探索小数本质:通过数数体验其深刻含义
作者： 杨娅
[摘 要] 通过数数活动，学生可以在数形结合的基础上，利用各种教学辅助工具进行“数小数”的操作，直观感知小数与分数关系，深刻理解小数与整数之间的内在联系。
[关键词] 基本认知活动;数形结合;小数的本质
在小学数学中，有理数范畴内的小数可视为十进制分数的无分母表示形式，遵循十进制位值原则。在整数十进制的学习中，学生通过数小棒的活动能够直观地理解十进制的原理。然而小数的形成过程涉及从整数到一位小数、进而扩展到多位小数，这一过程相对抽象，对学生构成了一定的认知挑战。
在数小数的过程中，教师引导学生感知小数实际上是计数单位个数的累加过程，这与整数计数的本质相似，并且与度量意识相一致。通过这种方式，学生能够在具体操作中建立小数与整数之间的桥梁，加深对数的本质的理解，为进一步掌握复杂的数学概念奠定坚实的基础。
一、针对学生实际水平，应用图示法教授一位小数的认识
师：我们已经掌握了整数的计数方法，比如我们可以一个接一个地数，或者是每十个一组地数。那么，你们知道小数怎么数吗？
1. 尝试数出小数0.3
师：同学们，你们还记得是怎样学习小数的吗？现在，我想请你们用画图来表示0.3。
（学生动手画图，并讨论）
老师：如图1，谁能告诉我，哪幅图可以帮助我们数出0.3，为什么呢？
生1：我觉得③和⑥都不行，因为它们没有被平均分成10份。我们要先把一个整体平均分成10份，然后数出其中的3份来表示0.3。
师：非常好，你们能举个例子来说明一下吗？
生2：当然可以。就像我们把1元分成10个相等的部分，每个部分就是1角，那么3个这样的部分就是3角，也就是0.3元。
师：说得真好！那么除了③和⑥之外，其他的图你们是怎么数出0.3的呢？
生3：我们可以把1平均分成10份，每份就是0.1，那么2份就是0.2，3份自然就是0.3。所以，0.3就是数3个0.1，比如图1中④和⑤，只要数其中的3条或者3格就可以;使用尺子，数3格也可以。
师：看来你们都明白了，只要我们把一个整体平均分成10份，每份就是0.1;然后数出3份，就可以得到0.3。你们真是太棒了！
2. 尝试数出其他一位小数
师（微笑）：你们还能数出哪些小数？
生4（兴奋）：④号图的空白区域代表了0.7。因为我们把它分成10份，每份就是0.1，7份就是7个0.1，加起来正好是0.7。
师：非常好。再往下数，你们能数出哪些新的小数呢？
生5：0.8和0.9。8个0.1加起来是0.8，9个0.1则是0.9。
师：那如果我们再加上一个0.1呢？
生6：那就变成了1，就像一个完整的正方形。
生7：而且，如果我们在1后面加上一个0.0，那就是1.0，也就是10个0.1。
师：通过这样的方式，我们可以数出无限多的小数，每一个都有其独特的意义和用途。
3. 回顾一位小数数法
如图2，教师指着数轴上的0和1之间，微笑着问：“同学们，这里的空间广阔无垠，我们选一个点放在0和1中间（指向图2），大家觉得这个神秘的点可以用什么数字来描述呢？”
生8：老师，这个点肯定是个小数，因为它既不像0那样小，也不像1那样大，0和1之间已经没有其他的整数了。
师：那你们能想象一下，如果我们把0和1之间的线段分成更多的小段，会发生什么呢？
生9：如果我们把线段平均分成5份，如图3，每份就是0.2。
师：非常好，你们已经找到了数轴上的秘密——通过分割和组合，我们可以找到无数个小数。现在，请你们和旁边的小伙伴分享一下，你们还能数出哪些其他的小数呢？
教学思考：在数学教学中，教师提出“整数可以逐一计数，十个十个地计数，那么小数能否进行计数”的问题，激发了学生对小数概念的探究兴趣。学生利用已有的小数知识，通过连续数数的实践活动，逐渐理解并体验到小数的计数单位“0.1”，并通过连续累加0.1可以实现类似整数计数的过程。此外，学生观察到，当继续数下去，0.9后面紧接着的数是1.0，从而建立了小数与整数之间的内在联系。
为了深化学生对小数的理解，教师引入了数轴这一数学工具，引导学生探讨在单位“1”下如何进行五等分计数。学生围绕这个问题展开讨论，并在数轴上操作，从而认识五等分和十等分在计数过程中的共性。通过这样的教学设计，学生能打破原有的思维局限，即只有十等分才能找到小数，提高对小数计数方法的认识。
二、构建计量单位，链接两位小数，拓展至多位小数
师：任意小数均能以0.1为计数单位计数吗？
1. 构建计量单位
如图4，教师拿出一个被信封遮住了一部分的正方形图案，神秘地说：“想象一下，这个正方形代表着1元钱。如果我们把它平均分成10份，每1份就是1角钱，或者说是0.1元。如果这个正方形的一部分已经被涂上颜色了，这部分恰好是7份，那么涂色部分代表了多少钱呢？”
生1：涂色部分是7列，7个0.1元，所以就是0.7元！
教师慢慢拿掉了信封，露出完整的正方形图案（如图5）。学生惊讶地发现，涂色部分并不是他们想象中的0.7元。
“看来0.1元的计数方法在这里行不通了！”教师引导学生深入思考：“此时，我们能不能找到一种新的方法来‘数’出这个涂色部分的具体数值呢？”
