立足微专题教学 提升数学解题能力

微专题教学是基于学情与教情构建的课堂教学模式，具有指向明确、切入口小、针对性强等特点 .将微专题教学模式应用于初中数学解题教学，不仅能深化学生对一类问题的理解，还能提升学生的解题能力 .“用对称性解反比例函数”是“反比例函数图象与性质”章节的内容，基于学情与教情设计微专题教学可有效拔高学生的数学思维水平.

教学分析

函数是贯穿整个中学数学的基础性知识，其重要性不言而喻.初中是夯实函数基础的主要阶段，学生对函数的掌握程度直接影响后期的学习成效.初中阶段所学的函数包括一次函数、二次函数与反比例函数等 . 本节课探索的函数是反比例函数，相较于一次函数，它的计算与图象更复杂一些.

在本节课之前，学生已理解了反比例函数的基本概念，对相关的因式分解、分式计算以及解析式中| | k 的意义有了初步认知，并对反比例函数图象的对称性也有了一定的了解.这些都是本节课探索的基石.考虑到不少学生对从一次函数的直线图象转变为反比例函数的双曲线图象存在理解障碍，笔者特别设计了一节微专题解题教学课程，旨在帮助学生厘清求解直线与曲线交点的思维路径.

教学过程

1.情境创设，回顾旧知

课堂伊始，教师借助多媒体播放一段视频，视频内容包含：①用类似于 y = kx + b 的直线分别绘制笛卡尔线、雅各布线、阿基米德线、玫瑰线等图形的过程；②刘徽的“出入相补”原理的论证过程；③杨辉三角的相关内容.

师：这些视频内容给大家带来了什么体验？

生 1：从中感受到了数学美，并体会到了数学对称性的重要作用.

师：很好！大家还记得反比例函数的关系式吗？

生（众）：记得， y =k/x（k≠0） .

师：该式子具有怎样的代数特征？

生2： k = xy（k ≠ 0） .

师：反比例函数图象的对称性具有怎样的特征？

生 3：具备中心对称性与轴对称性.

设计意图 视频配解说，学生从直线运动理解对称图形.这种导入方式不仅迅速激活了课堂氛围，还吸引了学生的注意力，并让学生体验到了数学美 . 回顾旧知后，转向“对称”话题，课堂在和谐氛围中开始.

2.深入探索，启发思维（1）探索中心对称性

师：数学是一门严谨的学科，其所有结论的得出均离不开详尽而周密的验证过程.那么，我们如何确定反比例函数的图象具备中心对称性呢？

学生沉默，教师给予点拨：如图1，在反比例函数图象上任取点A之后，该怎样说明其具备中心对称性呢？

生4：只要能证明点A关于原点对称的点位于反比例函数图象的另一分支上即可.

师：用专业的数学语言如何描述这个问题？

生5：如图1，已知反比例函数y =k/x（k＞0） 的图象上有一点 A，求证该点关于原点对称的点B也位于该函数的图象上.

设计意图 “曲线中的全等”是学生认知之外的内容，学生面临问题出现沉默属于正常现象.“化未知为已知”是研究数学问题的基本方法，因此教师指导学生从反比例函数图象上的一点出发，将未知问题转化为已知问题，形成一种策略.

（2）应用中心对称性

问题1 已知反比例函数 y =6/x的图象与一个正比例函数的图象分别在点 A（x 1 ，y 1 ） ， B（x 2 ，y 2 ） 处相交 ， 则 （x 1 - x 2 ）（y 1 - y 2 ） 的 值 是多少？

生6（板演）：如图2，构造出两个 面 积 均 为 6 的 矩 形 ， 则 （x 1 -x 2 ）（y 1 -y 2 ） = FD·CE = 2DO·2CO = 24.

分析 应用数形结合思想画图，不仅能够将数值化的点坐标差异转化为直观的线段展示，还能够借助中心对称性深入剖析图形的面积，从而彰显数形结合思想在解决反比例函数问题中的价值与重要性.

