HPM视域下数学史渗透措施的研究
作者： 侯志敏
［ 摘 要 ］文章以“正切三角函数”的教学为例，具体从“创设情境，揭露主题”“活动探究，建构新知”“适当引导，完善概念”“巩固概念，应用实践”“归纳总结，拓展提升”等方面谈谈如何将数学史有效地渗透到课堂教学中，实现育人的目的.
［ 关键词 ］HPM；数学史；正切三角函数
HPM理念致力于将数学史与数学教育紧密结合，旨在通过数学史的融入来提升数学教育的质量，并促进学生数学核心素养的发展.锐角三角函数作为初中数学教学的关键内容，每个三角函数概念背后都蕴含着丰富的历史渊源和形成过程中的曲折.本文以“正切三角函数”的教学为例，详细探讨如何在教学的各个环节中贯彻HPM理念，以更深入地融入数学文化，并促进学生人格品质的培养.
教学分析
结合教学内容特点与学生实际情况，将锐角三角函数的教学安排成三课时，本节课着重引导学生学习“正切三角函数”的概念.正切最早出现在天文学家的“影长”中.17世纪，数学家认为正切就是圆的切线长度，到19世纪20年代，三角学中出现了“线段比”这一说法.在教学设计时，可将正切的历史演变融入课堂中，起到激趣启思的作用.教学过程
1.创设情境，揭露主题为了让学生理解数学与日常生活的紧密联系，本节课通过介绍日晷来激发学生的学习兴趣，并揭示教学主题.
师：现在几点了？
学生通过观察手表和教室挂钟知道了时间.笔者随后询问他们，在没有钟表的时代，人们是如何判断时间的.学生提出了一个利用影子和太阳位置的方法.笔者利用他们对此话题的兴趣，引入数学史知识，以增强数学文化教育，并为接下来的内容教学打下基础.
师：最早人们就是用“立杆测影”的方法来判断时间的，之后古人又发明了日晷 （见图1），也就是根据太阳投射到底盘上的刻度来确定当时的时间，晷影长度随着太阳方向的变化而改变.
师：如图 2 所示，此为日晷运行简图，观察日晷的日常运行，分别说说光线 AB 、投影 AC 、晷针 BC中的常量与变量.
生 1：常量为：晷针 BC 的长度、晷针BC与底盘的角度（垂直成90°）；变量为：光线AB的长度、投影AC的长度、光线与晷针和底盘的夹角.
师：根据直角三角形的性质与以上分析，说说变量之间具有怎样的关系.
生 2： ∠C=∠A+∠B=90° ， AB 2 =AC 2 +BC 2 .
师：很好.结合函数概念，光线AB 的长度、晷针 BC 的长度与夹角A，B 之间能否构成函数关系？
学生经探索发现直角三角形的边与角之间存在稳定的函数关系，笔者于是趁机揭露本节课的研究主题 — —锐角三角函数之正切.
设计意图 通过提出关于时间的问题，引导学生了解古代的计时工具 — —日晷.介绍日晷的工作原理并展示其简化图示，帮助学生探索变量和常量，为引出锐角三角函数做准备.
2.活动探究，建构新知
师：古人利用立杆测影的方法来计算太阳回归年，即地球绕太阳公转一周的天数.请观看相关视频了解测算方法（用多媒体播放测算太阳回归年的方法）.现在我将图3所示的原理图简化为平面图（见图4），图中的 BA 表示入射光线， BC 表示杆件的铅直高度，影长 AC 处于水平面上.请大家从图4中寻找出变量.
然而，对正切概念的教学尚未结束.笔者带领学生再次剖析概念中的关键点，以深化学生对概念的理解：①角的范围.因为正切的背景为直角三角形，所以 ∠A 必然为锐角.②角的符号 . ∠A 的正切，可以用tanA 来表示，但类似于∠1，∠ ABC的正切，应当用 tan∠1 ， tan∠ABC来完整表达.③正切的意义.正切实则为一个大于0且无单位的比值.④正切的大小 . 正切 tanA 的大小只与∠A （锐角）的度数有关，与直角三角形的边长没有关系.
设计意图 通过逐条分析概念的关键点，不仅可以加牢学生的知识基础，还能锻炼学生的数学思维，提升学生的理解能力.
4.巩固概念，应用实践
例 2 《周髀算经》 记载了借助日光照射日晷的投影来确定冬至与夏至的方法，具体为：“某地冬至正午时刻的日晷影长是三尺五寸，夏至正午时刻的日晷影长是六寸.因而，日晷损益，寸差千里.”将这段描述改编为如下问题：“晷针长为3，已知冬至日晷影长为 6 2 ，夏至日晷影长为 5，分别求冬至、夏至仰角 α 和 β 的正切值.”
设计意图 概念形成旨在实际应用.例1简单，学生套用公式即可解答，发挥热身效果.例2是改编自《周髀算经》的问题，旨在激发学生的学习兴趣，同时提高思维灵活性和应用意识.
5.归纳总结，拓展提升
要求学生回顾本节课学了哪些知识，并说说它的来源与历史演变过程，谈谈在本节课的收获与感悟等；要求学生在课后查阅与日晷相关的更多信息，以拓展知识视野.
设计意图 引导学生归纳总结课堂内容，回顾正切概念的形成过程，以加强知识基础和数学文化理解；通过了解正切在生活、天文、历史中的应用，为实际问题解决打下基础.此外，搜集关于日晷的信息有助于拓展学生的视野，并丰富他们的数学文化知识.
综上所述，在 HPM 理念指导下，初中数学教学必须依托于数学史和数学思想方法的支撑 . 实践证明，采用HPM视角的教学方法，是深入渗透德育教育、激发思维活力、培育爱国情怀以及培养严谨研究态度的重要策略，同时也是提升学生数学核心素养的有效途径.