此时，教师从信封中拿出了一些额外的材料（如图6）说：“这些材料或许能帮助我们解决问题。大家快来看看吧！”
生2：老师，我有新发现！如果我们把正方形分成100个小格子，每个小格子就代表0.01元。如图7，涂色的部分正好是64个小格子，所以涂色部分就是64乘以0.01，等于0.64元。
生3：老师，我还有另外一种方法。我们知道已经有了6个0.1元，但是涂色部分还没满1个0.1元。所以，我们可以把剩下的0.1元再细分成10份，每份就是0.01元。您看，涂色部分还有4个这样的小份，所以是4乘以0.01，等于0.04元。加上之前的6个0.1元，总共就是0.64元。
师：非常好，你的方法也很巧妙。这里的每个小格子代表的是0.01元。
2. 对照辨析
教师展示图8，并提问：“同学们，你们觉得这两种方法有什么相似之处和不同之处呢？”
生4：左边的方法是把整个正方形分成了100个小方块，每个小方块就像是1元钱的1/100，也就是0.01元。而右边的方法是先把1元分成10份，每份是0.1元，然后把0.1元分成10份，每份是0.01元。其实，两种方法最后都是把1元分成了100份，只不过起点不同。
师：非常好，你们真的很会观察！那么，这两种方法在数数的过程中有什么不同呢？
生5：左边的方法是直接数数，就像我们数整数一样，数有多少个0.01就直接写成零点几几;右边的方法是先数0.1的个数，再数0.01的个数。
师：没错，小数的数法和整数的数法其实是一样的，只是我们用的单位更小了。如图9，如果我们把这个小数放到数轴上，你们能找到它的位置吗？
3. 迁移类推
师：我们已经探索了一位和两位小数的奥秘，你们猜猜看，三位小数代表什么呢？
生6：老师，三位小数表示的是千分之几！
师：对的。在什么样的情况下，我们会遇到三位小数呢？
生7：如果我们把1平均分成1000份，那么每1份就是0.001。
生8：同样，我们也可以先把0.01平均分成10份，这样也能得到0.001。
师：非常好，谁能举几个三位小数的例子呢？
生9：0.666。
师：0.666这个数能数出来吗？
生10：当然能，只要数666个0.001就可以了。
生11：我们还可以先数6个0.1，再数6个0.01，最后数6个0.001，就能数出0.666了。
师：除了0.666，你们还能数出其他的三位小数吗？
教学思考：经过一系列的探索活动，学生逐渐认识到使用0.1作为基本计数单位存在局限性，无法涵盖所有小数的计数需求。为了解决这一问题，学生自主提出并创造了新的计数单位——0.01。在对不同分法进行比较和分析的过程中，学生不仅能加深对0.01这一新计数单位的理解，而且能发现不同计数单位之间的内在联系。学生利用0.01这一新的计数单位进行计数练习，在不断的实践中通过迁移类推的思维方式，自然地联想到其他可能的计数单位，如0.001、0.0001等。这一发现不仅扩展了学生的认知范围，也为他们提供了更加灵活和多样化的计数工具。
三、利用几何图形深化对数的理解，探索数域的扩展
1. 从平面展示小数形成
如图10，教师问：“同学们，我们是怎么一步步找到这些奇妙的计数单位的呢？”学生瞪大了眼睛，充满好奇。
生1：老师，我们是把已经找到的那个计数单位，再像切蛋糕一样切成10个小块，就能得到一个更小的计数单位。
师：你们有没有注意到，每相邻的两个计数单位之间，有一个共同的秘密呢？
生2：老师，我发现了，每相邻的两个计数单位之间，它们的进率都是10。就好像我们从1数到10，再从10数到100，每次都是增加了10倍。
2. 从立体展示小数形成
如图11，教师手里拿着一个虚拟的正方体模型，对学生说：“大家想象一下，如果我们用这个正方体来代表数字1，那么0.1、0.01和0.001分别会是什么样？”
生3：老师，我知道。我们可以把这个正方体切成10份，每1份就是1/10，也就是0.1。
师：很好，那0.01和0.001又该怎么切呢？
生4：如果我们再把0.1这1层切成10份，每1条就会是1/100，也就是0.01。最后，如果我们把0.01这1条切成10份，每1小块就是1/100，也就是0.001。
师：太棒了，你们就像小小的数学家一样，用分割的方法把一个正方体变为了更小的部分，每一部分都对应一个更小的数字。这就是我们用图形来直观表示小数的方法。
教学思考：考虑到图形工具在教学中的作用，本研究旨在通过图形化手段梳理整数与小数的计数单位，以实现两个主要目标：首先，建立整数与小数之间的内在联系，从而加深学生对十进制系统的认识;其次，通过直观的方式让学生理解数的本质是计数单位的累加，并在此过程中引入极限概念。通过这种方法，学生不仅能够清晰认识数系的连续性，还能够在实践中体验数学思维的深度与广度。
综上所述，教师引导学生通过数小数实践，让学生掌握整数到小数的扩展技巧，理解小数与整数、十进制分数的联系，以及小数的形成过程。整个教学过程不仅提升了学生的数学技能，而且促进了学生对数的本质的探讨。
作者简介：杨娅（1990—），本科学历，一级教师，从事小学数学教学与研究工作。