构造基本图形 凸显几何直观

［ 摘 要 ］几何图形的变化往往能够揭示数学的本质，让学生体会到数学的魅力．研究者以一节“正方形的截线段变化”的探究课设计为例，通过构造基本图形，让学生形成解题思路，产生几何联想，积累解题经验，培养几何直观，提升核心素养．

［ 关键词 ］课堂教学；基本图形；几何直观；核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》中指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学，基本图形作为空间形式的重要组成部分，对于培养学生的几何直观能力和空间想象能力具有重要意义．而构造，则是指通过观察、分析图形，发现图形之间的内在联系，进而借助添加辅助线等方式，将复杂的图形转化为基本图形，例如构造“8字型”“斜A型”“母子型”相似等，以便更好地解决问题．

通过构造基本图形，首先可以将复杂的图形转化为简单的图形，从而降低问题的难度；其次，基本图形具有许多独特的性质，利用这些性质可以简化问题的解决过程；最后，构造基本图形可以提高学生的几何直观能力和空间想象能力，为学生后续的学习打下坚实的基础．

教材分析

本节课之前，教材已经安排了相似三角形的学习，为本节课的学习提供了充分条件．而在学习了相似三角形以后，题目中往往比较多地出现了有关于两条线段相截求其中一条被截线段一部分长度的题目，或是求被截线段两部分比例问题．这在教材当中也有所体现，如浙教版九年级数学上册第142页中作业题的第4题与第5题．基于此，笔者就以基本图形的变换为线索设计了这节课．

学情分析

在此之前学生学习了相似三角形，对于相似三角形的几种基本模型比较熟悉，这节课的前几小题比较简单，学生通过少量时间的思考便可解答．主要难点在最后一次翻折变形，也就是轴对称变形，学生需要通过之前总结的经验来构造辅助线．教师在学生做题时应稍加引导．

基于教学过程的数学问题解答与分析

1.展示基本图形，引入课题如 图 1， 在 正 方 形 ABCD 中 ，AD = 6，点E与点F分别为DC与BC的动点，连结AE，DF交于点G．

（1） 当E，F分别为DC，BC的中点时，求证：AE ⊥ DF，并求出AG的值．

师生活动 教师出示此题，让学生在导学单上作答，教师巡视指导．解答完成后让学生回答此题的解法，教师从中提取关键解法进行板书．

生1：可以利用△ADE △DCF求得角之间的关系，再利用互余证出垂直关系，接下来利用Rt△ADE中的一个“母子型”相似来求得AG．

生 2：在 AE ⊥ DF 已证的前提下，可以先用面积法求出DG，再用勾股定理求出AG ．

生 3：可以建立平面直角坐标系，以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，从而求出各点坐标来求解．

教师：老师说一种方法，将AE与BC延长相较于点H，能不能用这种方法求出AG呢？

生 （众）：可以利用“8 字型”相似来求解．

教师从中提取解决截线段求解的几种方案：相似、三角函数、勾股定理、建系，并提出其中的局限性．相似往往比较难找，但是恰恰是解决这类问题比较常见的方法，特别是在矩形这类图形中构造“8字型”相似比较常见，因为“8 字型”可以将斜的线段关系转换到矩形的边所在的直线上．而勾股定理的局限性在于必须构造出直角三角形才能解决问题．而建系则对图形整体要求比较高，在整体是矩形或是直角三角形的图形中比较常见，而这题也刚好符合建系的标准．

教学分析 此题的图形出自勾股图的一部分，在学生学习全等与正方形之后常有出现，主要难点在于利用互余证明角相等．学生学习了相似以后也可以利用相似更好地解决问题，这体现了旧题新解的思想．借助此题，让学生回想之前学过的方法，以起到一个复习的作用．同时，也让学生对截线段这类题型的解法有一个归纳，在之后的解题中有路可走，而不是一路抓瞎．在基础问题得到解决后，教师进一步深化问题并进行拓展．通过改变题目的条件和要求，让学生更加灵活地运用所学知识解决问题．

2.稍加改变，巩固解法

在上述例题题干的基础上，笔者稍加改变形成之后的题目：

（2） 如图 2，当 E与 C重合，F仍然为BC中点时，求AG的值．

（3）如果E仍然与C重合，而F是 BC 上的任意一点，设 FC = m，你能用m的代数式表示出AG吗？师生活动 教师出示此题，先让学生在导学单上作答，教师巡视指导，然后由学生给出解题过程．

此题相对比较简单，学生利用不多的 时 间 便 可 解 出 ， 有 的 利 用 了△ADG与△GFC构成的“8字型”相似进行解答，也有的通过建系进行解答．因为AG本身没有在直角三角形中，所以没有学生通过构造直角三角形利用勾股定理进行解答．

