数学类比法在平面几何教学中的应用研究

［ 摘 要 ］数学是一门系统化的学科，知识间存在一定的联系，尤其是平面几何知识，可通过由此及彼的类比迁移实现高效教学.文章以“中心对称”的教学为例，从“提出问题，类比引入”“定义对象，类比探索”“性质研究，类比分析”“知识梳理，类比提升”四个方面展开教学与评析，并有针对性地谈几点思考.

［ 关键词 ］类比；平面几何；中心对称

数学类比是一种探索知识间联系的迁移性对比，超越单纯差异性的对象比较.有些学生觉得初中数学难以理解，究其原因，在于这部分学生对知识的理解比较片面，没有从多层面、多维度理解所学内容.灵活应用数学类比法，可让学生从知识本身出发，通过类比迁移，发现其中的关联性，建构良好的知识体系，完善认知结构，实现深度学习.

教学简录与评析

1.提出问题，类比引入

本环节通过类比等腰三角形性质的探究过程，引入本节课的探究对象 — —中心对称.

师：请大家一起回顾等腰三角形性质的探究方法.

生1：先分析等腰三角形的边、角以及“三线”，而后从整体视角探索等腰三角形的轴对称特性.

师：很好！关于平行四边形的性质我们已经研究了一部分，类比等腰三角形的研究过程，你们觉得我们还要研究平行四边形的哪些性质呢？

生 2：应该从整体视角出发，研究其轴对称性.

师：不错，平行四边形是一种特殊的四边形，我们已经研究过关于它的边、角、对角线的性质，它是否像等腰三角形一样也存在类似于轴对称的性质呢？

评析 本环节通过巧妙设置类比式问题，引导学生思维逐步深入本节课的核心探索区域，不仅凸显了问题的启发与引导功能，还展现了探索数学对象时所遵循的普遍规律和路径 . 此类比过程既深刻又浅显，易于领会，实为教学领域的理想开端.

如此设计旨在使学生全面了解概念产生及发展的完整历程，而深入研究对象的途径通常可从以下两个方面切入：①通过实际情境直观呈现研究对象，比如，围绕平行四边形的对角线交点进行旋转操作，并细致观察图形在旋转180°前后的对应关系，进而深入剖析其性质；②以数学内部体系为基石，运用类比方法深度剖析新旧知识间的异同，从而精准把握研究对象.本例带领学生通过类比等腰三角形性质的探究过程，分析平行四边形除已知性质外，还存在其他什么性质.这种获取研究对象的方式显得自然而质朴，符合初中生认知发展的特点.

2.定义对象，类比探索

本环节通过类比等腰三角形相关概念的研究方法，探索共同点.主要按照以下几步实施：

第一步，通过类比轴对称概念的研究方法，探索什么是中心对称图形.

师：大家还记得咱们之前是如何研究等腰三角形轴对称这个性质的吗？

生 3：用实操的方法，即折叠一个等腰三角形纸片，使得等腰三角形沿着一条直线折叠后获得完全重合的两个三角形，由此可确定等腰三角形为轴对称图形.

师：与之类比，平行四边形能不能也沿着某条直线折叠，获得两个完全重合的图形呢？

学生取出预先备好的平行四边形纸片进行折叠，却未能找到符合条件的直线.这不禁引发了学生的疑惑：是否真的存在一种方法，能使这片平行四边形完全重合呢？在此基础上，笔者向学生发放了兼具轴对称与中心对称特性的剪纸作品，鼓励学生自行观察.

师：如果将平行四边形进行旋转，有没有办法能让它完全重合？学生依据平行四边形对角线互相平分的特性，发现当平行四边形以其对角线的交点为中心旋转180°时，能与原图形重合.

