PBL教学模式下高中统计教学的探索与实践

［摘  要］ 研究者以“随机抽样（第一课时）”为例，从教学设计的思路、情境创设的可行性以及教学设计应遵循的原则三个方面出发，探讨在PBL教学模式下高中统计课程的教学策略.

［关键词］ PBL教学模式；高中统计教学；随机抽样

随着大数据时代的发展，统计思维已经成为公民必备的基本素养. 统计学方法在相关领域的应用，已经成为数学应用的主要方法之一. 高中阶段的统计学有别于其他知识，它需要结合案例，由具体问题驱动学习，克服概念和方法的抽象性带来的理解困难. 学生在具体案例的完整解决中，经历统计分析的基本过程，体会用统计方法对实际问题进行科学决策的必要性和可行性［1］. 新教材和新高考要求学生能够在真实情境下运用数学知识，解决实际问题. 《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式［2］. 在这样的背景下，传统的教学方法缺乏与学生的有效互动，不利于激发学生的自由探索精神和创新勇气，难以满足当前高中统计教学的需求. 因此，课堂转型迫在眉睫. PBL教学模式为解决上述问题提供了一个有效途径. 本文以“随机抽样（第一课时）”为例，探讨在PBL教学模式下高中统计课程的教学策略.

PBL教学模式的内涵与特点

Problem Based Learning，简称为PBL，是一种以问题或项目为导向的教学模式. 该模式强调学生的主导地位和教师的引导作用，依托真实生活情境，设计问题串. 它以小组合作为主要学习方式，采用多元化的评价体系，致力于培养学生的问题解决能力和创新能力［3］.

PBL教学模式主张教学内容围绕问题的生成、探究、感悟展开. 教师通过“引”“问”“导”帮助学生构建知识体系. 学生通过提问探究、独立思考、小组讨论等方法，对知识进行“思”“探”“悟”，从而将感性认识逐步提升至理性认识. 同时，在数学课堂中融入数学学科核心素养和数学思想方法，提升数学教育的育人价值. 他们之间的相互关系如图１所示.

基于PBL教学模式的“随机抽样（第一课时）”设计思路

本节课以“设计抽样调查方案”这一小组合作项目为教学核心，“向外”整合已有的抽样调查实践经验，“向中”紧密联系随机抽样的各个知识点，“向内”整合表层知识，构建统计学习的基础思维框架. 思维方法是把实际问题与生活经验抽象为数学问题和数学知识，再从数学角度解决问题. 不同于教科书的教学设计，本节课将“放回”与“不放回”简单随机抽样的理解难点融入小组合作项目中，设计的教学主线如图2所示.

本文对本节课所设定的情境、问题以及教学目标进行了可行性分析，详细内容请参见表1.

基于PBL模式的教学设计原则与课堂实践

泰勒在他的经典著作《课程与教学的基本原理》中提到，连续性、顺序性和整合性的标准，是适用于学习者的经验. 连续性强调学习者以往学习经验与新知的衔接；顺序性强调学习者的认知发展；整合性强调知识的融会贯通与学习者有关的所有要素的统一［4］. 接下来，笔者结合高中统计起始课的课堂实践，分析PBL教学模式下教学设计的原则.

1. 整体系统与思维发展相结合的原则

为了帮助学生从初中阶段的描述性统计思维转变为高中阶段的推断性统计思维，理解数据的随机本质，并加深对统计方法的整体感知，走出“原有知识激活不良、新知识迁移不良”的困境［5］，我们构建了本节统计起始课的情境1，教学实录如下：

师：同学们，四年一度的世界杯比赛目前正在卡塔尔激烈展开. 最终，哪支球队将举起大力神杯？许多专家利用大数据技术进行了预测. 接下来，请大家观赏一位UP主利用AI技术进行预测的视频. 这种基于统计学的预测方法，其准确度究竟如何呢？

生1：他的预测并非百分之百准确，但他利用了一百年的数据，样本量极为庞大，按理说应该具有较高的准确性.

生2：我认为，正是由于长达一百年的数据，导致了预测结果的不准确. 因为一百年的时间跨度过于久远，期间人类的身体素质和竞技水平有了显著提升，继续使用旧数据已不再具有代表性.

