做数学:数学学科育人的“有效路径”

[摘  要] “做数学”是学生数学学习的重要方式，是新时代背景下数学学科育人的创新实践。“做数学”能丰富知识表征方式，能让学生具身参与经历数学学科知识产生的过程，能开发学生数学探究的创造潜质，能彰显数学学科育人价值。

[关键词] 做数学;学科育人;有效路径;小学数学

“做数学”通常被理解为一种以操作、实践为主导的学习方式。“做数学”不仅是指学生“用手操作”，更指学生的“眼睛观察”“耳朵倾听”“大脑活动”等。在“做数学”过程中，教师应充分调动学生的多种感官，让学生的多种感官协同活动。实践证明，“做数学”是一种有效的学科育人方式，能给学生数学学习带来全新体验，能提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、以做启思，丰富知识表征方式

“做数学”的过程本质上是将数学学科知识表征出来的过程。在“做数学”过程中，学生充分经历数学知识的形成过程，将“知识”再造、创造出来。只有通过“做数学”，学生才能深刻理解数学学科知识，洞察数学知识的来龙去脉、前世今生。学生通过“做数学”，能将抽象化的数学学科知识“可视化”“直观化”“形象化”“具体化”。不同的学生在“做数学”活动中，对数学学科知识的表征样态不同，对数学学科知识的理解有差异。教师要以“做数学”为驱动，催生学生的数学思维、想象，让学生在“做数学”过程中对相关数学学科知识获得顿悟。

比如在教学“圆柱的侧面积”这一部分内容时，笔者设计了“做数学”活动：首先，让学生将圆柱形罐头的商标纸“剪下来”或者“撕下来”;然后，让学生将“剪下来”或“撕下来”的商标纸再围成圆柱形罐头的侧面。这类似于让学生“玩数学”的学习过程，激发了学生的学习兴趣，调动了学生的学习积极性：有的学生用剪刀沿着高剪下圆柱形罐头的商标纸;有的学生用剪刀斜着剪下圆柱形罐头的商标纸;还有的学生直接撕下圆柱形罐头的商标纸。同样的“做数学”目标、内容、要求，学生的操作过程、结果、样态等各不相同。以做启思，不同的学生会形成对圆柱的侧面展开图的不同认识：有的学生认为圆柱侧面展开图是一个长方形，有的学生认为圆柱侧面展开图是平行四边形，还有的学生认为圆柱侧面展开图是一个不规则的图形等。在此基础上，笔者引导学生比较：这些图形都可以直接求出面积吗？平行四边形的面积是怎样推导出来的？在这一过程中学生深度交流，认识到无论圆柱的侧面怎样展开，归根结底都是将其转化成长方形。

“做数学”是学生数学学习的一种重要方式。研究“做”，就是要赋予学生的“做”以思维含量。教师在数学教学中不能让学生机械、盲目地动手操作，而要通过“做”来启迪学生的思维，让学生在做中思、在思中做。“做”应是学生“数学之思”的外显，“思”应是学生“数学之做”的表征、内化，“做数学”要让学生抵达数学学习“做思共生”“学创一体”的境界。

二、具身参与，经历知识产生过程

荷兰教育家弗赖登塔尔认为，一种数学结论一旦被逻辑证实，相应地发展为一种形式化理论、技巧之后，就会将求解过程抛在一边。因此，在数学教材中，数学总是显现为“冰冷的美丽”。教师要通过引导学生“做数学”，让学生经历数学知识产生过程，激发学生“火热的思考”。教师要通过引导学生“做数学”，将数学教材中“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”“生命形态的数学”。

“做数学”的过程是学生多种感官协同参与学习的过程，这是学生的具身认知。具身认知是一种感受性、体验性的认知。在引导学生“做数学”的过程中，教师通常有两种教学路径：一是引导学生通过探究，建构、创造出数学学科知识;二是从数学学科知识、结论等出发，引导学生将数学学科知识推导出来。教师在引导学生“做数学”的过程中必须对数学学科知识进行“教育学加工”“心理学加工”等，让数学学科知识以更亲近、更亲和的“姿态”呈现给学生。这样才能激发学生的参与激情，引发学生的参与兴趣，让学生积极主动地投入数学学习中。比如教学“三角形的内角和”时，很多教师采用“正向教学法”，给学生提供不同形状的三角形，让学生测量三角形的内角和。学生因为在“做数学”过程中产生“误差”，导致对“三角形内角和是180°”始终存有争议。其实，“三角形的内角和”不应通过数学测量来证明，而应当通过演绎推理或者借助几何方法来证明。

面对这样的问题，笔者认为，教师可以将“探究性实验”改为“验证性实验”，即先让学生认识到“三角形的内角和是180°”。在此基础上，教师要引导学生想办法验证，这样一方面能激发学生的数学实验兴趣，调动学生的数学实验积极性;另一方面也能让学生认识到数学实验过程中不可避免地存在着实验误差。当学生用各种方法如撕角拼角法、折角法验证三角形的内角和之后，学生就会有一种获得感、成就感。不同的学生采用不同的“做数学”方法，但同样都经历了数学学科知识的验证过程。这样的教学法是一种“颠倒性的教学法”（弗赖登塔尔语），即与人类建构、创造数学知识方向相反的“逆向教学法”。

