小学数学“运算教学”存在问题以及改进策略

[摘  要] 在小学数学“数的运算”教学中，教师要正“法则之理”、释“法则之义”、思“法则之微”、用“法则之道”，让学生深刻地理解法则、巧妙地表达法则、灵动地反思法则、智慧地运用法则。培养学生的运算能力，关键在于培养学生选择运算法则、运算律的策略。学生只有善于选择运算法则，才能有效提升“数的运算”能力，发展“数的运算”素养。

[关键词] 运算教学;改进策略;小学数学

当前小学数学“运算教学”存在的突出问题是部分教师只注重培养学生程序性的计算技能，而忽视“算理”以及运算策略的教学。什么是“运算能力”？运算能力不仅是“会运算”，更是“巧运算”“会解释”“会运用”（吴仲和语）。《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称新课标）将“运算能力”界定为：根据法则和运算律进行正确运算的能力。新课标一方面要求学生能根据法则进行运算，另一方面要求学生能根据运算律进行运算。对于运算法则、运算律，教师不应机械地理解为识记教材中的运算法则、运算律，而更应理解为“根据数据特征选择运算法则、运算律进行计算”。因此，培养学生的运算能力，关键在于培养学生选择运算法则、运算律的策略。

一、正“法则之理”，让学生深刻理解法则

法则是运算的方法，具有可操作性。由于法则的这一特质，部分教师在运算教学中过度注重法则的陈述性内容、程序性过程，忽略了法则应用的巧妙性、策略性。这样的教学导致学生在计算过程中对不能简算的算式“乱简算”，对于能简算的算式“不简算”。为此，在运算教学中，教师不仅要引导学生建构算法法则，还要引导学生认识、理解、把握算法产生的根源、必然性、合理性，洞察算法背后的算理等。

以“两位数乘两位数”的教学为例，教材呈现了一个场景：幼儿园购进12箱南瓜，每箱24个，一共多少个？此题的计算通常有两种策略：一是先算2箱有多少个南瓜，再算6个2箱有多少个南瓜，也就是算12箱有多少个南瓜;二是先算10箱有多少个南瓜，再算2箱有多少个南瓜，最后算12箱有多少个南瓜。部分教师虽然利用情境图进行了情境解释，但是在切入“两位数乘两位数”的竖式计算时太快，没有引导学生充分经历“两位数乘两位数”的探索过程。因此，教师在教学“策略一”时应总结提炼“拆积”的策略，并发散学生的思维：还可以怎样拆积？如此，学生就会将“12×24”拆成“24×3×4”“12×4×6”“12×3×8”等;教学“策略二”时，教师应总结提炼“拆和”的策略，并发散学生的思维：还可以怎样拆和？如此，学生就会将“12×24”拆成“24×3+24×9”“24×4+24×8”等。然后，教师要引导学生比较“拆积”与“拆和”，让学生认识到同样是“拆”，要最简便才好。此外，教师还可以通过引入“点子图”助推学生对“拆积”“拆和”的认识、理解。

在此基础上，教师引导学生计算“23×17”，让学生认识、体验“拆积”策略的局限性、“拆和”策略的普适性。当学生认识“拆和”方法的普适性特质之后，教师再将“两位数乘两位数”写成“竖式计算”形式，使他们理解“两位数乘两位数法则”背后的算理。其中，学生对于“两位数乘两位数”竖式计算中的每一步，都能有清晰的认知：这一步计算的是几箱南瓜？一共计算了多少个？这样的“两位数乘两位数”法则的计算教学，让学生的计算步步有据，并让学生灵活、智慧地根据法则进行计算。

正“法则之理”是让计算法则背后的算理“立”起来，让“算理”得到真正的凸显。在引导学生运算的过程中，教师不仅要让学生的运算“有法可依”，更要让学生的运算“有根可寻”。教师要从法则背后的算理入手，让学生理解运算法则“如此这般”的必然性，使运算法则深深扎根于学生的心灵。学生只有深刻地理解法则，才能智慧地应用法则。

