精准把握学情，深究概念教学

［摘  要］ 为了精准把握学情，探究概念教学，文章以“因数和倍数”教学为例，设计了五个环节的教学：基于学情，建构倍数的概念；自主探究，发现倍数的奥秘；顺学而教，建构因数的概念；自主探究，发现因数的奥秘；巩固练习，后测学生掌握情况，让学生在具体的乘法和除法算式计算中理解因数和倍数的概念。

［关键词］ 因数和倍数；概念教学；学情分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生通过简单的归纳或类比，猜想或发现一些初步的结论；通过法则运用，体验数学从一般到特殊的论证过程，从而发展学生的推理能力。“因数和倍数”一课让学生在猜想和验证中认识因数和倍数，学会在1～100的自然数中有序找出10以内某个数的所有倍数，以及100以内某个数的所有因数，为后续利用倍数的知识探索2、5和3的倍数特征、公倍数和最小公倍数，以及利用因数的知识探索分解质因数、公倍数和最小公倍数做好铺垫。

一、课堂实录

1. 基于学情，建构倍数的概念

师：（出示倍数的前测单）同学们，昨天我们已经完成了这份前测单，题目是：你知道什么是倍数吗？画一画或举例说明。老师把大家的前测单做了整理，主要有四种观点：（1）倍数就是一组数里最大的数，比如2、6、10这三个数中，10是倍数；（2）倍数就是“谁是谁的几倍”，比如红花有2朵、绿花有12朵，绿花的朵数是红花的6倍；（3）倍数是乘法中的积，比如8×7=56，56是倍数；（4）倍数就是除法中的被除数，比如24÷3=8，24是倍数；24÷4=6，24是倍数；24÷6=4，24是倍数；24÷8=3，24是倍数；24÷5=4.8，24是倍数。对于这四种观点，你有什么想说的？先独立思考，然后在4人小组里说说自己的想法。

生1：我认为第一个观点是错误的，倍数不一定是一组数里最大的数，比如12是12的倍数，它们是相同的；而且我们不能说“10就是倍数”，要说成“谁是谁的倍数”。

生2：我认为第二个观点是错误的，这里的倍数不是我们学过的“倍的认识”，所以也不是“谁是谁的几倍”。

生3：我认为第三个观点是错误的，倍数不是单独存在的，是两个数之间存在的一种关系，应该说成“谁是谁的倍数”。

生4：我认为第四个观点是错误的，这个观点和第三个观点错误的原因是一样的，应该说成“谁是谁的倍数”。

生5：我有补充，我认为第四个观点中24÷5=4.8这样的小数是不可以的，我们是在不是0的自然数范围内研究倍数的。

师：既然这四种观点都是错误的，你们能说说什么是倍数吗？请你们把这四种观点改一改。

生5：第一个观点改成“谁是谁的倍数”，第二个观点改成“倍数和几倍不一样”，第三个观点改成“积是两个乘数的倍数”，第四个观点改成“被除数是除数和商的倍数”。

设计意图：教育家苏霍姆林斯基说，一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。教师在教学中要“以学定教”，先了解学生“在哪里”，再去设计课堂的教学活动。在这个环节中，教师由学生的前测结果引出认识倍数的教学内容，组织学生在辨析四种观点中用自己的语言描述倍数的概念。

2. 自主探究，发现倍数的奥秘

教师出示任务：

（1）写一写，请写出2、3、4、5、6这5个数的所有倍数；（2）标一标，在数轴上标出2、3、4、5、6这5个数的所有倍数；（3）想一想，你是怎么找出所有倍数的？

生6：2的倍数有2，4，6，8，10，12，14，16，18……；3的倍数有3，6，9，12，15，18，21，24……；4的倍数有4，8，12，16，20，24……；5的倍数有5，10，15，20，25，30……；我们可以根据这个数的乘法口诀来找出它的倍数。

师：同学们，我们来观察2的倍数，你们发现了2的倍数有什么特征？

生7：我发现2的倍数都是2的乘法口诀里的数。

生8：属于2的倍数的数的个位都是0，2，4，6，8。我还发现2的倍数都是偶数，不是2的倍数的数都是奇数。

师：我们再来观察5的倍数，你们发现了5的倍数有什么特征？

生9：5的倍数都是5的乘法口诀里的数。5的倍数的个位是0或者5。

师：请你们观察这些数的倍数，你们知道倍数的个数有多少吗？最小的倍数是什么？最大的倍数是什么？

生10：倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

设计意图：在这个环节中，为了帮助学生应用倍数的概念发现倍数的奥秘，教师巧妙地设计了一个大任务：首先，让学生找出这些数的倍数，并让学生在列举这些数的倍数过程中探究求一个数的倍数的方法，使他们发现找2的倍数就是2和某一个数相乘所得的积就是2的倍数，或者把2依次与1、2、3……等数相乘，再按从小到大的顺序排列起来；其次，让学生发现2和5的倍数特征并认识偶数和奇数，使学生在观察2和5的倍数中建立初步的感性认知，在比较、分析和归纳中得出2和5的倍数特征；最后，让学生发现一个数的倍数的基本特征：倍数的个数有无限个，最小是它本身，没有最大的倍数。

3. 顺学而教，建构因数的概念

师：（出示倍数的前测单）同学们，刚才我们跟随前测单研究了什么是倍数，接下来我们用同样的方法研究什么是因数。你能把刚才倍数前测单里的数学信息改成与因数有关的数学信息吗？先独立思考，然后在4人小组里说说你的想法。

生11：第一个观点，2、6、10这三个数中，2是6的因数，2是10的因数。第二个观点，2和6是12的因数。第三个观点，7和8是56的因数。第四个观点，24÷3=8，3和8是24的因数；24÷4=6，4和6是24的因数；24÷6=4，4和6是24的因数；24÷8=3，3和8是24的因数。

