核心素养导向下基于“数学思维”发展的教学实践与探索

［ 摘 要 ］数学思维是数学核心素养的重要组成部分，核心素养导向下的数学教学应关注数学思维的培养.文章以“轴对称视角下线段和的最小值”的教学为例，从“情境创设，初步唤醒思维”“明晰任务，逐层拔高思维”“延伸拓展，开阔数学思维”“总结归纳，完善思维结构”四个方面展开研究.

［ 关键词 ］思维；核心素养；教学

数学是一门抽象的学科，对培育学生的思维具有重要价值.逐层递进的问题序列，以及层次清晰的探究活动是推动学生思维发展的支点.随着《义务教育数学课程标准（2022年版）》（下文简称新课标）的落地，引导学生运用“在解决低阶问题过程中所形成的思维去解决高阶问题”成为众多教师竞相探讨的热点话题，此为拔高学生思维的重要举措.“轴对称视角下线段和的最小值”问题比较抽象，学生需在教师的引导下展开探究.本节课教学旨在提升学生的思维能力，促进学生数学核心素养的全面发展.

教学过程设计

1.情境创设，初步唤醒思维

情境1 如图1，小明从家出发到学校一共有三条路可以走，请问他走哪条路更近一些？理由是什么？

情境2 如图2，某厂家准备将污水从 A 处引到污水处理容器 PQ中，该怎样铺设排水管道最节省材料？尝试将管道路线在图中标注出来，并阐明原因.

分析 上述两个情境与学生的生活以及教学内容都相关，如此设计可激活学生既有的部分认知，增强他们对生活与数学事实之间联系的感知，为接下来的深入探索提供素材 . 情境 1 能有效激发学生的意识，使他们深刻理解“两点间线段最短”的几何原理，从而为后续探索“最小值”问题奠定坚实的基础.对于情境 2，过点 A 作 PQ 的垂线，垂足为B，所获得的线段 AB 即该情境的解.此设计旨在深化学生对点到直线距离最短问题的理解.这两个情境均为知识的生长点，对发展学生的数学思维与理性精神具有重要意义.

2.明晰任务，逐层拔高思维

基于任务驱动展开课堂教学，可增进学生自主学习与协同合作的效率.学生带着明确的目的去探索课堂教学内容，不仅能保持原有的探索兴趣，还能进一步激发学习动机.本节课主要借助“两点间线段最短”这一核心理念探索“饮牛”问题，学生的思维可在各个模型的探索与构建中螺旋式上升.

（1） 根据直线两侧的两定点探寻一动点

如图 3，已知 A，B 两地之间有一条河流，牧童牵着牛由 A 地出发，到河边饮水，而后将牛牵至 B 地，请帮他设计一条最短的路线，并说明理由.

本题可将 A，B 两地视为位于直线 l 两侧的两个定点，想要探寻直线l 上与这两点距离最近的位置，仅需依据“两点间线段最短”这一定理连接 AB ，与直线 l 的交点 P 就是所求的答案（见图4）.

（2）借助类比分析法选址造桥接着上一个问题，若河流的宽度为 a 米，想在这条河面上建一座桥，保持桥面与河岸为垂直关系，牧童同样从 A 地出发，牛饮完水后去往 B 地.将桥建在什么位置，可使牧童的行程最短？

要求学生先凭借想象画出简明的图示，随后再进行深入的分析.如图 5，根据题设条件明确本题旨在探索如何使 AC + DC + BD 的值最小 . 鉴于 DC = a 为定值，故本题求的是 AC + BD 的最小值.类比将河流理 解 为 直 线 的 模 型 ， 需 将 线 段AC，BD 拆解并重新组合.忽略河宽，只需将河岸一侧的线段直接平移，使之与对岸线段无缝对接即可.平移过程可借助几何画板来演示，将点A 平移至点 A 1 处，形成的图形与图4类似.此时要探索的是点 A 1 与点 B 之间的最短距离.