二、释“法则之义”，让学生巧妙地表达法则

培养学生的运算能力，教师不仅要引导学生建构、创造法则，还要引导学生解释算法法则的精义。巧妙智慧地表达算法法则是学生算法法则内化的确证与表征：一方面，教师要引导学生将运算法则、定律与生活相结合，用现实原型来解释算法模型;另一方面，教师要引导学生将运算法则、定律等与图形结合，充分发挥“数形结合”的思想，用图形来释数、释算。正如数学教育家华罗庚所说：“数形结合百般好，隔离分家万事休。”

比如，在教学“减法的性质”时，对于“a-b-c=a-（b+c）”以及“a-（b-c）=a-b+c”，教师要鼓励学生以各种方式对法则、算律进行“属己”诠释。比如在诠释“a-b-c=a-（b+c）”这一“减法的性质”时，有的学生借助小棒操作诠释，即“从a根小棒中先拿掉b根，再拿掉c根，就相当于将b根小棒和c根小棒直接捆起来一起拿走”;有的学生借助画图诠释;有的学生借助生活事理来诠释，“先吃掉b个，再吃掉c个，就相当于一共吃了（b+c）个”。在诠释“a-（b-c）=a-b+c”这一“减法的性质”时，学生用生活事理来诠释：一个人有a元，付了b元，营业员找回c元，这个人事实上付了（b-c）元，还剩下“a-（b-c）”元。学生用这样的生活事理来解释，让相关的运算法则、定律、性质等融入其日常生活情境之中，从而让抽象的、符号化的法则、定律、性质等得到生动、直观、形象的诠释。在运算教学中，教师要创建一个“解释场”“表达场”，让学生对算理、算法的解释呈现出来，促进学生深刻理解算理、算法。如果教师赋予抽象化、符号化的运算定律、法则以直观化、形象化的意义，就能让纯粹的运算变得鲜活起来。教师要注重挖掘运算法则、定律背后的生活原型、生活背景、生活事理等，以便让学生借助这些生活原型、背景、事理等来理解算法的要义、精义。

释“法则之义”，让学生巧妙地表达法则，不仅能让学生获得“学业智力”，而且能让学生获得“工作智力”;不仅能发展学生的“学业思维”，而且能发展学生的“实践思维”。在运算教学中，教师不仅要引导学生“算”，更要引导学生“运”;教师要将“运算”放置在二维体系中，让学生智慧地、深刻地“运”，进而让学生灵巧地、智慧地“算”。实践证明，学生“运”的能力越强，“算”的方法就越巧。

三、思“法则之微”，让学生灵动地反思法则

在改进小学数学“运算教学”的过程中，教师要引导学生反思法则。反思不仅指运算之后的“后思”，还包括运算过程中的审视、思考。对法则的反思，一方面是让学生体认法则的合理性、必然性，另一方面是让学生反思法则的精微性、精妙性。教师可以引导学生比较、辨析、反思、审视运算的方法、法则等，帮助学生积累丰富的“数的运算”经验，生成“数的运算”智慧;帮助学生养成一丝不苟、严谨求实的数学精神，发展“数的运算”观念，提升“数的运算”能力，培养“数的运算”素养。

以教学“十几减9”为例，教材呈现了一个对话情境图：一共有13个桃子，小猴子购买了9个桃子，还剩几个桃子？探究时，教师可以引导学生操作，让学生经历从“实物操作”到“表象操作”再到“符号操作”的过程。学生先用小棒代替桃子，通过摆弄小棒建构、创造“破十法”“平十法”等;然后，反思操作过程，进行表象建构，积累表象操作经验;最后，结合具体的算式进行符号操作，从而理解多样化的算法，如“13-9=13-3-6”“13-9=10-9+3”“13-9=13-10+1”“9+4=13，13-9=4”等。多样化的算法能激发学生的运算思维，让学生形成“简算”意识。在此基础上，教师引导学生学习“十几减8”“十几减7”等便水到渠成。在反思过程中，学生能不断比较算法、选择算法、改进算法、优化算法等。比如，有的学生发现“平十法”计算比较巧妙，“破十法”计算比较普遍，“算减想加法”计算比较快捷，“凑十法”计算比较智慧等。在反思过程中，学生会积极主动地对算法进行评价，从而深刻感受、体验“法则特征”，对各种“算法”的优势、劣势都有所认知。学生通过反思运算法则，运算经验得以巩固，运算智慧得以生长，运算品质得以提升。