教师评价 两位同学分析得都很到位，虽然样本量极为庞大，但样本数据并没有代表性，这是预测不准确的原因之一. 另外，统计分析本身具有随机性，做不到百分之百准确.

师：经过初中的学习，我们知道，统计分析是怎么样的一个过程？

生3：获取数据、分析数据、做出预测.

师：我们正处于一个信息爆炸的时代，时刻都在与各种各样的数据打交道. 正确地利用这些数据进行决策，正是我们学习统计学的核心意义. 现在，让我们先学习如何获取数据.

教学设计的起点应当是整合而非孤立的知识或经验，避免将知识碎片化. 以AI预测世界杯为例，这一情境旨在激发学生对统计预测的兴趣. 一些学生凭借直觉认为，大量样本将提高预测的准确性；而另一些学生则展现出更深层次的思考，他们意识到样本量大并不等同于样本质量高，只有具有代表性的样本才是好样本. 数据的随机性构成了高中统计学的核心内容，教师需要在适当的时候加以强调. 利用这一情境所蕴含的统计学知识，教师能够引导学生从初中统计过渡到高中统计的学习，从而构建起一个完整的知识体系和统计思维模式.

2. 情境体验与活动交互相结合的原则

情境认知理论认为，学习活动的展开基于它所处的具体情境；知识的传递和迁移的发生也要基于复杂的、多变的情境. 合适的情境能激发学生的学习动机，积极的情感有助于促进学生数学思维的全面发展，并引领他们自主体会情境创设的价值所在. 师生积极主动地投入数学活动，交互对话与思维碰撞势必产生新的疑惑，伴随着新问题的产生，又会卷入新一轮的情境体验中［6］. 例如，在本节课的情境3与情境4中，学生在确定抽样方案和探究摸球模型时不断讨论和辩论问题，教师则在旁适时地提供引导. 通过这种方式，学生自然而然地掌握并理解了简单随机抽样的方法与原理. 以下是情景3的课堂讨论与交互协商实录.

师：最近，我校一年一度的学代会“生生不息”提案进入了展示阶段. 为了中国足球的崛起，有同学向学校提交了增加课外活动时间的提案，但是还需要有调查数据作为支撑. 请问，我们应采取哪种调查方式来获取数据更为合理呢？

生4：抽样调查.

活动：本校共有2100名学生，为了了解同学们除体育课外的体育活动时间情况，请你设计一种抽样方案，从中抽取一个容量为130的样本.

思考1：如何抽样？

思考2：为什么这样抽样？

思考3：如何实现抽样过程？

学生的典型答案如表2所示.

对于思考1，大多数学生已经能够描绘出分层抽样与系统抽样的基本框架. 此时，教师进行了总结：这些抽样方法的本质是从含有N个（N为正整数）个体的总体中，逐个抽取n个（1≤n<N）个体作为样本，这就是简单随机抽样的概念. 接下来，我们将探讨分层抽样的合理性.

对于思考2，学生的回答更具普遍性，他们考虑到了不同年级和性别对抽样结果的影响. 此时，教师引导学生运用数学语言进行表述，并强调抽样原则应确保样本具有代表性、易于操作且效率高.

对于思考3，学生的思考仍停留在简单操作层面，没有触及随机抽样的步骤. 教师与学生在平等的氛围中进行了探讨：如何利用信息技术从全校学生中随机抽取130人？在人数较少的情况下，我们通常采取哪种抽样方法？在抽签法中，摇匀的目的是什么？抽签法的实质是什么？有哪些方法可以改善抽签法的局限性？若缺乏信息技术支持，我们能否生成1～721之间的随机数？参照教师绘制的抽签法流程图，指导学生绘制出通过摇匀生成随机数的流程图（见图3）.

佐藤学教授指出：好的学习是一种“互惠的学习”，即学习应当成为师生之间、生生之间互惠互利，不断分享经验、知识与智慧的过程［7］. 从上述教学过程可以看出，当积极的情境体验与有效的学习活动相互促进时，学生更容易掌握数学的推理、表达和认知方法.

