基于“代表”，理解平均数统计意义

基金项目：2021年度广东省教育科学规划课题“小学‘深趣数学’教学研究”（2021YQJK113），2021年度广东省中小学教师培训中心科研课题“基于理解的小学数学教学表现性评价实践研究”（GDSP-2021-C007）。

作者简介：刘贤虎（1975—），本科学历，正高级教师，广东省东莞松山湖中心小学副校长，广东省特级教师，广东省名教师工作室主持人，曾获2021年广东省教育教学成果二等奖（基础教育）。

［摘  要］ 平均数作为重要的代表量，主要用来刻画一组数据的集中程度，表达总体的集中状况。如何体现平均数的代表性，教师要根据核心目标重新设计教学课时与教学任务，以促进学生理解与掌握。

［关键词］ 平均数；代表量；代表；统计意义

一、课前分析

人教版小学数学教材“平均数”安排了两道例题，其中例1是借助平均分的意义来理解平均数不是指每个学生实际收集的矿泉水瓶数量，而是指“假设”四个学生收集的瓶子同样多，从而算出平均每人收集的矿泉水瓶数量。例2是让学生通过比较人数不同时各队的成绩，发现用平均数表示各队的成绩更合适，进一步体会平均数的意义。显然，教材先入为主，直接把平均数这个概念塞给学生，没有让学生经历探索发现的过程，导致学生不能较好地理解平均数的“代表”作用，而“代表”是平均数最基本的特性。

如何凸显平均数的代表作用，让平均数的教学指向代表量的统计意义，笔者进行了初步的探索，将平均数的教学分为两个课时：第一课时教学“代表量和平均数”，让学生认识代表量和平均数，经历一组数据的表征和理解，知道平均数、最高分、总分等可以代表一组数据的水平，初步理解平均数可以刻画一组数据的集中趋势，反映一组数据的整体水平，发展数据意识；第二课时教学“平均数的再认识”，让学生理解平均数的意义、感悟平均数的特性。

二、教学实践

1. 情境导入，问题引发

师：如图1，大家看过这张图片吗？谁知道图片里的信息？

生1：这是在北京冬奥会比赛的场景。

师：是的，这是2022年在我国举行的冬奥会上，苏翊鸣参加单板滑雪男子大跳台决赛时的精彩瞬间。让我们一起重温苏翊鸣夺金时激动人心的精彩瞬间。（播放单板滑雪男子大跳台决赛视频）

师：比赛中怎么判断谁是冠军？

生2：裁判打分，谁得分高谁就是冠军。

教学意图：重现苏翊鸣冬奥会夺冠的真实情境，激发学生的学习兴趣。

2. 问题探究，理解概念

（1）知道数据，理解数据

活动1：2022年2月15日，在北京冬奥会单板滑雪男子大跳台决赛中，苏翊鸣的第二跳，四名裁判打分如下：93，93，94，92。

师：观察裁判给出的四个分数，你知道了什么？

生1：四个分数都高于90。

生2：它们的平均分是93。

生3：成绩在92到94之间。最高分是94，最低分是92……

师：你能画出这四个分数吗？怎样画能让人一眼就能看清楚？

学生尝试表征和进行交流。

师：如图2，这几幅作品大家能看懂吗？

生4：图2中①号、③号、④号都是条形统计图，②号是统计表，⑤号是数线图。

生5：图2中①号和③号有一点不同，一个是从0开始，一个是从90开始。

师：大家想到了画象形统计图、条形统计图、数线图等，它们都能直观呈现这四个分数。画条形统计图时可以从90开始，这样比较清楚，方便比较。

师：你们觉得苏翊鸣这一跳的成绩用多少表示合适？说说你的理由是什么？

生6：因为93出现了两次，出现的次数最多，所以我选93。

生7：因为93不是最多的，也不是最少的，在中间，所以可以用93表示苏翊鸣的成绩。

生8：我认为应该用最高分94来表示苏翊鸣的成绩。

生9：我认为可以用最低分92来表示他的成绩。

生10：应该是用总分来表示成绩。

师：大家各有各的理由。如果在③号条形统计图上，画一条水平线表示这一跳的成绩，应该画在哪里？

生11：我认为要画在94那里，因为这个分数最高。

生12：94这个分数太高，其他三个数都达不到。应该和93对齐，把94移一个给92，它们都变成93了。

师：你说的93是怎么来的？和其中两个裁判打的93是一回事吗？

生13：这个93是把多的匀给少的得到的，是四个裁判的平均分。两个93是裁判打的实际分数，是不一样的。

师：这条线表示的93就是这四个分数的平均数。平均数是怎么得到的？

生14：把多的匀一点给少的。

师：其实刚才大家说的把多的匀一点给少的，让几个数变得同样多，就可以得到平均数，这种方法我们可以称之为“移多补少”。还可以怎么得到平均数？

生15：把这四个数加起来，再除以4。

师：一起来看，94是四个数中最大的一个，92是最小的一个，93是出现两次的数，它们都是指四个数中的一个、两个，都是与其中一部分有关。刚才我们画的这条线，表示的93是和四个数都有关联，集中了四个裁判的意见，是四个分数整体水平的体现。

教学意图：发展学生数据意识应首先理解每一个数据，比如看这几个数据分别表示多少、在哪个范围、最大值是多少等，并进行描述和表征；然后，基于对数据的认识与表征，进一步思考在理解数据的基础之上，如何选一个数来代表这一组数据，尝试数据表达。