为了深化学生的理解，让学生从直观感知中发展抽象能力，笔者借助几何画板的演示功能将平行四边形围绕对角线的交点旋转 180°（顺时针或逆时针），保留旋转痕迹.要求学生观察并思考以下问题：①围绕哪个点进行旋转的？②旋转的角度是多少？③按照什么方向旋转的？

通过以上探索与分析，师生共同总结出中心对称图形与对称中心的概念，并着重强调几条关键信息：旋转中心、旋转度数、旋转方向与重合.为了强化学生对概念的认识，笔者在此处设计了一组辨析题，让学生自主分析，为构建完整的知识结构奠定基础.

评析 研究对象一旦明确，接下来的任务就是研究它的特征、属性等.在此过程中，笔者引导学生类比等腰三角形作为轴对称图形的研究方法，通过折叠纸张与剪纸的细致观察，在直观体验中深刻理解轴对称图形的本质 — —折叠后能完全重合的图形.同时，借助先进的多媒体技术手段，旋转平行四边形进行动态展示，使学生在细致观察中逐步发现、归纳并总结出“旋转中心、旋转方向及旋转度数”这三个构成中心对称图形不可或缺的基本要素.由此可见，类比法与实操法的结合是发展学生合情推理、抽象素养与直观想象能力的重要方法.

第二步，通过类比轴对称的研究方法，探索中心对称.

师：按照以往的研究规律，当我们研究完一个图形后该干什么？

生 4：再研究两个图形之间具备怎样的关系.

师：很好，首先我们一起分析轴对称的研究方法.

生 5：把一个图形沿着某一条直线折叠，观察它能否与另一个图形重合.

笔者板书：轴对称 — —图形重合.

生 6：之前我们探索过一个图形的中心对称，那么两个图形能否构成中心对称呢？

师：这是个好问题，如何探索呢？

生 7：可以尝试用转一转的方法来探索，即将图形围绕着某定点旋转180°，观察其能否与另一个图形重合.其中的要素包括中心对称和重合性等.

师：非常好！说得比较全面.那么，中心对称与中心对称图形的概念具有什么联系与区别呢？

生 8：通过对定义与图形的观察，发现两者的主要区别在于中心对称图形针对的是一个图形，但中心对称针对的是两个图形.两者间的联系在于，若将成中心对称的图形视为整体，则该图形就是一个典型的中心对称图形.

评析 通过类比轴对称概念的形成过程，促使学生主动思考与分析中心对称概念的形成过程，深入剖析中心对称与中心对称图形的区别与联系，进而深化对概念形成基本模式的理解.在此过程中，成功提升了学生的数学类比思维与直观想象能力，为学生核心素养的全面发展奠定了坚实的基础.

3.性质研究，类比分析

本环节通过类比几何对象的研究方法，揭露组成元素与相关元素之间的关系.

师：中心对称图形概念的研究完毕后，接下来研究什么内容呢？

生9：应该研究其性质.

师：哦？你所说的性质指什么？

生 9：是指图形组成元素与相关元素之间的关系，如数量关系、位置关系等.

师：大家是否还记得，当初在探索轴对称图形性质的过程中，我们是从哪个角度或哪个方面开始着手的呢？

生10：从对称轴与对应点连线之间的关系着手，如垂直的位置关系与平分的数量关系.

师：关于中心对称图形的性质，又该从何处着手呢？

通过师生的积极互动与沟通，学生一致认为，中心对称图形性质的探究应从对称中心与对应点连线之间的关系着手.

生 11：如图 1，结合中心对称图形的概念可知，当平行四边形ABCD 旋转180°时， ∠A'OC' = 180° ，点 A，O，C 三点是共线的关系，则AO = CO . 由此可确定对应点连线（线段）不仅经过对称中心，还恰好被对称中心平分.

评析 概念研究应以组成元素与相关元素为出发点，深入剖析各元素间的数量关系与空间布局，从而揭示其本质属性.这一过程，离不开类比思想的运用.在合作交流环节中，学生借助类比轴对称图形性质的研究路径，自主探寻并掌握了研究中心对称图形性质的有效方法.由此可见，类比一般几何对象的研究过程与方法，结合定义可揭露研究对象的组成元素与相关元素之间存在怎样的数量关系与位置关系，从而有效暴露研究对象的性质.

