从发展抽象能力的视角研究函数图象的性质

［ 关键词 ］ ADDIE 模型；数学抽象；整体教学；反比例函数

数学抽象的目的是揭示事物的本质属性，洞察现象背后的结构与规律.在初中阶段培养抽象能力有助于学生把握事物的内涵，发展理性精神.函数是抽象的模型，教师要引导学生理解函数本质，以函数的图象为研究载体，积极渗透研究、学习函数的方法，发展学生的抽象能力，并激发学生的数学思维.笔者选择浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“反比例函数的图象和性质（2）”一课进行性质教学实践.

钟启泉教授在《学会单元设计》中提出整体教学设计一般遵循ADDIE模型，即分析、设计、开发、实施和评价五个步骤.这是根据课标、教材和学习者的特征与需求，综合考虑知识的学习要求、逻辑顺序和关系结构而提出的，能发展学生的核心素养，提升学生的关键能力.

分析、设计

1. 分析：学段、教材

分析是数学整体教学设计的初始环节，包括分析抽象能力在本学段的意义、教学内容中抽象能力的需求. 教师在充分了解学生的前提下，整体把握教学内容，以下对本环节的内容进行阐述.

（1） 抽象能力在中学阶段有重大意义

数学学科需求：史宁中教授认为核心素养中抽象、推理、建模是数学学习的三个关键能力.数学的抽象性反映出数学的本质特征，是形成理性思维的重要基础.

教师教学需求：数学是思维的体操，为提升学生数学抽象的核心素养，教师必须理顺思路，设计并提炼精准的学习活动，引导学生从感性认识到理性探究.

学生内在需求：学生学习数学需要抽象，只有不断积累用数学思维思考问题的经验，才能实现对数学知识和方法的深刻理解，从而为未来发展留下足够的空间.

（2） 本课时内容的学习需要抽象能力

反比例函数是学习一次函数后的拓展，图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，变化趋势由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，是学习函数一般方法和规律的再次强化，也是构建反比例函数模型的基础.本节课是反比例函数图象和性质的第二课时，需要学生从辨别到概括，能根据函数图象，分析与掌握反比例函数的性质，感悟数形结合思想；从概况到形式，学会用自然语言描述，用符号语言刻画.这是典型的数学抽象过程.

2. 设计：教学目标、重难点

学生已学过一次函数，以及反比例函数的定义、画图等知识，对函数的概念和研究函数的流程已有初步的活动经验和方法感悟.在此基础上，教师可引导学生进一步领悟函数的概念，顺其自然地探索反比例函数性质的发展过程，所以设计以下内容.

教学目标：

（1） 巩固反比例函数图象的性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性，并体会自变量取值范围对函数图象的影响.

（2） 掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决简单实际问题，增强应用意识，提高应用能力.

教学重点：通过分析反比例函数的图象来探究增减性，体会变化与对应、数形结合思想.

教学难点：因为小学反比例增减性知识的负迁移和函数图象的分支情况，让函数增减性的研究具有复杂性.

开发、实施

1.开发：数学背景的细分抽象数学整体教学设计的开发是一个细致的过程，应不断立足学情，围绕教学内容进行调整，包括开发教学情境、开发例题、开发教学过程等，以下阐述开发过程的内容.

（1） 一研增减性生成

类比一次函数增减性的抽象过程，分析反比例函数图象得出性质.初始设计先根据k 值的正负性将函数分为两类，对每类函数的比例系数k 赋予具体数值，以表格形式呈现出数的变化规律，自变量由小到大，感知函数值大小的变化情况，从而得出函数的增减性.增减性生成中，虽然能由特殊到一般来归纳性质，但x 的取值范围由一次函数的连续到反比例函数的间断，之前的函数学习存在一定的负迁移，因此在性质生成时分象限讨论会有一定的困难.

基于以上内容，考虑到对学生的抽象能力要求较高，所以教学时从引入环节进行铺垫，设计学生动手画图的环节，直观操作，类比一次函数，体会从左到右画图，自变量从小到大，观察图象的变化趋势，让抽象具体化，感受图象的本质，如图1所示.采用直观的方式，再次类比一次函数，并强调反比例函数自变量不为0的关键特征.这是突破反比例函数增减性分象限描述的关键.在上述过程中，学生不仅能将抽象的增减性更形象地呈现出来，还能亲身经历观察、比较、综合、抽象、概括的思维过程.