3. 问题探究与展示教学相结合的原则

PBL教学模式下的课堂教学重视学生对问题探究的参与度. 展示教学是指在教学过程中创设平等的氛围，让学生展示自己的探究思路、方法及结论. 在统计教学中，数学实验作为一种有效的展示手段，可以充分发挥其优势，帮助学生理解统计数据的随机性本质，以及为何通过随机抽样得到的样本数据具有可靠性. 以下是情境4的教学实录.

师：抽签法和随机数法在日常生活中被广泛应用，它们都能通过样本数据来反映总体的情况. 那么，采用这两种方法的依据是什么呢？换言之，为什么用抽签法和随机数法抽取的样本数据能很好地反映总体的情况？

活动：假设一个口袋里装有红色和白色小球共1000个，这些小球除颜色外，其大小、质地完全相同. 你能通过抽样调查的方法估计这个口袋里红色小球的占比吗？

学生提出的方法主要有两种：

①随机摸取一个球，记录其颜色后将其放回，然后再次摇匀摸取，重复此过程n次. 根据初中所学的概率知识可知，随着摸取次数的增加，频率会逐渐趋近于概率. 通过这种有放回的摸取方法，可以估计出红球的占比（具体实验及其结果如图4所示）.

②不放回摸球，即一次性摸取n个球（另一种说法为不放回地逐个摸取n次），然后统计其中红球的个数，以此估计口袋里红球的占比（具体实验及其结果如图5所示）.

不放回摸球的同学质疑放回摸球的同学：在放回摸球的情况下，理论上存在连续n次摸到同一个球的可能性.

放回摸球的同学回应：这种情况极为罕见，实际上可以忽略不计. 毕竟我们是在做概率估计，而你们不放回摸取的方式，会让人感觉每个球被抽中的概率不均等，我认为这并不合理.

不放回摸球的同学回应：我认为我们的方法之所以合理，在于我摸球1000次，结果是完全准确的. 如图6所示.

师：放回与不放回摸球都是合理的，就如同抽签法与随机数法，一个是放回的，一个是不放回的. 我们可以通过调整红球个数与摸球次数，利用这个小程序来执行多次数学实验以进行验证.

经过多次放回与不放回摸球实验发现，样本估计值能够稳定在真实值附近，这就是随机性爆破，说明我们所采用的抽样方法是可靠的. 学生借助计算机进行数学实验，并进行展示与说明，教师借此机会洞察学生的思维过程，以增强数学思维的可理解性［8］.

结语

问题解决是思考的起跑点，情境内化是素养的发动机，反馈交流是学习的催化剂. 在PBL教学模式中，学习活动旨在帮助学生成为自我驱动的学习者. 他们对知识的渴望激励着他们不断探索、质疑、反思和总结. 而教师的引导、启发和评价则旨在促进学生的感知、体验和参与，推动学生数学理性思维的成长，助力学生数学学科核心素养的提升，培养学生自主学习能力. 我们不难发现，当PBL教学设计遵循上述原则时，它本质上就是一种“基于理解、追求理解”的教学设计，这正是数学教学的魅力所在［9］.

参考文献：

［1］ 张唯一. 呈现数据分析的基本过程，体现数据分析方法的合理性：人教A版普通高中数学教科书必修第九章“统计”编写思考［J］. 中学数学教学参考，2020（25）：15-19.

［2］ 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ Barrows H S．A taxonomy of problem-based learning methods［J］． Medical Education，2010（６）.

［4］ 泰勒. 课程与教学的基本原理：英汉对照版［M］. 罗康，张阅，译. 北京：中国轻工业出版社，2014.

［5］ 李春兰，董乔生，张建国. 建构主义知识观视角下反思性学习的困境与突破［J］. 教学与管理，2020（9）：14-16.

［6］ 王灿明. 情境教育四十年的回顾与前瞻［J］. 南通大学学报（社会科学版），2020，36（2）：132-140.

［7］ 佐藤学. 静悄悄的革命：课堂改变，学校就会改变［M］. 李季湄，译. 北京：教育科学出版社，2014.

［8］ 郑毓信. “数学与思维”之深思［J］. 数学教育学报，2015，24（1）：1-5.

［9］ 刘师妤. 高中数学协商式主题教学研究［D］. 华中师范大学，2021.