学生通过观察、思考、操作具身参与数学学科知识的建构、创造或验证，能将多种参与方式、学习方式等结合起来。“具身参与”是一种通过身体活动、感官体验来参与数学学科知识建构、创造或验证的学习方式。具身参与的数学学习是一种直观性、生动性、形象性的学习，能促进学生的数学理解、应用，让学生的数学学习变得更加有趣。

三、由繁至简，触及知识本质原理

数学学科是一门思维性的科学。数学学科的价值不仅在于引导学生掌握数学学科知识，更重要的是引导学生触摸知识背后的原理、本质，包括数学学科知识的意蕴、方法、思想、精神等。教师要引导学生通过“做数学”活动，经历数学学科知识的“数学化”活动过程，引导学生对相关的“做数学”资源、素材去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里，从而让学生的数学学习由繁至简、从感性走向理性、从具象走向抽象，直抵学科问题的本质、内核。

比如教学“认识厘米”这一部分内容时，笔者引导学生经历数学知识的建构、创造过程，让学生积极主动地创造“厘米尺”，从而认识“厘米尺”“用厘米尺测量物体的长度”的数学本质。首先，笔者引导学生比较两个物体的长度，经历统一“长度单位”的过程;其次，笔者呈现学生日常学习生活中的田字格、订书钉、图钉等，帮助学生建立“单位厘米”的鲜活表象。这一过程涉及学生的视知觉，能激发学生的视觉思维、催生学生的视觉想象;再次，笔者引导学生用确定的“单位厘米”去测量物体的长度，让学生在测量物体长度的过程中产生将长度单位串接起来的心理需求，进而建构“厘米尺”的雏形;最后，笔者引导学生用“厘米尺”雏形来测量物体的长度，为了方便读数，学生将“厘米尺”标注刻度，由此建构出“厘米尺”。通过这样逐步“数学化”的“做数学”活动，学生深刻认识了“厘米尺”“用厘米尺测量的本质”。经历了“做数学”活动过程，学生不仅能灵活应用厘米尺测量物体的长度，而且对物体长度作为“可测量属性”“可测量长度的大小”有了直观、形象、具体的感知、认知。在不断地“做数学”测量活动中，学生的量感逐步形成。

在小学数学教学中，如果教师只是简单地开展“做数学”活动，学生在“做数学”活动中获得的经验、认识常常是无序的，呈现一种不确定性，容易让学生的学习肤浅化。在“做数学”的活动过程中，教师要不断引导学生去抽象、概括、总结，对数学学科知识的认知从感性走向理性。通过抽象性思维、推理性认知，学生能触及数学学科知识的原理、本质，也能洞察数学学科知识之间的关联。

四、塑品铸魂，彰显知识育人价值

“做数学”不仅是一种“动手操作”的活动，还是一种蕴含学生数学思维、想象以及数学学习情感、态度与价值观的活动。因此，“做数学”活动能充分发挥数学学科知识的育人功能，让数学学科知识“培根塑魂”，从而彰显数学学科知识的育人价值。

比如教学“可能性”这一节课时，为了让学生体验“可能性”，笔者引导学生做“摸球实验”：黑袋子中放1个黄球和3个红球，让学生摸球摸30次。学生以小组为单位开展操作，在不断地摸球过程中体验“可能性的大小”，大部分小组摸中红球的次数都比摸中黄球的次数多，只有一个小组摸中红球的次数比摸中黄球的次数少。笔者发现，当这一小组学生看到自己小组摸球的结果与其他小组不一致时，就在摸球的次数结果上“动手脚”。为此，笔者引导学生反思自己的行为：这个摸球结果是真的吗？既然是真的，为什么要作假呢？红球的个数多摸到的次数一定多吗？红球的个数多摸到的可能性大吗？学生通过反思、审视摸球的结果，形成对“可能性”的科学的认知，即“球的个数多不代表被摸到的次数多”“球的个数多被摸到的可能性一定大”“摸球的总次数和摸球的可能性之间没有必然的关系”“每一次摸球都是一个独立的事件”等。在这个过程中，学生正确看待自己的动手“做数学”的过程，对探究数学有了科学的态度。如此，就能在学生的心灵深处播撒“求真”的种子，让学生养成“实事求是”的品格。

“做数学”不是单一的动手操作，而是融入了学生的数学学习情感、态度与价值观的活动。从某种意义上说，学生的数学学习情意、态度与价值观犹如一只“看不见的手”，始终牵引着学生的数学操作活动。“做中学”不仅是一种教学方式、策略，而且是一种教学思想、理念。“做中学”要求学生全身心投入数学学习活动中，实现对数学学习对象的具身认知。在这个过程中，教师能对学生塑品铸魂，从而充分彰显“做数学”活动的育人价值。

“做数学”活动是新时代背景下学生数学学习的重要方式，也是新时代背景下数学学科育人的创新实践。教师要引导学生充分经历“做数学”活动过程，丰富学生的数学表征方式，让学生触及数学学科知识本质。教师要通过“做数学”活动让学生经历体验、发现、想象、推理、概括、应用等过程，掌握数学知识、形成数学技能、感悟数学思想与方法，在创造中学会感悟、鉴赏，以此启迪学生的心智、激荡学生的情感、塑造学生的品格。

作者简介：闫琴（1981—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作。