回归原点 探寻本质 发展素养

［ 摘 要 ］新课程背景下的中考命题常以策略性知识作为试题背景，基于高立意的视角考查学生的基础知识、关键能力与素养水平等．在教学试题时，教师要将“就题论题”模式上升至“融会贯通”模式，让学生通过探索一道题获得解决一类题的能力．研究者以一道中考题为例，分别从解题分析、回归原点与变式应用三个方面展开教学实践与思考．

［ 关键词 ］原点；本质；素养；中考题

数学例题包含了与课程相对应的知识要点，是学生实际应用新知的起点．带领学生回归到知识原点，探寻问题本质，不仅能促使学生更好地掌握“四基”，还能进一步发展学生的“四能”，让学生在探索中提炼思想方法，为发展核心素养奠定基础．日常教学中，常会发现一些学生存在解题思路狭窄，只能通过模仿解决问题，无法达到深度学习的要求．究其主要原因还在于教学例题时，教师没有充分挖掘出问题的教育价值，学生没有真正发散思维，缺乏触类旁通的学习能力．面对这些问题，应该怎么办？本文以一道中考题为例，探讨解决之法．教学实践

原题呈现 如图 1，已知矩形ABCD 中边 AB，AD 的长度分别为b，a（单位：cm） ，且 a＞b＞4 ，矩形内有一个半径为2 cm的⊙ O 分别与边 AB，CD 成相切的关系．有一个动点 P 在矩形 ABCD 的边上，沿着由 A → B → C → D 的方向匀速移动，即以点 A 为起点，运动到点 D处停止；⊙ O 在矩形内沿着 AD 匀速向右侧平移，当平移到与边 CD 相切的位置时，再匀速向左侧平移，直至与边 AB 相切停止．按照这种规律，当点 P 与⊙ O 同时开始移动，各自到达终点时所用的时间一样．

问题：（1） 用含有 a，b 的式子表示点 P 从点 A 处出发，移动到点 D处，共运动了________ cm ．

（2） 若点 P 以点 A 为起点，运动至点 B 处需2 s，继续移动，当抵达 BC 的中点时，又用了 3 s．假设⊙ O 与点 P 的运动速度是一样的，那么当点 P 由点 A 出发，按顺序移动到 BC 的中点时，⊙ O 运动的路程是多少？

（3） 如图 2，若明确 a，b 的值分别为 20 cm、10 cm，那么当⊙ O抵达⊙ O 1 时，且圆心 O 1 位于对角线BD 上， PD 与⊙ O 1 为相切的关系吗？说明理由．

1.解题探索

在中考复习阶段，大部分学生都能顺利完成前两个问题，因此本研究不展开剖析．此处主要针对第三问进行深入探索与分析，教师带领学生尝试从一次函数的解析式与圆的方程两个维度出发，通过方程组的联立，将原本难以理解的问题转化成学生所熟悉的一元二次方程存在解的问题．通过解题教学将学生的思维拉回到知识的原点，让学生通过对知识本质的探索，获得良好的解题能力，为衔接高中知识与发展核心素养奠定基础．

分析 以上解题过程主要从圆和直线相切的维度展开探索，当圆与直线之间为相切的关系时，存在唯一一个公共点，这个公共点可用“圆所相对应的解析式”与“直线相对应的二元一次方程”联立方程组之后的一个解来描述．

2.回归原点

从本题的探索思路来看，这是一个值得深入探索的问题，它具有开放、灵活等特点．只有回归问题原点，探寻问题本质，才能让学生真正领悟到数学的魅力，为形成良好的逻辑推理、直观想象等素养奠定基础．

在追溯本题根源的过程中，笔者发现教材上有这样一道例题：如图 4，已知四边形 ABCD 为一个矩形，其中边 AB，BC 的长度分别为16 cm 与 6 cm，若动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度沿着 A → B 的方向移动，到点 B 处停止运动；在同一时刻，动点 Q 从点 C 出发，以2 cm/s 的速度向点 D 处移动．过多久之后，点 P，Q 之间的距离恰好为10 cm？

观察原题与教材上所呈现的这道题，容易看出本节课探索的问题由教材上的例题改编而来，由此发现问题的母题．回归原点，本题的核心是双动点几何问题，从“动”中探寻“静”的规律为解题的关键．本题可借助勾股定理来构造一个一元二次方程解决问题．该怎样让学生通过解题完善认知结构，并提升解题能力与综合素养呢？最好的办法就是让学生真正领悟问题中所蕴含的思想方法，并在经验积累的基础上不断完善认知结构，为形成完整的知识架构奠定基础．

探寻到知识原点之后，教师可带领学生从教材内容与课标要求出发，深入探索问题本质，引导学生在求变与创新中发展“四基与四能”，为揭露本质、提升学力、发展素养奠定基础．

3.变式应用

变式是在不改变问题本质的基础上，拓宽学生思维的一种教学方式．解题教学中，变式的应用可增强学生综合分析能力，让学生学会从不同的视角观察与分析问题，灵活处理不同背景下的问题，强化各个知识模块间的关联性，为提升学力与发展素养奠定基础．

以上环节探索的是数量间的等量关系．研究变式时，可将问题关系拓展到不等关系中，以发散学生的思维，拓宽学生的解题思路．

变式1 如图5所示，已知矩形ABCD 中边 AB，BC 的长度分别为16 cm，6 cm，动点 P 以点 A 为出发

逐层递进的变式，给学生的思考带来了挑战．不等式的应用与图形的改变，进一步灵活了学生的思维，但问题本质上并没有发生变化，学生只要基于以上解题思路稍加思考，即能顺利获得结论．如此设计，意在活化学生的思维，让学生学会抓住问题本质解决问题，获得解题技巧，发展推理能力．

教学思考

1.回归原点是解题教学的基础

教材是教学的依据，从教材中能探寻到中考试题的原型．当教师在与学生探讨一些综合性的问题时，可带领学生回归教材，通过对教材原题的分析与探讨，增强学生的理解程度，此为解题教学的基础．本节课所应用的例题为一道中考真题，从题干信息来看，问题确实有一定的难度．在学生的认知中，动点问题本身就很复杂．本题在动点问题的基础上增加了动圆，使问题难度大幅提升，很多学生看到就想放弃．怎样降低问题的难度，让学生获得良好的解题技巧呢？对此，教师带领学生回顾教材中两个动点问题，即引导学生回到问题的原点．这种回归原点的教学方法，为学生的思维搭建了脚手架．随着变式的应用，学生对这一类问题有了突破性的认知，此为解题技能融会贯通的过程，对发展学力具有重要价值．

2.探寻本质为解题教学的关键

数学思维的原点是感知，解题的基础就是要充分感知条件所生成的信息，感知图形所隐含的结论．探寻数学本质对数学教学来说至关重要，尤其对解题教学而言，揭露数学本质可让学生更好地掌握解题技巧，为形成“四基与四能”“三会”能力奠定基础．本节课，在一道中考真题的驱动下，学生积极开动脑筋，展开探索与分析，不仅开阔了视野，也有效发散了思维．为了增强学生的应用意识，教师与学生一起研究母题与变式，将问题的本质暴露在学生面前，促使学生形成良好的解题能力．

3.发展素养为解题教学的目标

新课标背景下的数学教学必然将核心素养的发展作为教学的导向，不论是新知教学，还是解题教学，抑或是试卷讲评，时刻都需关注学生核心素养的发展．本节课的解题分析环节，有效发展了学生几何直观、推理能力、数学运算等素养；其他几个环节，同样致力于提升学生的学力，尤其注重培养学生的数学思维品质与关键能力，并取得了不错的效果．