数形结合：让数学学习真正发生

［摘  要］ 研究者以具体的教学实践为例，揭开数形结合辅助教学的“奥秘”，让学生的数学学习真正发生：以“形”助“数”，让算理有方向，让学习有“心向”；由“形”及“数”，探寻解题关键，拓展解题思路；以“形”促“数”，促进概念理解，让学生会建构。

［关键词］ 数形结合；数学学习；数学思维

大量实践表明，数形巧妙结合后与抽象思维相沟通，对提升小学生的数学思维和数学能力有非常重要的现实意义。事实上，数和形是紧密联系且不可分割的，数形结合彰显了代数与几何的精髓。几何的形象直观便于学生理解，代数的可操作性便于学生把握。基于此，新课改下的数学课堂，教师要认真研读教材，精准把握知识与方法间的联系，巧妙运用数形结合的方法指导教学，为学生打造多样化的教学模式，让学生思维“动”起来，让数学学习“活”起来。笔者结合具体教学实践，谈谈如何运用数形结合让学生的数学学习真正发生。

一、以“形”助“数”，让算理有方向，让学习有“心向”

想要数学学习具备有意义的“心向”，自然需要具备一定的先决条件。情感作为学习“心向”的核心成分可以让学习更深入、更有效。在计算教学中，算理作为难点需要教师特别关注。以“形”助“数”，对于抽象的算理教学来说十分有效，教师可以通过直观呈现让学生产生浓厚的兴趣，进而让算理有方向，让学生的学习具有“心向”。

案例1  连续进位加法

问题：笔算376+284。

师：我们一起来观察图1，这是一个方格图，看完图你们准备先算什么？（学生观察并思考）

生1：我会先计算零散的，将6个小方格和4个小方格加起来，结果是10个小方格，这样一来就可以在整十方格上再加上1个，即加上1个十。

师：很棒的想法，那还有单个的小方格剩余吗？

生1：没有了。

师：那是不是说明个位上的数应写0了？（学生连连点头）

师：那现在有多少个表示十的小方格呢？（学生观察并数了数）

生2：图1上有7个十和8个十，还有新加上的1个十，这样一共就有16个十。下一步可以将10个十转换为1个百，加在左边的整百方格上，这样一来，就剩下6个十了，所以十位上的数是6。

师：非常棒的思路，其他同学听懂了吗？明白了吗？

生（齐）：明白了！

师：下一步该做什么呢？

生3：下一步就是观察最左边的整百方格，图上有3个百和2个百，再加上新来的1个百，这样一共就有6个百，那么百位上的数就是6。最后再把结果写上去，即660。

师：根据你们所述的计算，我们得出了图2所示的算式。在计算中，我们运用到了什么？

生4：相同数位的数字相加，满十就需向前一数位进一。

用直观的形去辅助数，不仅让学生“知其然”，还让学生“知其所以然”。以上案例中，如果教师直接将计算本题的要点抛给学生，学生必定会困惑，且无法获得属于自己的算理。这里，教师巧妙地从“格子图”入手，将抽象的数和格子图联系起来，让学生产生积极的学习“心向”，直观感受计算的过程，参与到知识发现和形成的过程中去，在披荆斩棘中让问题迎刃而解，深化对算理的理解。

二、由“形”及“数”，探寻解题关键，拓展解题思路

小学生处于形象思维活跃的阶段，在推理运算性质时存在较大的问题，此时需要教师恰当运用数形结合，帮助学生突破这一难关，提升解题能力。从这一角度来看，在解题教学中，教师要适时引导学生去画、去涂、去做，用画图策略去整理问题，由“形”及“数”去探寻解决问题的关键，提升解题能力。

案例2  分数的初步认识

问题：妈妈从蛋糕店买回了1个蛋糕，妹妹吃掉了这个蛋糕的，哥哥吃了剩下的，妹妹认为哥哥吃得多，哥哥认为妹妹吃得多，你觉得妹妹和哥哥谁吃得多？

师：谁能列式解决本题？（学生读题后一脸茫然）

师：对同学们来说，这个问题的确有难度。那我们是不是可以借助一些方法，让它变得简单一点，谁有好办法？

生1：我们可以画个图来试一试？

师：非常好的建议，那你们就试一试吧。（学生拿出白纸尝试画图）

生2：如图3，我用一个圆形表示这个大蛋糕，妹妹吃掉了它的，那我就将这个圆均分为5份，先把其中的2份涂上颜色。剩下了3份，哥哥吃了剩下的，也就是3份中的2份，再涂上颜色。现在就可以比较了，结果清楚明了，妹妹和哥哥吃得一样多。

大量研究表明，学生的数学思维极少能主动发生，教师要做好“先行组织者”，提供好的方法和策略，让学生发现解决问题的好方法，并触动数学思维。以上案例中，如果教师只是抛出问题让学生去分析和表达数量关系，学生只会是“一头雾水”。这里，教师根据学生的认知水平和思维特征，引导他们去画图，用“形”的直观去表现“数”的抽象，使学生对问题的理解经历从“困顿”到“觉醒”的过程，最终走向“清楚领悟”。

三、以“形”促“数”，促进概念理解，让学生会建构

对理解能力、抽象能力和推理能力都比较薄弱的小学生而言，他们对抽象的数学概念理解起来有难度，这就给数学概念教学带来了阻碍。一些教师依旧沿袭死记硬背和生搬硬套的传统教学模式，让原本思维能力薄弱的学生在面对抽象概念时更加无所适从。为了提升概念教学的有效性和简便性，教师可以采用数形结合的方法，以具体化的形象将概念呈现给学生，引发学生的想象和思考，促进学生的理解和记忆，使其完成对概念内涵的体悟和解读，让数学概念学习轻松而深入。同时，学生在探索和建构概念的过程中能逐渐形成自身独特的想法和观点，从而加快抽象思维的形成和构建。

案例3  分数的意义

活动1：你认识吗？给你一个月饼，你能分出它的吗？

活动2：你能找出图4中圆的吗？

活动3：取出事先准备好的正方形纸片，用不同的方法呈现这张纸片的，比一比谁找到的方法多？

为了促进学生对数学概念、公式和规律的理解和认识，教学中教师要善用数形结合的思想，以“形”促“数”，鼓励学生手脑并用，促进表象的建立，以此帮助学生理解、掌握、巩固概念，促进概念的深度构建。以上案例中，教师设计了一系列的探究活动，让学生通过自己的实践操作去认识分数。学生在呈现时，无论如何折，本质不变，都是将这张纸片平均分为4份，取其中的1份。这里，学生在思考、操作和活动中不仅实现了对分数本质的理解，建构了属于自己的数学概念，还能实现思维的创新。

总之，数与形是不可分割的整体，教师要意识到数形结合思想的价值和意义，在课堂教学中巧妙利用这一教学手段，以“形”助“数”，由“形”及“数”，以“形”促“数”。数形交融能充分帮助学生厘清算理，掌握数学概念，学会科学的解题方法，让数学学习真实发生，并不断走向深入，提升数学思维水平和逻辑思维能力。