生7：如图3，由反比例函数的中心对称性可知点 B（-x 1 ， - y 1 ） ，则（x 1 -x 2 ）（y 1 -y 2 ）=2x 1 ⋅2y 1 =24

分析 此过程展示了反比例函数的中心对称性，学生在数形结合思想的辅助下不仅顺利解决了问题，还自主总结出了相应的数学模型，为后续解决更多问题夯实了基础.

设计意图 问题 1 因为缺少图形的辅助，导致学生无从下手，而数形结合思想的应用则帮助学生顺利解决了问题.这不仅彰显了数形结合思想的关键性，还让学生认识到，在面对复杂问题时，可以借助图形来降低问题的难度，为解题提供有力支持.

（3）探索轴对称性

问题 2 如图 4，已知直线 y =m - x 与 反 比 例 函 数 y =k/x（k >0，x > 0） 分别在点 A（1，4） 和点 B处相交，求点 B 的坐标.

师：关于此问，可否直接获得答案？

生8：可以，点 B（4，1） .

师：说说你的理由.

生8：如图5，根据已知条件可得 △ACO △ODB ，结合反比例函数图象的对称轴 y = x ，点 B 的坐标就浮出水面了.

师 ： 你 提 到 △ACO △ODB ，是如何证明的？

（该生摇头表示不会）

点评 这位学生虽然无法说清楚 △ACO △ODB 的由来，却从直观的图形中探寻到“相等”的关系，由此获得问题的答案.

为了深化学生的思维，教师将图5进行了改动：如图6，分别过点A，B 向纵轴和横轴作垂线，由此进一步揭露全等与轴对称性 （证明过程略）.同时强调，在探索过程中需要验证点 B 位于反比例函数的图象上.

探究至此，师生共同梳理解题步骤为：①作点 A 关于直线y = x的对称点 B ；②从全等出发，探索点 B的坐标；③明确点 A，B 均位于反比例函数的图象上.从上述探索流程出发，假设点 A 的位置是任意的，那么就能确定反比例函数图象具有轴对称性 （可将图7作为模型）.学生通过对模型的观察与分析，能发现以下三个特征：①直线 AB 和直线y = x 为垂直的关系；②点 A，B 均位于反比例函数图象的同一分支上；③ A，B 两 点 的 横 、 纵 坐 标 可 以互换.

思考与感悟

1.创造应用教材，提供教学资源

教材是教学的基本载体，也是完善学生认知体系的基本工具 . 然而，编者并不能将学生的个体差异都考虑到，因此教师在应用教材时应根据学情有针对性地进行重组与创造，在保留其精华的基础上适当拓展，不仅能丰富教学资源，还能提升教学效率.本节课，就是在“反比例函数图象与性质”这部分内容的基础上，根据教学需求引入了反比例函数图象的对称性，旨在引导学生从客观事物出发，挖掘知识本质，完善认知结构.

2.基于认知经验，践行深度学习

学生拥有用描点法绘制反比例函数图象的技能，在此基础上发现反比例函数图象的对称性就是水到渠成的事情 . 鉴于这些知识点在中考试卷中出现的频率极低，部分教师便倾向于采用“注入式”的教学方法来处理这部分内容 . 这种急功近利的教学方法无法挖掘知识的核心本质，更谈不上深度学习 . 殊不知，“对称性”这部分内容对解决综合性问题具有重要意义 . 教师只有引导学生亲历知识形成与发展的过程，从数形结合的角度践行深度学习理念，才能真正发展学生的“四基”与“四能”.这是培养学生数学学科核心素养不可或缺的一个环节.

总之，教师应当秉持“以生为本”的教学理念，依托深度学习的基础，积极推行微专题教学模式，并巧妙融入数学思想方法，以充分激发学生的潜能，推动其实现可持续发展.