设计意图 从根本上而言，此问旨在深化学生对“基于直线两侧固定点，探索直线上移动点，并通过线段和求解最小值”这一策略的领悟 . 在探索过程中，学生体验了“平移不变量”的奥秘，并掌握了聚拢与分散线条策略的实际运用.这一过程犹如一把钥匙，为学生打开了思维的大门，进一步充实并强化了他们的直观想象能力.

（3） 由直线同侧的两定点探寻一动点

如图 6，已知 A，B 两地位于河流（直线 l ）的同一侧，牧童准备由A 地出发到河边饮牛，而后去往 B地，请在河流 （直线 l ） 上找一点P ，使牧童饮牛的行程最短.

如图 7，作点 A 关于直线 l 对称的点 A' ，连接 BA' 与直线 l 相交于点P .基于轴对称的性质可知 AP = A'P ，则 AP + BP = A'B .另外，再取点 P' ，分别连接 AP'，BP' .同样基于轴对称的 性 质 可 知 AP' = A'P' ， 则 AP' +BP' = A'P' + P'B . 显 然 ， A'P + BP最小.

分析 解决此问题主要运用了“作轴对称，拉直线段”的方法，解题精髓在于“两点间线段最短”的原理.学生在具体明确的任务中深入探索，借助变式应用与类比思想的双重助力，自主提炼出数学模型，为数学思维的全面发展注入了强劲动力.

3.延伸拓展，开阔数学思维

核心素养导向下的数学教学，在注重学生知识与技能扎实掌握的同时，尤为强调对数学思维的启迪、思想方法的引导以及价值观的塑造.想要利用课堂激活学生的思维，发挥学生思维的创造性，教师可基于学生客观存在的差异性，实施恰当的引导与点拨，旨在拓宽学生的视野，强化学生的学习能力.例题的应用，可达成这一目标.

例 1 如图 8，若 ∠AOB 内拴着一头牛，牧童准备先将牛牵到 OB 处吃草，而后再牵到 OA 处饮水，最后返回到 P 处，如何设计行程可使牧童行走的路程最短？

此例同样需要引导学生画出行程图，并联系课堂所学的探索方法，通过作轴对称来拉直线段，再结合“两点间线段距离最短”这一核心理念展开剖析，从翻折中探寻问题的解答路径（过程略）.

例2 如图9，已知 △ABC 为锐角三角形，且 AB＜AC ， AD 为 ∠BAC的平分线，与 BC 边相交于点 D ，点M，N 分别为线段 AD，AB 上的动点，则 MB + MN 的最小值是多少？

本题难度略有增加，同样需要学生画出草图，展开分析.在解决此题的过程中，学生展现了两种解题思路：第一种，作点 B 关于 AD 对称的点 B' ；第二种，预设点 N ，作点 N 关于 AD 对称的点 N' .这两种思路都立足于“角平分线的对称性”这一原理，均可探寻到问题的答案.学生亲历解题过程，一致认为第一种思路更简便，因为第二种思路中的预设点 N 为动点，其位置不确定，给解题过程增添了不必要的困扰与复杂性.值得注意的是，在作对称点时，需关注“垂线段最短”这一定理.

分析 上述两道例题所涉及的元素相当多，若想让学生独立完成，确实存在较大障碍.为此，教师引导学生先结合题设条件在草稿纸上画出草图，再根据本节课的核心知识点“垂线段最短”和“两点间线段最短”展开探究，将未知的问题转化为认知范围内的模型.这种基于现象挖掘本质的教学模式，不仅能促使学生顺利解决问题，还能提升学生的思维层次.

4.总结归纳，完善思维结构

学生在本节课亲历了动手操作、直观想象与逻辑推理等过程，不仅自主探寻到解决问题常用的方法，还在解题过程中自主抽象出相应的数学模型，为构建普遍适用的解题策略奠定了坚实的基础.同时，课堂还涉及数形结合、数学转化、类比分析等思想方法，这些思想方法是促进学生思维长远发展的根本.课堂尾声，教师要求学生自主归纳本节课的核心知识点、思想方法等，并构建思维导图.

