关注几何直观 厚植模型思想

［ 摘 要 ］几何直观帮助学生通过图表理解，建立思维桥梁，深入掌握模型本质，为数学公式和定理的推导打下基础.研究者利用几何直观与模型思想，以“对等角全等模型”的教学为例，对模型的初步认识、再认识、全等变换、拓展等展开实践与思考.

［ 关键词 ］几何直观；模型思想；对等角全等模型

几何直观利用图形直观展示和描述问题，有助于学生观察和思考，是衡量学生核心素养水平的一个重要指标.在初中数学教学中，重视几何直观在理解问题中的关键作用，不仅能够帮助学生深入理解问题的本质，还能够促进他们建立良好的数学模型思维，为培养直观想象能力打下坚实的基础.在几何直观的基础上厚植模型思想，可提升学生解决几何问题的能力.

核心概念界定

1.几何直观

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称新课标）明确提出：几何直观主要是指运用图表描述和分析问题的意识与习惯.有助于把握问题的本质，明晰思维的路径 ［1］ .国际数学教育将几何直观称为可视化 （Visualization），即解决数学问题时，通过对图象本质的观察，形成心理表象，并用数学符号转化与建构.因此，几何直观涵盖了两个层面的信息，一是视觉加工，二是理解图象.从本质上来看，我国所研究的几何直观与国际上所研究的可视化是一致的，都是以“形”作为思维的基本载体，在抽象与直观的基础上发展学力.

2.模型思想

数学模型思想是指学生用某种原理或概念来理解、描述或解决数学问题的一种基本思想.新课标认为数学模型思想是学生理解数学本质与生活实际的桥梁，关注数学建模可发展学生的模型思想.解题教学通常遵循“问题→建模→应用”的步骤.建立数学模型后，将其转化为直观现实能增强其应用价值，并为解决问题提供基础.模型思想属于一种根植于学生意识中，却又无法具体描述的思想，需在分析与解决问题的过程中加以体会与感悟.

教学实践分析

模型呈现 如图1，点 O 既是正方形 ABCD 的对角线交点，又是正方形 OA 1 B 1 C 1 的一个顶点，且已知这两个正方形的边长相等，将正方形 OA 1 B 1 C 1 围绕点 O 任意旋转，它们重叠的四边形 EBFO 的面积恒为正方形 ABCD 面积的1/4.

教师引导学生分离并分析重叠的四边形 EBFO ，具体步骤如下.

1.初步认识模型

通过对图 1 的观察，得到与四边形 EBFO 相关的一些结论：①∠FBE = ∠EOF = 90° ；② EO = FO ；③ ∠OBE = ∠OBF = 45° .

图形能直观展示问题，便于学生分析并得到与四边形 EBFO 相关的结论，这些结论可帮助学生建立对模型的基本理解，为后续深入研究打下基础.

5.模型的分离

在解决实际问题时，几何模型常与其他图形并存.因此，教师应引导学生在理解图形本质的同时，学会从复杂图形中识别基本图形，这是透过现象看本质，对提高解题能力至关重要.

教学思考

1.建模活动需明确方向

在教学中，教师要引导学生明确建模目标，确保学生理解模型本质，以便有效建模并解决问题 . 同时，明确方向的建模教学有助于学生思考和分析模型，以及运用模型思想解决实际问题.

本节课的探索主题为“对等角全等模型”.课堂伊始，教师明确探索主题，并向学生展示模型包含的三个条件“ ∠FBE=∠EOF=90° ”“ EO=FO ”“ ∠OBE=∠OBF=45° ”，为后续研究打下了坚实的基础.在教师的指导下，学生通过初步认识、再认识、全等变换等，深入研究“对等角全等模型”，提高了学习效率.

2.建模教学需注重方法

学生的思维发展是逐步深入的，因此建模教学也应逐步推进 . 课堂上，除了关注问题的导向作用外，还要注重数学思想方法的渗透，从而引导学生深入理解数学模型，激发其研究兴趣.除了常规性地研究模型外，还可以引导学生扩展思维，利用模型思想将思维拓展到相关数学模型，以此拓宽学生的视野，提升学生的学力.

例如本节课，教师先引导学生深入学习“对直角全等模型”，然后介绍“同侧直角全等模型”，拓宽了学生的认识.注重方法的建模教学，可有效培养学生的数学思维能力.

3.几何直观是提升素养的基础

通过观察图形不仅能发现其中蕴含的模型，还能促进直观想象素养的发展.然而，在实际教学中，教师很少引导学生运用几何直观来分析问题.这导致学生在面对几何题目时，往往直接着手解题，缺乏深入分析图形的习惯，使得解题过程变得复杂.殊不知，基于几何直观观察图形，能从中发现一些奥秘，让解题过程变得更加便捷.在本节课中，教师引导学生通过图形探索模型，从多角度观察分析，将模型思想深植于学生心中，为提炼基本图形打下了坚实的基础.

总之，研究模型元素特征有助于增强学生的模型意识，并帮助他们识别复杂图形中的模型，为解题打下基础.这也是提升学力，培育数学核心素养的重要路径之一.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部 . 义务教育数学课程标准 （2022 年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］黄俊.建立几何模型培养直观能力：以“对等角全等模型”为例 ［J］.初中数学教与学，2018 （22）：35-37.