师：你们能说说什么是因数吗？

生12：倍数和因数是一起出现的，乘数是积的因数，除数和商是被除数的因数。

师：看来在乘法或者除法算式中，都存在倍数和因数的关系，它们是成对出现的。

设计意图：结合倍数的前测单，教师引导学生发现蕴含其中的因数，把倍数关系改写成因数关系。这时，学生发现倍数和因数是成对出现的，乘数是积的因数，除数和商是被除数的因数，从而帮助他们建立因数的概念，沟通因数和倍数之间的联系。

4. 自主探究，发现因数的奥秘

教师出示任务：

（1）写一写，请你写出3、9、18、19这四个数的所有因数；（2）想一想，你是怎么找出所有因数的？（3）找一找，倍数和因数之间有什么联系？

生13：因为1×3=3，所以3的因数有1，3；因为1×9=9，3×3=9，所以9的因数有1，9，3，3；因为1×18=18，2×9=18，3×6=18，所以18的因数有1， 18，2，9，3，6；因为1×19=19，所以19的因数有1和19。

生14：我有补充，我认为1×9=9，3×3=9，虽然这里有两个3，但是我们写因数的时候只要写一个3就可以了。所以9的因数有1，9，3。

生15：我觉得我们写因数的时候要像写倍数一样，从小到大排列。比如9的因数有1，3，9；18的因数有1，2，3，6，9，18。

师：你们是怎么找出所有因数的？

生16：我们可以根据乘法口诀来找，也可以把这个数分别除以1、2、3……看被除数能不能除尽，如果能除尽就是它的因数。

师：你们知道倍数和因数之间有什么联系？

生17：倍数和因数是同时存在的，都是在非0自然数里。倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数它本身。

设计意图：在这个环节中，学生实现了学习方法和数学知识的迁移，他们将探究一个数的倍数应用到探究一个数的因数。学生在找一个数的因数过程中，第一步用乘法口诀思考哪两个数的乘积是某个数，所以这两个数都是某个数的因数；第二步在找因数中删除重复出现的数，做到既不重复又不遗漏。在学生找出这四个数的因数后，教师进一步引导学生思考倍数和因数之间的联系，深刻理解倍数和因数的含义。

5. 巩固练习，后测学生掌握情况

出示巩固练习题：

（1）把下面的乘法算式改写成除法算式，或把除法算式改写成乘法算式，再写出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数。

7×8=56；1×11=11；45÷9=5。

（2）①36的因数有（    ），其中最小的是（    ），最大的是（    ）。

我是这样想的：（    ）。

②8的倍数有（    ），其中最小的是（    ）。我是这样想的：（    ）。

（3）①2的倍数的特征是（    ），5的倍数的特征是（    ）。

②判断：18，40，36，15，5，19，哪些数是2或5的倍数？

设计意图：适量的练习题不仅有助于学生掌握因数和倍数的概念，还有助于教师了解学生的掌握情况。第（1）小题考查学生根据乘法或除法算式找倍数和因数关系；第（2）小题考查学生求一个数的因数的方法和求一个数的倍数的方法，并且知道最大和最小因数、最大和最小倍数分别是什么；第（3）小题考查学生是否了解2和5的倍数特征。

二、教学反思

“因数和倍数”这节课包括认识因数和倍数、求一个数的因数的方法、求一个数的倍数的方法以及2和5的倍数的特征。在教学过程中，教师打破了原来的课时内容，对本单元的教学内容进行了重新整合，使课堂教学活动更加顺畅。

1. 借助前测单，精准把握学情

前测单的目的是通过几道前测题了解学生的学情，便于教师有针对性地开展教学活动。本节课中教师设计了“什么是倍数”这道前测题，不仅能了解学生对倍数的已有知识经验，还作为教学资源呈现在这节数学课上，并组织学生围绕前测单中这四种观点开展深入讨论，让他们在辨析中建构倍数的概念。同时，教师利用修正后的这四种观点，引导学生将其改写成与因数有关的数学信息，帮助学生建构因数的概念，体会倍数和因数之间的内在联系。

2. 借助大任务，开展自主探究

大任务的设计减少了课堂中的一问一答，让学生在大空间中静悄悄地独立思考，在小组合作中发现知识的奥秘。本节课中为了帮助学生掌握求一个数的倍数的方法，教师设计了一个大任务，让学生在写一写中探究找倍数的方法，在标一标中感受倍数的基本特征，在想一想中归纳求一个数的倍数的方法。为了帮助学生掌握求一个数的因数的方法，教师同样设计了一个大任务，让学生在写一写中探究找因数的方法，在想一想中归纳求一个数的因数的方法，在找一找中寻找因数和倍数之间的关联。

3. 借助结构化，实现方法迁移

在小学数学教学中，教师要精心设计教学活动，帮助学生发展结构化思维。在“因数和倍数”这节课上，教师先分再合，即让学生先从比较熟悉的倍数的概念入手，帮助学生牢固建立倍数的概念；然后让学生将学习倍数的方法迁移到学习因数的过程中，帮助他们牢固建立因数的概念；最后让学生在认识因数和倍数中感悟倍数和因数属于关系概念，明白它们是成对出现的，既有联系又有区别。

综上所述，学情是课堂的指向标，为教师指明了教学的方向；也是课堂的探测仪，为教师设计教学活动提供了依据。因此，教师要用好学情这一教学资源，从学情出发寻找适合学生的学习路径，整合相关的因数和倍数的教学内容，让学生在大任务中经历数学知识和数学方法的学习，最终发展学生的推理能力。