（2） 二研增减性表达

类比一次函数增减性抽象出反比例函数增减性后，学生发现新旧知识的联系，从而对知识进行延伸，建立起抽象的思维模式.后续在表达反比例函数增减性的过程中，笔者发现学生对范围描述存在较大的漏洞，有描述不全的，有描述不准确的，还有不大会描述的.针对以上现象，在设计性质描述的板书方面，笔者由直观图象抽象出文字表达，并对是否要抽象出符号语言描述进行了多次权衡，即单纯用文字来描述，结合数学符号全面描述，或两者兼顾.

经过实践，笔者认为适度的抽象更有利于学生发展数学思维，等学生掌握初步能力后再逐级抽象，最后会形成符号抽象.分象限讨论时笔者引入x>0和x<0来区分不同象限，但部分学生平面直角坐标系的学习不扎实，需要从数轴过渡到平面直角坐标系来寻找符合条件的范围和图象.因此全面板书不同情况的符号语言，会增加学生的学习难度.于是笔者各取一个象限来表达，让学生初步感受用符号语言来描述增减性，如图2所示.学生虽不能在本节课中完全掌握，但能加深印象.学生通过点坐标的变化规律，初步转化为不等式的表达.在问题驱动的整体探究过程中，学生学会用图形语言、文字语言、符号语言来描述反比例函数的增减性.

（3） 三研增减性运用

增减性的运用实际上就是一种抽象，把数的大小比较抽象成函数的增减性.初始设计力求面面俱到，设计了两个点到三个点的函数值大小比较、变量的取值范围求解等，内容较繁杂，导致课堂时间拖沓，没有择优运用，后续环节无法完成，不够完整.

重新调整教学内容，精选应用问题如图3. 求解变量的取值范围时，笔者先降低难度，展示函数图象，学生直观地观察函数的取值范围，让数学抽象直观化、可操作化.在求解过程中，笔者引导学生发现这看似是不等式问题，实际上是函数问题. 明确具体思考步骤，由一个变量的范围，对应到数轴上符合要求的部分，再对应平面直角坐标系中的图象，并投射到对应变量的数轴上，求出取值范围. 这使得增减性和图象法的使用有直观的比较.在变式训练中， 笔者改变问题条件，而实质不变，让函数内涵更全面地显露出来. 这样寻找问题本质的过程实际上就是抽象的过程.

经过一系列教学设计的开发调整后，学生感受到了两种方法的不同，对他们具有一定的冲击性.统计学生解决此类问题的方法选择，数据有明显改观.聚焦从图象法来应用反比例函数增减性这一重点，教学难点也有一定的突破.在取值范围求解中，学生体验到了图象法在特定情况下的优越性，选择图象法的人数明显增加.

2.实施：实际问题的逐级抽象

经历数学背景中增减性生成、表达、应用的过程，最后回到实际运用.由于例题难度较高，笔者多次授课后反思，对实施阶段进行优化，即采用逐步抽象的方式，引导学生逐级抽象，反思总结抽象的要素，最后促进学生形成抽象思维.

例题 从A 市到B 市火车的行驶路程为120 千米，假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t 小时，速度为v 千米/时，且速度限定为最高160千米/时.

（1） 一问初步抽象模型

问1 求v 关于t 的函数表达式和自变量的取值范围.

求函数表达式本质上是实际问题抽象成函数模型.在这个过程中，学生需要分清自变量和因变量，明确自变量的取值范围除了自身要求，还有实际意义的附加条件.基于之前数学背景下求取值范围的铺垫，学生能较快解决.本问求自变量取值范围是逐级抽象的过程，要经历三阶跳跃：学生要经历将文字理解抽象成符号表示；将符号理解抽象成函数值取值范围；从函数值取值范围抽象出函数性质.

（2） 二问辅助抽象思考

问2 画出所求函数的图象.

学生对于画反比例函数图象已有经验，考虑到本节课性质重难点的突破，笔者改变形式如图4，以生生互动、辨析的方式，调动学生积极性.学生感知画图要点时，再次加深在自变量的范围内画图要考虑端点的要求，并为第三问留足思考时间.

函 数图象是抽象思维的直观和辅助，用图象感知，能为后续用图象法解决问题埋下伏笔.

（3） 三问深入抽象运用

问3 这列火车在40分钟内（包括40分钟）到达B市可能吗？ 50分钟内（包括50分钟） 呢？如果有可能，此时对火车的行驶速度有什么要求？

这是从实际问题中抽象出关于t的不等式来求解v 的取值范围，引导学生认识到看似解不等式，实际上是函数性质运用问题，考查双向思维：通过文字理解抽象出自变量的取值范围及符号的实际意义，再次展示逐级抽象的过程.这个环节，笔者留足时间让学生思考讨论. 对于如何利用反比例函数的图象性质解决实际问题，学生各抒己见，进行展示互动.

