸，因为它重合的是最小的两个面。

师：换句话说重合两个小面，露在外面的表面积最大;重合两个大面，露在外面的表面积最小。这节课我们就一起来研究包装中的数学问题。

设计意图：教师开门见山地引导学生从生活角度思考“你在哪里见到过包装”，不仅让学生感受到数学学习就在自己身边，还让学生感受到数学知识可以用来解决生活实际问题，充分调动了学生的学习主动性。在师生谈话中，教师自然地提出“如果要包装2盒茶叶，怎样包装最节约纸”这个问题，让学生将生活问题转变成数学问题“求组合图形的表面积”。教师引导学生一起分析2盒茶叶包装会有三种不同的拼法，从每一种拼法重合几个面的角度比较三种不同拼法后物体的表面积，让学生初步感知重合的面越大越节约包装纸。同时，教师为了方便学生表达和交流，与学生约定“最大的面叫作大面，最小的面叫作小面，中间的面叫作中面”。

2. 合作探究，发现规律

（1）利用结论研究3盒茶叶的最优包装方案

师：如果你要把3盒这样的茶叶先拼成一个长方体，然后进行包装，可以怎样拼呢？请用学具先摆一摆，再把你们认为最节约包装纸的拼法记录在学习单中。

生6：可以把三个大面拼在一起，重合了三个大面。

生7：（借助学具操作）不对，把四个大面拼在一起，是重合了四个大面;把四个中面拼在一起，是重合了四个中面;把四个小面拼在一起，是重合了四个小面。

师：请你们仔细想一想哪一种包装最节约纸，为什么？

生8：重合大面的包装最节约纸。因为重合的面积越大，拼出的长方体的表面积就越小。

设计意图：在这个环节中，学生应用了上一个环节中的结论“重合的面越大包装最节约纸”。当学生在计算组合图形有多少个重合面出现错误时，教师引导学生借助学具来观察和数数，直观地数出有多少个重合面。

（2）利用比较研究4盒茶叶的最优包装方案

师：你们觉得怎样包装4盒茶叶，使得它的表面积最小、包装最节约纸呢？把你们的想法说出来，到底哪一种更节约包装纸呢？请把你们认为最节约纸的拼法记录在学习单里，四人小组合作交流探讨。

生9：我们小组认为六个大面重合的那种包装方法最节约纸，因为六个大面的面积比四个大面和四个中面的面积大。

生10：我们小组以前也认为六个大面重合的那种包装最节约纸，但是现在我们改变想法了，认为二乘二的包装最节约纸。竖着放重合了六个大面，二乘二的包装则重合了四个大面和四个中面，这时我们只要比较两个大面和四个中面谁大就可以了，其实是比较一个大面和两个中面的大小。我们用了设数的方法，把大面看作3，中面看作2，小面看作1。

师：你们用设数的方法，确实是一种好方法，但是大面、中面和小面不一定是这样的关系。在没有数据的情况下，我们还可以怎么比较一个大面和两个中面的大小？

生11：我们还可以借助具体的实物比较，将两个中面放在一个大面上，以此观察谁更大。

师：我们在生活中碰到包装这样的四个长方体时，到底该用哪种包装方法呢？

生12：两个中面加起来比一个大面大，就用二乘二的包装方法;两个中面加起来比一个大面小，就用大面重合的包装方法。

师：你们能从生活中找出两个中面比一个大面小的例子吗？

生13：包装饼干、面膜、书。

设计意图：在这个环节中，教师注重培养学生的直觉思维，让学生在基于结论“重合的面越大包装最节约纸”的认知基础上，先猜一猜怎样包装4盒茶叶最节约纸，再让学生借助学具验证自己的想法。这时，有的学生保持原来的猜想，有的学生改变原来的猜想，他们发现有“竖着放”和“二乘二”这两种情况。此时，学生在比较这两种情况时将“六个大面”转化为“四个大面和两个大面”，与“四个大面和四个中面”进行比较，从而将比较的内容聚焦为比较一个大面和两个中面谁大谁小，并通过设数比较和实物比较得出结论。

