知识图谱在小学数学计算教学中的应用研究

作者简介：黄燕玲（1978—），本科学历，中小学一级教师，从事小学数学教学工作。

［摘  要］ 教育知识图谱可促进精准教学，增强学生对计算的理解，发展学生的数学核心素养。研究者从三个方面进行阐述：多层图谱归纳计算方法，多元图谱理解计算结构，多维图谱辐射计算范围。

［关键词］ 知识图谱；计算；教学

知识图谱的概念应用范围广泛，尤其在教育领域应用广泛。教育知识图谱是指将学科知识作为研究对象，通过可视化的空间结构揭示知识的发展情况或学科间的联系。知识图谱一方面具有查找、获取、匹配、推送、共享知识的功能，另一方面还具有智能工具化特征。心理学家皮亚杰认为：所有的数学内容都可以基于结构化的角度来分析，结构的建构始终都是开放的。数学运算教学如何借助知识图谱辅助教学呢？笔者对此进行了多方面尝试。

一、多层图谱归纳计算方法

小学数学计算对学生而言比较抽象，在计算教学中教师要注重学生对相关的概念、命题或公式的理解，促使学生自主从程序化的操作逐渐迈向理解性的应用，获得灵活计算的自觉性。实践证明，计算的理解和应用是从学生已有经验出发，与学生产生思维碰撞，直至形成结构化的理解，最终实现计算的迁移，建立知识的联系。

从计算的形成与发展过程和学生认知的发展规律出发，教师要引导学生建构线性发展的图谱。理解计算需要经历“初步理解—交流比较—获得计算方法—实际应用—理解算理—内化算法”等过程，但部分教师常常忽略学生的思维在可视化背景下前后思维的结构变化历程。为了让学生明确“这么算的原因是什么”时，教师常常采用图示法增进学生的理解，导致学生计算思维生长出现断层，无法全面理解运算的实际价值与意义。

鉴于此，关于计算方法的教学，教师要结合学生思维线性发展特征，逐层推进教学，促进学生的理解。具体过程为：①揭示学生初始思维；②类比、归纳获得算法；③揭示算法背后隐藏的算理；④突破思维定式，获得灵活运算意识；⑤借助算法发展史渗透数学文化。

案例1  “两位数乘法”的教学

以“18×12”的教学为例，结合学情与计算特征，教师可将教学分成四层图谱，逐层递进地实施。

第一层图谱：算法层面。

教师要求学生自由表征算法，并分析不同算法之间存在怎样的区别和联系。学生自主表达、交流、思考与总结，教师展示点阵图，鼓励学生在图上应用圈画的方法将自己的想法表达出来。

小结：学生将式子中的一个因数拆解为两数相加（减或乘），不论用哪种方法来计算，结论都一样。如图1，根据不同运算定理实施分类整理，可获得18×10+14×2或18×6×2，由此可明确不同计算方法背后算理之间存在的联系。

师：从17×11出发，分析用哪种方法来计算两位数相乘更便捷？

生1：将一个乘数拆分成整十数与另外一个数相加的情况，更适合作为两位数相乘的通用方法。

第二层图谱：算理层面。

师：如何用竖式形式表达两位数相乘的通用算法？

如图2，学生经自主尝试、分析与交流，将乘法竖式与点阵图结合在一起获得乘法竖式的基本计算方法。

第三层图谱：灵活应用。

竖式是两位数乘两位数的一般计算方法，但在实际解题时并不一定要列竖式，应结合乘数的特征灵活应用乘法运算。如图3，关于25×12就可转化为25×4×3，口算即可获得结论；37×19可转化为37×20-37。

第四层图谱：渗透数学文化。

如图4，将乘法运算与古意大利的格子乘法、中国古代的铺地锦以及古印度的画线法等有机地联系到一起进行比较分析，让学生对不同运算方法产生不同的体验。数学史的渗透一方面能提升学生的数学文化素养；另一方面能让学生感知人类的智慧与数学的魅力，提升学习信心。

四层图谱构成了两位数相乘的线性图，如图5所示，学生的思维经历“多样算法—通用算法—理解算理—灵活应用—发展数学文化”的过程。由此，学生明确了笔算乘法背后所蕴含的道理，从真正意义上增强了运算的灵活性。

教师结合学情与教材所编排的运算内容，采取多层图谱实施教学，不仅能增强学生的实践体验，让学生更好地理解算理，还能通过数学文化的渗透激活学生的内心体验，促进学生运算素养的发展。

二、多元图谱理解计算结构

不同表征间的灵活转换是数学理解的本质。教师要引导学生理解运算算理，让学生多元联结实物、算式、图形、符号等，构成网状结构的知识图谱，形成纵横交错、条理清晰的知识脉络。平面与立体图谱的形成，可进一步增强学生对算理的理解。