在这个问题的驱动下，学生自主总结解决此类问题的基本方法：若两个定点位于直线的同侧，不论已知条件与未知条件怎么转换，均可借助轴对称的性质将问题转化为两定点分别位于直线两侧的情况进行分析（具体思维过程见图10）.

分析 课堂教学过程的回顾、梳理与总结，促使学生学会从整体的视角来观察与分析问题，并能基于不同的维度对教学过程进行反思与提炼.构建思维导图，学生不仅能够获得结构化的思维方式，还能显著提升自身的总结能力，并提炼出数学思想方法.这为学生增进学力、发展核心素养奠定了坚实的基础.几点感悟

1.问题导向可促进思维的生成问题对于一节数学课来说具有举足轻重的作用，学生的思维常在问题的驱动下发展.教师在课堂上结合学情与教情，精心设计问题情境，不仅能拉近学生与探究内容的距离，还能促使学生学会用数学的思维思考现实世界，为发展概括与抽象能力夯实基础.学生在课堂中的思维广度、灵敏度以及深度，都可体现在数学概括上.因此，借助课堂训练学生的数学抽象与概括能力是发展思维的基本途径.新课标着重强调要让学生亲历“数学化”的过程，这要求教师在充分了解学情的基础上加强探究性引导的强度，以规避低效重复且缺乏教育价值的教学.

本节课，教师在课堂上提出的问题数量并不多，但每一个问题都承载着至关重要的作用.例如课堂伊始，借助低起点的问题引导学生用数学的眼光观察现实世界，并将生活实际抽象为数学问题.随着问题的逐步浮现，难度层层加码，学生的思维紧随着问题的深入剖析而逐级攀登.课堂尾声，鼓励学生对课堂教学活动进行归纳总结，凸显了数学抽象概括的意义，此为思维的升华过程，对学力的发展具有重要意义.

2.搭建探究框架可完善学生的思维

新课标强调数学教学要引导学生学会用规范的语言描述数学现象、定义或模型等，要引导学生学会从一类题的解决中提炼一般性的解题方法，并理解相应的数学思想方法.带领学生透过现象看本质，观察问题背后的共性特征，不仅能让学生对数学抽象的一致性产生深刻理解，还能进一步发展学生的抽象概括能力，聚合思维，为培育核心素养夯实基础.

本节课探究的每一个问题都离不开两个核心原理，即“两点间线段最短”“垂线段最短”.在这两个核心原理的引领下，学生通过画图、思考与总结，不仅成功抽象出了多个数学模型，还深入提炼了数学思想方法与解题技巧.这充分说明，教师在课前精心构建的探究框架，对于提升课堂教学效率具有显著作用，并且能够有效地促进学生思维的完善与发展.

3.打开思维束缚可凸显教学智慧

核心素养导向下的数学教学，注重从整体视角及多维度引导学生理解知识间的联系，并能从实例中明确推理规则.这要求教师为学生构建自主探索的平台，采用多样化的教学方法激发学生从不同角度深入思考与探索问题，从而有效避免照本宣科的教学模式.

本节课，虽然核心问题是由教师提出来的，但对问题的思考与探索，都由学生自主完成.教师在适当的时候加以点拨，以进一步开发学生的思维，避免出现钻牛角尖的情况.例如例2的探索，教师给予学生充足的时间与空间，使他们自主探寻出了两种解题思路，经类比分析发现第一种思路更简便.整个教学过程是在自由、民主的课堂氛围中展开的，这充分体现，在打破思维束缚之后，学生的思维宽度与深度均得到了显著的拓展与深化.

数学是思维的体操，教师应将思维的发展作为教学目标之一.让学生在课堂中扎实掌握基础知识与技能，学会有效思考问题的策略，并培育出坚定的理性精神，这不仅是新课标对教师提出的明确要求，也是核心素养导向下，数学教学的根本任务.