（3）利用计算研究4盒茶叶的最优包装方案

师：用眼睛看得出的数学结论并不能让人信服，我们需要运用数据来验证。现有学具长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是4厘米，请大家动手算一算组合图形的三条边和表面积，并填写表1。

学生边汇报边出示组合图形的各种数据（如表2）。

师：同学们，仔细观察组合图形和各种数据，你有什么发现？

生14：当组合图形拼摆越接近正方体时，它的表面积就越小。

师：组合图形越接近正方体，实际上与图形的长宽高就越有关。我们来算一算组合图形长宽高这三条棱长两两之差的和分别是多少？

生15：第一组34+2+36=72，第2组14+20+6=40，第3组8+8+16=32，第4组14+2+12=28，第5组4+10+6=20，第6组2+4+2=8。

师：组合图形长宽高两两之差的和越小，它越接近正方体，表面积也越小。

设计意图：在这个环节中，教师让学生通过具体的数据计算再次验证4盒茶叶的最优包装方案。在计算过程中，学生不仅复习了长方体的表面积，还通过数据比较发现“当组合图形拼摆越接近正方体，它的表面积就越小”的结论。为了更具体地让学生通过数据看到组合图形越来越接近正方体，教师组织学生计算长宽高这三条棱长两两之差的和。学生在计算中更加清晰地看到组合图形越接近正方体，它的表面积就越小，包装就最节约纸。

3. 应用拓展，提升能力

师：如果要包装6盒茶叶，你们觉得怎样包装最节约纸？

生16：横着放3盒，往上叠2层。

生17：不对，应该是横着放2盒，往上叠3层。生16的方法重合了6个大面和8个中面，我的方法重合了8个大面和6个中面，重合大面越多就越节约包装纸。

师：如果要包装8盒茶叶，怎样包装最节约纸呢？

生18：横着放2盒，往上叠4层，这样重合了12个大面和8个中面。

师：如果要包装9盒茶叶，怎样包装最节约纸呢？

生19：横着放3盒，往上叠3层，重合了12个大面和12个中面。

师：如图1，重合大面和中面越多，组合图形越接近正方体。现在老师这里有零散的10包纸巾，怎样包装最节约？（学生动手摆图形）看，这是我从超市里买来的10包纸巾的包装，这种包装的大面都露在外面肯定不是最节约纸的，谁来猜测下商家的想法？

设计意图：为了帮助学生巩固和应用前面得到的结论，教师设计了挑战性任务：（1）如果要包装6盒茶叶，怎样包装最节约纸？（2）如果要包装8盒茶叶，怎样包装最节约纸？（3）如果要包装9盒茶叶，怎样包装最节约纸？（4）如果要包装10包纸巾，怎样包装最节约纸？挑战性任务不仅有利于学有余力的学生不断超越自我，提升数学思维;也有利于其他学生在比较重合大面和中面的过程中，对上一环节中“组合图形越接近正方体包装最节约纸”这个结论有更深刻的理解。在教学最后，教师借助包装10包零散的纸巾，将数学中的包装与生活中的包装进行联系，引导学生猜测商家对包装纸巾的想法。

总之，数学从生活中来，要回到生活中去。“包装中的数学”涉及长方体的表面积计算、包装方案的比较和优化、重合面积的大小比较等知识，学生在学习中经历了讨论解决包装问题的思路、包装有哪些方案、利用结论或计算知道哪种方案最节约包装纸等过程，探讨了如何包装2盒茶叶、3盒茶叶、4盒茶叶、6盒茶叶、8盒茶叶、9盒茶叶、10包纸巾最节约包装纸的问题，对“重合大面和中面”与“越接近正方体”的认识有了拓展和深化。同时，教师结合数学和生活中的具体包装方案，为学生的综合学习留下了思考的空间。

作者简介：华悦（1995—），本科学历，小学一级教师，从事小学数学教学与研究工作。