（2）认识代表量，了解平均数

活动2：苏翊鸣第一跳的成绩是89，89，90，90，成绩用多少表示合适？

师：这一跳的成绩应该用多少表示合适？同桌讨论。

生1：我觉得用89不合适，用90好像也不合适。

生2：可不可以用89.5？

师：你是怎么想的？

生2：从90里拿出0.5给89，这样这四个分数都变成89.5。89.5其实是它们的平均数。

生3：如果画出条形统计图，平均数画线的地方就是89.5，也就是90拿出0.5给89。

师：你是把多的匀给少的，得到平均数。还可以怎样得到平均数？大家为什么都选择用平均数表示这一跳的成绩？

生4：还可以把四个分数相加，再除以4。

生5：因为平均数89.5能表示它们的整体水平，和这四个分数都有关联。

师：回顾一下我们是怎样得出两跳的平均成绩的？

生6：把多的匀给少的，就是移多补少。

生7：还可以把这四个分数加起来，再除以4，也能得到平均数。

师：我们可以计算，也可以用移多补少的方法得出平均成绩。我们一起看看，裁判是不是用这两个平均数来表示苏翊鸣的成绩？（出示比赛现场分数）

教学意图：第一跳的平均数和这组数据的数字都不一样，需要通过移多补少找出来。学生再一次感受平均数是刻画一组数据的集中程度和表达总体的集中状况。学生经过充分的体验活动进一步感悟平均数的代表作用。

（3）比较成绩，理解代表量

活动3：比较一下苏翊铭第一跳和第二跳，哪一跳成绩更好，为什么？

生1：肯定第二跳好，第二跳的最低分都比第一跳的最高分高。

生2：第二跳总分比第一跳高。

生3：因为第二跳用数字93表示，第一跳用数字89.5表示。所以用这两个数字比较就可以了。

师：如果把这些方法分成两类，你会怎么分？

生4：一个一个地比分一类，其他的最高分、最低分、总分、平均数分一类。

师：为什么会这样分？

生5：一个一个地比，比较了全部的数，而另一类只比较一个数。

师：也就是说这一类是用一个数表示了一组数，再进行比较，你的思维真清晰！裁判打了这么多的分数，为什么只用比一个数就可以了？

生6：因为这一个数就能代表裁判的四个分数。

师：代表这个词表达真准确。当一个数能代表一组数，那么我们就称这个数为代表量。比较这两跳的两组数据，原来我们是一个一个的去比，现在发现可以直接比较平均数、最高分、最低分或者总分，这些都是代表量。

师：你们认为用哪个代表量比较更合适？

生7：用平均数更合适。如果两组数据比较接近，一个一个地比，可能有的高一些，有的低一些，这样就比较麻烦。

生8：还有可能虽然最高分高一些，但是整体水平要低一些。因此比较平均数更合适。

师：比较两组数据时，可以选择不同的代表量。要表示一组数据的整体水平，平均数是很好的选择。因为平均数作为一种代表量，可以很好地代表一组数据的总体水平。

教学意图：学生通过辨析，发现两组数据相差较大时，有多种比法；如果数据比较接近，平均数较为合适。

（4）感悟代表性和虚拟性

活动4：观察苏翊鸣这两跳裁判的打分及这两跳的平均数，你有什么发现，还有什么疑问？

生1：为什么第二跳的平均分和其中的两个分数一样，而第一跳的平均分和所有的分数都不一样？

师：先看第二跳，第二跳的平均分93和两个裁判的93分意思一样吗？

生2：不一样，裁判的93分只是其中一人打的分数，而平均成绩93是算出四个裁判的总和再除以4得出来的。

师：也就是说平均成绩其实是表示了这一组数据的整体水平，而前面的93分只是其中某一个人或两个人的评分。苏翊鸣的第一跳89.5跟裁判的分数都不一样，合理吗？

生3：合理，因为这89.5是表示四位裁判打分的整体情况，跟他们的实际评分不一样是可以的。

师：因为平均数不是实际存在的数，所以平均数可能与这组数据中的数一样，也可能跟所有的数都不同。

教学意图：学生通过对比发现平均数可以代表一组数据的整体水平，不是真实存在的数据，初步感悟平均数具有代表性、虚拟性等特性。

3. 解决问题，学以致用

问题1：生活中、学习中哪里有平均数？

生答略。

问题2：学校运动会小军投掷实心球，两次的成绩分别是980cm、1020cm。他的最终成绩应该是多少？

生1：我认为用平均数代表最终成绩，（980+1020）÷2=1000。

生2：要用最好的成绩1020cm代表最终成绩。因为投掷实心球要取最好成绩，我参加过比赛，裁判老师说的。

问题3：歌唱大赛中，五位评委给小张打分：94，94，92，91，94，用多少代表小张的歌唱成绩合适？

生1：我认为要用平均数表示小张的歌唱成绩。

师：大家都同意吗，为什么？

生2：因为平均数可以表示一组数据的整体水平，可以代表这五个裁判打分的整体情况。

师：估一下这组分数的平均分大约是多少？

生3：92多一点。

生4：93。

师：为什么大家不估成是95或90？

生5：这里的分数最高是94，没有达到95，所以不可能是95。

生6：这里的最低分都是91，其他的分数都比91高，所以平均数肯定比91高。

生7：因为平均数是把多的匀给少的，所以肯定比最小的数要大一点，比最大的数要小一点。

师：大家善于思考，也善于表达。换一句话，平均数在哪两个数之间？