关注过程反思 发展探究能力

[摘  要] 研究者以“圆的周长”教学为例，从“情境创设，提出问题”“推理探索，确定范围”“实践操作，体验过程”“古今碰撞，渗透史料”等环节进行教学，并提出相应的过程性反思，与同行交流。

[关键词] 反思;过程;探究能力

《义务教育数学课程标准（2022年版）》倡导数学教学不仅要关注数学定理、证明方法的发现与探索过程，还要注重各个教学环节的反思过程。当前数学课堂“过程短暂”的问题较为普遍，部分教师只关注教学任务的完成情况，少了过程性评价与反思环节。实践证明，加强课堂的过程性反思，不仅能提高学生的数学探究能力，还能有效促进教学相长。

圆的周长是小学高年级阶段重要教学内容之一，是中学数学教学的基础。笔者以“圆的周长”为例开展教学，并实施过程性反思，在发展学生的探究能力上具有重要意义。

一、情境创设，提出问题

教师用课件展示一组车轮图情境：（见图1）周末，小明一家准备到人民公园去踏青，他们一家三口各骑一辆自行车，自行车车轮大小各不一样。用数学眼光来观察这三个车轮，你们有什么发现？

生1：不同大小的车轮都是圆的。

生2：每一个车轮均围绕着“轴”转动前进。

生3：因为车轮大小不一样，所以它们的直径也各不相同，滚动一周的长度也不一样。

师：大家的观察很仔细，每一个发现都有道理，那么不同大小的车轮滚动一周的长度究竟是多少呢？现在我们一起来看动画演示。（多媒体演示）

师：从演示过程来看，不同大小的车轮滚动一周的长度或长或短，这个长度可用哪个数学术语表示？

生4：滚动一周的长度为车轮的周长。

教师肯定了这种说法，并借助多媒体进行动态演示，让学生直观感知围成车轮一周的曲线就是周长，即车轮在地上转动一周，所形成的路线为该轮子的周长。

师：通过观察，你们觉得究竟什么是一个圆的周长？它的长度与什么条件相关？

生5：圆的周长就是围成这个圆一周的曲线长度，与之相关的条件是直径，直径的长短决定圆周长的长短。

师：既然我们已经发现了圆的直径对圆的周长有直接影响，那么它们之间究竟具有怎样的关系呢？接下来我们就一起来探索这个问题。

教学反思：很多数学概念是从生活经验中抽象而来，踏青情境巧妙地将教学内容融入生活场景中，可有效调动学生的探索兴趣。当然，从心理的角度来说，学生更容易悦纳。认知上的理解与心理上的倾向，为接下来的探究活动奠定了坚实的基础。

对于学生而言，圆的周长是一个新鲜的未知内容，骑车是学生非常熟悉的生活经历，学生对车轮的熟悉度很高。因此，为了避开冗长、枯燥的讲解，教师直接将生活实际问题应用到揭示教学主题中来，不仅能凸显周长的本质为曲线图，还能迁移学生的旧知，为构建新知奠定基础。三个不同尺寸的车轮必然存在不同的直径，学生自主发现直径决定周长的规律，自主形成猜想。

二、推理探索，确定范围

师：以前我们研究过正方形，如图2所示，在正方形的内部画一个最大的圆，那么圆的直径与这个正方形的周长之间是否存在关系呢？

当学生探索这个问题后，教师用多媒体展示图3，在圆内添加一个最大的正六边形，要求学生自主分析圆的直径与这个正六边形的周长之间是否存在关系。

为了帮助学生厘清思路，教师继续演示：复制一个相同大小的圆，借助六条半径将该圆平均分成6份，明确相邻半径间的夹角为60°，顺次连接圆上半径的六个点，形成图4。将图2、图3、图4摆放到一起进行比较分析，鼓励学生大胆猜想：一个圆的周长约为直径长的几倍？

学生以合作学习的方式进行探索，分析圆的直径与正方形的周长之间存在的关系。

生6：我们组经过讨论分析，认为正方形的周长恰好为其内部最大圆的直径的4倍。

师：这个结论是怎么得来的呢？

生6：圆的直径和正方形的边长相等，由此确定它们之间为4倍的关系。

师：很好！那么圆内最大正六边形的周长和圆的直径存在怎样的关系呢？

生7：它们之间为3倍的关系，将正六边形的顶点与圆心连接形成正三角形，可知正六边形的边长和圆的半径相等，因此正六边形的周长等于三条直径的长。

师：现在我们将圆的周长分别和正六边形、正方形的周长一起比较，看看有没有什么新的发现？（多媒体展示）

生8：基于图4可见，正方形的周长必然比圆的周长大，正六边形的周长必然比圆的周长小。

师：回答得很完整，据此进行大胆猜想，谁来说说圆的直径与圆的周长之间存在怎样的关系呢？

生9：从以上探索过程来看，圆的周长比其本身直径的3倍大一些，又比其本身直径的4倍小一些，应该在3到4倍之间。

师：大家认同这个猜想吗？该如何验证该猜想是否正确呢？现在我们接着探索。

教学反思：波利亚认为，如果学习过程具有发明的苗头，就要想办法让猜想与推理占据重要地位[1]。反观以上教学过程，教师没有将结论直接“告知”学生，而是借助多媒体演示与合作交流，鼓励学生自主经历观察与猜想的过程，从而发现知识间的联系，揭示周长与直径之间关系的奥秘。

在此过程中，学生不仅充分体验了知识间的关联性特征，还进一步训练了数学思维，提升了数学推理能力。由此可见，教师引导学生关注猜想、严谨论证，不仅能让学生提炼知识本质，还能让学生搭建完整的知识架构，提升学生的学习品质，发展创新意识，这些都是培育学生数学核心素养的基础。