学生分别从数、形角度求解，如图5，在自变量取值为正时，用增减性求解较为便捷，用图象法求解更为直观.方法的灵活运用说明抽象方法得以落实，优选意识得以生成.实际问题对学生的抽象思维和能力要求更高，教师还需多次引导，慢慢渗透，逐步提升，才能让学生形成解题所需的抽象能力.

评价、反思

1. 评价：前测、后测

评价虽是数学整体教学设计的最后环节，但本质上贯穿教学的始终.教师要在课堂上对开发实施阶段进行过程性评价.在分析前和实施后，基于ADDIE模型的特征，设计测验，利用评价反馈的信息对教学方案进行调整.

（1） 前测：立足学情精致地教

多次研读教材、教参后，教师要明确课时教学目标，确定由反比例函数图象的特征，探究反比例函数的增减性是本节课的重难点，并折射出单元的知识架构.

课前，教师可准备一次函数抽象思维练习的学情测验， 如图6，包含增减性和函数图象问题，以及从数学背景中抽象出函数，从实际背景中抽象出函数的问题.

抽象能力是建立在基础知识和基本能力上，并且外化运用解决问题的过程. 课前检测显示的数据表明，学生对函数的增减性、图象法掌握不熟，无法从各类问题中抽象出函数问题，以及函数的增减性描述不准确.这体现了学生抽象能力较为薄弱的现状. 因此在分析的基础上，教师立足学情，精致设计教学过程，预设学生出现的问题和解决措施.在开发过程中，教师适当调整教学活动，精致地教，以实现学生数学抽象能力的发展.

（2） 后测：回归生本精深地学

基于函数单元整体教学的内容，课时呈现表达，经历课程的开发实施阶段后，教师可设置反比例函数的抽象思维练习，如图7，包含数学背景和实际背景的增减性描述及取值范围描述.

数据显示，学生在应用中抽象能力有一定的提升.这体现在学习过程中教师有意识地帮助学生调动这种思维模式，使得学生能较好地理解函数的增减性和图象特征.在后续课时，学生继续加以发展，提升观察、比较、探究、分析、归纳、概括的能力，并利用反比例函数性质分析和解决简单的实际问题，增强应用意识，提高应用能力.

2. 反思

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进整体教学，体现数学知识之间的内在逻辑关系及与核心素养的关联.在反比例函数单元中，图象和性质这课时能呈现出单元脉络，以及严谨的逻辑体系.教师要引导学生用整体的、联系的、发展的眼光看问题，让学生形成科学的思维习惯，发展核心素养.

（1） 关注数学的整体性

整体性教学设计需系统理解、关联和整合知识，实现深度学习.反比例函数全章贯穿着抽象、推理、建模的核心素养.教学时从情境中抽象出数学概念、性质、方法和体系，建立所学内容的横向与纵向联系，积累从具体到抽象的活动经验，从而理解数学研究对象的抽象性.比如思维导图的小结呈现如图8，有利于学生对整章知识形成整体建构，不断完善函数学习认知，体会完整的研究思路，加强对反比例函数内容的整体性认识.

（2） 关注思想的一致性

数学思想在内涵与形式上都是抽象的，这种抽象属于数学抽象的较高层次，应该遵循从具体到抽象的教学原则.在函数教学中，教师需通过具体的问题解决过程将其明晰化，把实际问题转化为数学问题，并把对应问题转化为数学问题，感悟由特殊到一般、由一般到特殊的数学思想和函数思想，使学生逐步感悟与内化.在性质探究中，则从实际例子入手，探究图象的变化规律，而不全是抽象的理论和数学符号，渗透数形结合思想.无论是哪种函数类型的学习，思想要有一致性，重视思想方法的领悟和积累是提升数学思维能力的关键.

（3） 关注方法的普适性

数学具有高度的统一性，不同模块的数学知识及思想方法通常有广泛联系.例如可以用函数的观点解决方程、不等式等问题.在函数学习的方法上，形成过程是抽象的结果，表现形式也是抽象的.如同化辨认得出函数概念，描点法画出反比例函数的图象，结合图象分析反比例函数的性质，渗透变化与对应、数形结合等思想.反比例函数值大小比较通常有三种方法：求值法、性质法、图象法，且普适于函数变量的大小比较或取值范围求解中.在教学中，教师应当重点关注具有一般意义的通性、通法.这样，学生在遇到具体问题时，才能自然而然地和所学知识联系，利用共性和规律解决.

教师基于数学整体教学中的认知，进行分析设计，并实现开发、实施、评价的有机结合，能促进学生掌握数学知识，能不断发展学生数学抽象等关键能力.学生学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界，才能落实数学学科核心素养，提高发现问题、分析问题和解决问题的能力.