案例2  “乘法分配律”的教学

1. 横向联结不同表征形式

解释与说明乘法分配律的方法较多，但每种方法的论证方式与作用不一样。比如，不完全推理可用来进行算式验证，类比推理则适用于矩阵图或生活实例方面的运算，演绎推理适用于解释乘法算理。各种方法都可用来解释与说明乘法分配律，但每种方法又存在自身的局限性与片面性。教师应将这些不同的表征方式罗列到一起，形成结构完整的多元图谱，将各种表征间的优势联合起来形成一个有机的整体（见图6）。

2. 纵向联结知识发展过程

教师将与乘法分配律相关的知识按照前后发展历程构建脉络图——“两位数乘一位数、多位数乘一位数、两位数乘两位数”，再将前后知识间的联系建成图谱，可让学生从纵向的角度理解乘法分配律。

3. 运算律之间的区别

教师将容易和乘法分配律混淆的乘法结合律进行类比分析，比如2×3×4与2×（3+4），引导学生借助对应的图形表象来分析这两个式子的表征的方式，促使学生从真正意义上理解乘法结合律：即若干个相同长方形的总面积，而乘法分配律则为两个宽相等的长方形面积的和（见图7）。

4. 辨析正误

教师比较学生在解题过程中容易发生的错误点，如25×（40+8）×125可以通过图形表征的方式促使学生明确为什么25×（40+8）×125=25×40×125+25×8×125（见图8）；若表示为25×40+125×8，那么25×40可借助图式表达，但125×8却不行（见图9）。

这是基于系统化的逻辑关系而实施的教学，乘法分配律不同表征形式的网状结构、知识的纵向发展结构、各种运算律之间的区别以及正误辨析等图谱的应用，促进了乘法分配律知识的建构，让学生从真正意义上理解什么是乘法分配律。学生对乘法分配律做到了“知其然且知其所以然”，实际应用时则得心应手，而非简单、机械地模仿。

综上分析，多元图谱的应用一方面强化了学生的类比思想，让学生深入理解了知识间的纵横联系，另一方面拔高了学生的数学思维，发展了学生的数学核心素养。

三、多维图谱辐射计算范围

学生想要从真正意义上掌握知识的本质，最好的办法就是在不同的场景中灵活应用该知识。教师要引导学生从不同的维度来表征所学内容，让学生从更深层次理解这部分内容，使知识的辐射更广泛。调查发现，学生对于计算的场景意识不强，不少学生处于纯粹计算的状态。学生想要创造性地应用计算，则需通过多维谱图统筹计算与其他知识的联系，确保深度学习的发生。实际操作时，教师可为学生提供丰富的情境，让学生的思维超越单纯计算的范畴，提升到发展运算素养的境界。

案例3  “等差数列求和”的教学

教师若直接展示公式“（首项+尾项）×项数÷2”，会使学生无法理解该公式的本质，而提供丰富的场景则能促进学生思维的发展。

1. 求和

如图10，计算“3+5+7+9+11+13”，可从梯形面积公式着手，分析待求式子与梯形面积公式之间存在的联系。学生结合梯形面积公式的推导过程，借助数形结合思想深化对等差数列求和的认识，使自己的思维在此过程中实现从有限到无限的转变。

2. 求项数

教师利用“植树”问题引导学生认识求等差数列的项数，实则为求植树类问题中的棵数。若求解数列“3+5+7+…+13”存在几个数，就是求“从第3m开始种树，每隔2m种一棵，一直种到第13m时（两端均种树），一共种了几棵树”的问题。

3. 拓展

教师将等差数列与数角、数长方形或数线段类问题联系到一起，通过对等差数列求和应用场景的增加，深化学生对这一类计算的理解。如图10所提出的问题，仅需计算出等差数列“1+2+3+4+5+6”的和，即可解决问题。

教师将等差数列求和、植树、梯形面积、数图形等不同分数的问题罗列到一起进行计算教学，有效拓宽了学生的视野，增强了课堂的场域，丰富了计算的场景，让学生的思维在多元图谱中联结，有效提升了教学成效。

如图11，探索“比的应用”问题时，教师可引导学生将教学内容与生活实际中的行程问题以及图形知识等联系到一起，让学生感知比的应用场景的广泛性。

总之，知识图谱实现了计算的层级关系、互联互通以及应用辐射情况的可视化，体现了计算教学的新范式。新课改背景下，这是一种值得探索与研究的方向。学生通过知识图谱的描绘与阅读，不仅对知识间的联系有了更进一步的认识，还建构了计算的理解模型，发展了运算素养。