4.知识梳理，类比提升

此环节旨在通过对教学内容与方法的深入梳理与全面总结，提炼并归纳平面几何的通性通法，从而为后续的教学活动奠定坚实的基础.随着课堂即将步入尾声，笔者邀请学生深入思考以下三个问题：

问题 1 本节课通过类比等腰三角形的轴对称性质，具体研究了哪些新内容？

问题 2 说说中心对称图形的定义、性质与研究路径，阐述中心对称的定义，并探讨其与中心对称图形之间的异同与联系.

问题 3 我们都清楚，沿着特定直线对折一个图形，能够创造出轴对称图形；而围绕某点旋转图形180°，则能得到中心对称图形 . 除了这两种方法外，是否还存在其他能够实现图形对称的操作方法呢？

评析 归纳总结具有梳理知识点、整理知识结构和提炼数学思想方法的作用.如此设计旨在从“大概念”体系统领平面几何教学，引导学生借助类比思想归纳研究几何概念的常规方法，弄清知识“由哪里来”“准备到哪里去”，为后续教学夯实基础的同时发展学生的数学核心素养.

教学思考

1.类比是一种合情的“似然”推理

类比是发现问题的有效方法之一，对学科发展具有重要意义.法国数学家拉普拉斯认为：归纳与类比是发现数学真理的重要工具.尽管当前数学研究方法越来越多，但类比法一直处于无可替代的位置.它将两个不同对象在某些方面的相似点放在一起进行分析，推导出两者在其他方面可能存在的相似点.

事实证明，类比是一种合情的“似然”推理.即便类比所得的结论可能不够精确，只要其带来的益处显著超越其不足之处，那么类比依然具有不可小觑的价值与可行性.在自然科学领域，类比方法被广泛地应用于解决诸多复杂问题.这种方法依赖于同类事物间的相似性，其影响力往往超越了它们之间的差异，从而深刻展现了类比在解决科学难题中的巨大价值.

2.类比遵循循序渐进的过程

数学，作为自然科学的一个关键分支，以其逻辑严密、循序渐进、由浅入深的特性而闻名.然而，当学生面对个别知识点时，可能会觉得定理、法则以及知识种类与结构等是抽象繁杂的.从宏观角度来分析，发现数学史的发展是循序渐进的过程，知识之间紧密相连，存在着必然的联系，无一能够孤立存在.

在教学中，教师带领学生应用类比法挖掘知识间的关系，属于普遍的类比推理过程.总体而言，此过程就是将类似的对象放在一起进行比较与联想，将一个对象已知的性质迁移到另一个相似对象上，获得其性质.初中阶段中的众多公式、法则、定理等，均源于类比法的巧妙运用，同时，解题思路的拓展亦常常遵循着由浅入深、逐步类比的逻辑路径.

例如，本节课教学将等腰三角形的性质作为起点，引导学生通过类比迁移，探索平行四边形的性质 . 在循序渐进的比较分析中，促使学生自主掌握中心对称的内涵 .该过程既遵循知识发展规律，又遵循学生认知发展规律 . 显然，类比法的应用促使深度学习真实发生.

3.“以旧引新”是数学类比的核心

建构主义学习理论认为，学生的学习是在自己原有的知识结构基础上建构对新信息理解的过程，任何新知的建构都与学生原有的认知水平相关.由此可见，数学类比就是践行建构主义学习理论的表现 . 例如，本节课教学中的每一个环节都基于学生原有的知识结构，引导学生通过新旧知识的类比，自主发现新知，并通过各种手段验证自己的发现是否合理.

总之，数学类比的应用是数学教学不可或缺的一种教学手段，它对发展学生的思维能力与探索精神具有不可估量的作用.作为一线数学教师，要结合学情与教情应用类比法，增强学生的数学学习能力，促进其可持续发展.