教学分析：此题对上题当中的基本图形进行了一个简单的变形，难度不大，主要目的是让学生对之前的解法进行一个简单的运用，起到一个巩固的作用．

3.加深难度，灵活运用

如图3，（4）在（2）的条件下，将△DCF沿DF翻折，使C落在C'上，DC'交AC于点H，求AH的值．

师生活动 教师出示此题，让学生在导学单上作答，教师巡视指导，解答完后让学生回答此题解法．此题难度较大，需要学生有一定时间的思考，对之前总结的方法有一个深入的认识，下面是学生所提出的解法．

生 4：连结 C'G，如图 4，证明△ AHD △ C'HG， 从 而 得 到 AH ∶C'H = AD ∶ C'G = AD ∶ CG．根据前面的结论可以求得CG，从而得到之前比例式的值，然后设 AH = x，将DH，HG，C'H 这些线段表示出来，通过列方程解出AH．

生 5：想到构造“8 字型”，如图 5，延长 DC'交 CB 的延长线于点M，C'M 与 AB 交于点 N，从而构造出△AHD △CHM的“8字型”相似模型，得到AH ∶ CH = AD ∶ MC，将问题的求解关键转换到 MC 这条线段上．这里还注意到有一个“斜 A型”的相似即△MC'F △MCD，从而可以得到MF ∶ MD = C'F ∶ CD.只要设MB = x，根据之前的比例式即可列出方程求解．

生 6：想到利用直角 C'来构造一个“一线三直角”模型，如图6，过点 C'作 AB 的平行线交 AC，AD，BC 于点 Q，M，N，得到△DC'M△C'FN，从而得到DM ∶ C'N = C'M ∶NF = C'D ∶ C'F = CD ∶ CF． 设AM = x，表示出 DM 与 NF，通过之前的比例式即可表示出C'M与C'N，再根据 C'M + C'N = DC即可列出方程求解．求出 AM 后，AQ 与 C'Q 也就已知，然后利用△QHC' △CHD这一对“8 字型”相似模型即可求得QH，与AQ相加得出AH．

教学分析 此题体现了图形的轴对称变换，在基本图形上进行轴对称变换也是很常用的题目形成方法．对于做了之前题目的学生马上能够思考到这个图形当中CG，AG，DG可求，生4想到的是直接构造涉及AH的相似模型；生5想到的是在矩形当中比较常用的求截线段长度的方法，即构造“8字型”的相似模型来将斜线段比例转化为铅垂或水平线段的比例；生6则是根据一个直角想到可以构造“一线三直角”模型来帮助解题，这里虽然将AH分割了，但分割的两部分都在比较特殊的图形当中，也是比较不错的解法．

4.总结反思，课堂小结

教学内容 对本节课所学的知识进行小结．

师生活动 教师提出在这节课中有何收获，学生主要就如何解决截线段长度问题进行总结，主要集中在构造与截线段有关的相似模型．教学分析 这节课主要从基本图形出发，层层深入变换，帮助学生熟练运用相似等方法来解决截线段长度问题．同时，也让学生对之前学过的方法进行复习和归纳，为以后求解类似问题提供思路和方法．教学反思

在几何教学中，教师对一些重要的概念和能力的培养要有一定的认识．

首先，对于基本图形与变换的重要性，有更深的理解．基本图形中往往有着明确的基本量，而当其进行变换时，可以从基本量中找出变换后图形中的量改变与否．例如，在正方形中通过截取线段，可以利用相似来将斜的线段比例进行等比转换，从而增加条件的获取．

其次，明确推理能力在几何教学中的重要性．在解决几何问题时，学生需要根据条件判断哪些量是确定的，哪些量是可以改变的．基本图形中往往有一些明确的基本结论，学生如果能从复杂的几何题中提取或构造出一些基础图形，将会更快地找到解题方法．

此外，教师要意识到在教学中注重培养学生的几何直观能力．学生自身需要意识到图形的变化，同时在日常教学中教师也要不断引导学生认识图形的变化．这种能力的获得并非一蹴而就，需要通过长时间的引导和训练．因此，在教学中教师应尽量引导学生去主动观察和思考，以提高他们的空间观念和几何直观能力．

最后，认识到模型观念在数学教学中的重要性．学生在解题中往往会遇到条件缺失的情况，对此，教师首先要让学生认识到初中数学问题都是万变不离其宗的，其次要鼓励学生利用已学的基本图形和基本结论来解决新问题，从而提高学生的应用意识和创新意识．

综上所述，在未来的教学中，教师需要更加注重培养学生的推理能力、几何直观能力和模型观念，以提高他们的数学思维和解决问题的能力．同时，教师也需要不断反思自己的教学策略，以便更好地指导学生进步．