三、实践操作，体验过程

师：若想明确一个圆的直径与周长之间的倍数关系，该从什么角度进行探索呢？

生10：或许可以从一些生活中的圆形物品着手，比如分别测得圆本身的直径与周长，直接用除法计算明确它们之间的倍数关系。

师：想要测量一个圆的直径比较容易，但是一个圆的周长该怎么测量呢？

生11：可以借助绳子来测，即用绳子绕圆形物品一周，再展开绳子测量其长度即可。

师：这个想法不错，如图5所示，现在我们一起来看多媒体演示，将绳子绕圆一周后在刻度尺上的显示数据。

教师引导学生思考：想让测量数据更准确，有什么值得注意的？学生表示除了要将绳子紧贴圆形物品外，还需要在绕完一周的位置做好标记，以便于测量。教师赞扬了学生的细致，并提出：如果是一块圆形金属片，该怎么测量它的周长？

生12：可以在圆形金属片的某个位置做上记号，再将该圆紧贴直尺让标记点与直尺上的零点位置对准，然后让圆水平滚动一周，读数即可。

教师对这种方法表示肯定，并再次借助多媒体展示具体的测量过程（见图6所示）。

师：非常好！表述得很规范，从以上两种测量方法来看，它们之间存在什么共同点？

生13：这两种方法都是将曲线转化成直线进行测量。

师：不错，这就是“化曲为直”的思想，是本节课的重点。

教学反思：测算圆的直径与周长之间的倍数关系为本节课的重中之重，学生想要借助纯手工操作获得精准数据确实比较困难。教师为了让学生亲历过程，借助多媒体与实践操作引导学生，让学生充分感知周长与直径的数量关系，并提取注意点：①绕线时需要紧贴圆形物品;②滚动时需要关注起点与直尺零刻度线的对齐情况等。

学生一旦掌握了注意事项，就能准确地进行测量，这对探索圆的直径与周长之间关系的精确性具有重要影响。学生通过演示与实操能进一步感知猜想的正确性，同时不同探索方法的探索蕴含着相同的思想方法，此过程有效揭示了“化曲为直”的思想。

师：圆的直径与周长之间究竟存在怎样的数量关系呢？请大家以小组为单位，取出课前提前准备好的直径分别为5、4、3厘米的圆形卡纸，按要求开展探索：①用自己喜欢的方式测量手中圆形卡纸的直径与周长，并计算两者的商，将结论填写在探究单中（保留两位小数）;②组内成员分工合作，明确职责;③观察数据，归纳结论。

学生合作测量、记录、计算，获得表1。

虽然学生测量的是同一个圆，但获得的结论有差异，由此判定测量存在误差，即用不同方法测量圆的周长存在误差。用所测得的周长除以直径获得的结论在3.10～3.25之间，由此能初步确定它们之间的倍数关系是3倍多一点。

师：如果将三个圆测量的结论放在一起类比分析，有什么新的发现吗？

学生交流后形成结论：不论多大的圆，其周长与直径的比恒为三点多，即它们之间的关系恒为3倍多;在误差极小的情况下，这个值可能是相同的。但要消除误差，确实存在很大难度。

教学反思：探究是发现的基础。此环节实践活动主要是基于学生的猜想开展，该操作过程不仅是教学的客观需求，还是满足学生心理发展的需要。结论的获得既验证了猜想，又进一步夯实了学生对圆周率的认识。但受测法、工具与技能等因素的影响，误差不可避免。

当面临存在的误差时，教师并没有回避这个问题，而是引导学生分析表1的数据，使学生感知圆周长与直径比就是一个近似值。在此基础上，类比其他圆的探索，学生可顺利接受误差的存在。由此让学生从感性思维上升到理性思考，即在零误差的情况下，圆的周长与半径之间的商值一样，为一个常数。

四、古今碰撞，渗透史料

教师向学生介绍古代的数学家对“圆的周长”问题进行过大量研究，比如一千七百多年前的刘徽发现：当圆内接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长越来越逼近圆周长，多边形的面积也越来越逼近圆面积。于是刘徽从正六边形开始，逐步增加正多边形的边数，使正多边形越来越接近圆。一直到正三零七二多边形时，算出圆的周长约为直径的3.1416倍。

师：刘徽所获得的3.1416这个数据是精确的倍数数值吗？

生（齐声答）：不是。

师：后来，我国南北朝时期的祖冲之在此基础上获得倍数值处于3.1415926与3.1415927之间，该成果比世界上其他数学家早了一千多年。这带给你们什么感受？

生14：咱们国家的数学家真厉害。

生15：我为自己生在中国而自豪。

生16：以后我也要像数学家一样，用锲而不舍的精神探索数学。

师：是啊！我们身处一个伟大的祖国，应将这种持之以恒的科学精神传承下去。随着信息技术的发展，当前圆周长与直径的比值越来越精确，大家请看课件，此为当今精确到200位的情况。这是一个无限不循环小数，它有一个好听的名字叫“圆周率”，用字母π来表示。

教学反思：此环节为教学重点与难点，教师不仅为学生创造深刻理解“3倍多一些”的具体数值，还借助史料渗透数学文化，培养学生的探究精神、爱国情怀与学科素养。

总之，任何一个知识的形成与发展都经历了漫长的过程，教师引导学生“再创造”知识，不仅能深化学生对教学内容的理解，还能拔高学生的思维，发展学生的探究能力，让深度学习真实发生。

参考文献：

[1] G.波利亚. 怎样解题——数学思维的新方法[M]. 涂私，冯承天，译. 上海：上海科技教育出版社，2007.

作者简介：谢雪峰（1983—），本科学历，小学一级教师，从事小学数学教学与研究工作。