对运算过程的反思，不仅指向学生对运算法则、定律的理解、掌握，还指向学生运算质量、运算品质的提升。在“数的运算”教学中，教师既要引导学生经历运算法则、定律的诞生过程，又要引导学生反思运算法则、定律的诞生过程。经历有助于学生积累、积淀运算法则、定律的探索经验，而反思则有助于学生积累、积淀运算法则、定律的理解经验、解释经验、表达经验。实践证明，反思是学生积累运算经验的重要过程，也是学生生成运算智慧的重要方式。

四、用“法则之道”，让学生智慧地运用法则

在学生深刻理解法则的基础上，教师要引导学生熟谙法则的“运用之道”，让学生智慧地、巧妙地、灵活地应用法则。在教学中，教师要唤醒学生的“简算”意识，让学生在运算过程中“想偷懒”“会偷懒”“智慧地偷懒”。算式的简算策略不是唯一的，而是多样化的，因此，教师要引导学生比较简算的策略，让学生的简算策略在多样化的基础上“最优化”。此外，教师要培养学生简便运算的证据意识、反思意识，让学生能在运算过程中自我发问：我这样算对吗？我这样算巧吗？还有比这样的运算更简便的策略吗？通过自我发问，学生会不断增强运算中自我察觉、自我调节、自我监控的能力。从“元认知”理论视角来看，这就是培养学生运算的元认知意识，提升学生运算的元认知技能的过程。

比如“小数乘法”的一道习题36×0.25，学生呈现了多种简算方法：“30×0.25+6×0.25”“40×0.25-4×0.25”“9×4×0.25”“（36÷4）×（0.25×4）”等。教师要引导学生比较算法、辨析算法、筛选算法、优化算法，比如“算法一”和“算法二”采用了“乘法分配律”，“算法三”采用了“乘法结合律”，“算法四”根据“积的变化规律”进行运算。学生通过比较、思辨算法，能认识、领会算法中蕴含的算理、算序、算律，并在运用运算法则、定律的时候做到“最优化”。当然，在这个过程中，教师要收集学生的错误算法，并将典型的错误算法呈现出来，引导学生剖析错误成因。比如，有的学生这样计算：“4×9×0.25=4×0.25+9×0.25”，这是混淆了“乘法分配律”和“乘法结合律”的典型表现。在教学中，教师还可以引导学生对各种算法进行评价，让学生选择自己喜欢的方法。比如，有的学生喜欢“（36÷4）×（0.25×4）”是因为比较巧妙;有的学生喜欢“（36÷4）×（0.25×4）”可以直接“化除为乘”，即36×0.25就表示36的四分之一，将36平均分成4份，因此“36×0.25=36÷4”。在运算教学中，教师要引导学生评价算法、鉴赏算法，让学生能深刻理解算法、巧妙应用算法。

教师要引导学生用“法则之道”，让学生在运算过程中遵循正确、简便、灵活、巧妙之道，让学生在运算过程中自觉反思，对运算过程进行审视、对运算结果进行检验，让学生树立求简意识、质疑意识、辨析意识。

学生“数的运算”能力、素养的培养是一个过程。教师要引导学生经历运算法则、定律的建构过程、表达过程、反思过程和应用过程。只有经历运算法则、定律的建构、表达、反思和应用过程，学生才能积累相关的“数的运算”的基本活动经验，才能逐步形成科学的“数的运算”的意识，才能感受、体验到“数的运算”在解决问题中的关键作用、功能，有效提升“数的运算”能力，发展“数的运算”素养。

作者简介：王敏（1991—），本科学历，中小学二级教师，从事小学数学教学工作。