“三新”背景下的高中数学教学困境与应对措施

［摘  要］ 随着新课改的推进，“三新”对“概率统计”提出了更高的要求：新课标提出了数据分析核心素养，新教材充实了教学内容，而新高考则展现了更大的灵活性. 但从一些调查结果来看，当前的课堂教学仍存在一些不足. 研究者从认知、情境和衔接三个方面进行了深入分析，并提出了应对措施.

［关键词］ 三新；概率统计；教学困境；应对措施

“三新”改革背景

随着新一轮课程改革的深入实施，新课标、新教材和新高考均发生了一些变化. 新课标提出了六大核心素养. 其中，数据分析核心素养的落实与培养任务主要由“概率统计”这一章节承担.

在探讨新教材的变更时，笔者对人教A版教材的旧版与新版进行了对比分析，详见表1. 新版教材不仅删减了众多知识点，还移除了两本选修教材内容. 然而，它也增添了一些内容，这些新增内容主要归纳为以下三个方面：（1）新增了概率统计章节的知识内容；（2）丰富了概率统计章节的背景知识，例如详细解释了相关系数、独立性检验的由来，利用最小二乘法推导线性回归方程，等等；（3）新增了一些特色板块.

在新课标、新教材的指引下，新高考也发生了一些变化. 如表2所示，笔者对2021年和2022年的高考考点做了一个对比分析. 从表中可以看出，新课标卷与全国卷的考点有所不同. 全国卷仍然注重考查常规的线性回归分析模型、独立概型、独立性检验等，而新课标卷则更加注重考查新课标、新教材新增或加强的内容，以及实际生活与大学数学模型的结合. 此外，笔者还选取了代表性较强的“四省联考卷”进行考点分析发现，该卷中的概率计算题也具有大学数学相关背景知识.

由此可见，对于概率统计，新课标提出了更高的要求，新教材提供了更丰富的案例与讲解，新高考逐渐转变了考查方向. 因此，为了更好地适应“三新”的变化，一线教师应该做更多的教学研究与思考.

当前教学中的困境

从整体上来讲，“概率统计”章节的教学情况不太好. 李健［1］做了一项面向全国的问卷调查，结果显示：仅有30.6%的教师认为其概率统计教学情况较好，而69.4%的教师则在教学中面临着不同的困境. 同样的，李勇［2］等人也针对教师知识储备情况做了一项调查，结果显示：教师的概率统计知识储备严重不足，80%以上的教师对大部分基本概念的认识都处于模糊状态，理解深度不够，缺乏用这些概念答疑解惑的能力，影响教学效果. 由此可见，目前概率统计教学仍存在一些不足，笔者将其归纳为三个方面.

1. 认知困境：对概念、公式理解与记忆不深刻

概率统计中有大量的概念、公式、原理，例如互斥、对立、独立等概念，条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、卡方公式等，也有残差分析、最小二乘法、独立性检验等原理. 但从李健的调查结果可以看到：学生对这些内容的认知经验较少，对概念与公式的理解不到位，从而导致记忆不深刻，多为死记硬背，这属于认知层面的困境.

产生这种困境的原因是什么呢？主要是因为课堂教学中缺少对这些概念、公式、原理的背景介绍. 例如概率部分的方差公式D（X）=E（X2）－（E（X））2，学生记不住，主要是因为教师直接提供了公式，而没有进行推导或证明. 再例如相关系数、回归直线方程、卡方公式等，这些背景知识属于了解性知识，基本不要求掌握，在考试中通常会以参考公式的形式提供. 因此，大部分教师为了提高教学效率，常常选择跳过某些阶段，转而专注于培养学生运用公式解题的技巧.

这样的教学方式，看似高效，实则导致教学丢失了一个重要环节，学生不了解知识的背景，从而形成了认知困境.

2. 情境困境：教学内容缺乏现实情境

新课标指出，要进一步加强数学知识的情境化. 概率统计是高中数学中与生活联系最为紧密的一章，大量的概念、公式都与实际生活相关，例如小概率事件、全概率公式、正态分布、独立性检验等. 因此，这一章的教学理应与实际生活相结合，既有利于学生的理解与记忆，也增加了课堂的趣味性.

这样的教学方式，更多地关注学生运用公式解题的能力，而淡化了公式的现实背景，使得课堂教学缺乏情境性、趣味性，不利于学生的理解与掌握.

3. 衔接困境：与大学数学衔接不足

由于概率统计与现实生活联系紧密，新课改也在强化该章节的内容，因此近年来，大学数学中的一部分概率统计知识也开始下放到高中数学中.

从教材来看，条件概率虽是旧教材的内容，但考查分量越来越重，考查频次也越来越高. 全概率公式、贝叶斯公式、分层抽样的期望与方差公式等都是大学数学下放到新教材的知识内容，占据较大篇幅，且在新高考中的地位较重.

但目前的课堂教学与大学数学的衔接程度还不够，存在衔接困境. 李健的调查结果也表明：基础教育与高等教育存在脱节现象，仅有约15.29%的教师认为较好地掌握了概率统计的相关背景知识.

课堂教学困境的应对措施

从上述分析可以看到，目前课堂教学仍存在一些不足. 基于以上不足，教师究竟该如何开展概率统计的教学呢？笔者认为可以从以下三个方面着手.

1. 充分挖掘教材，提高学生的认知水平

鉴于学生的认知困境，教师在教学中应当加强对背景知识的介绍，从而提高学生的认知水平. 新教材中有大量介绍相关背景知识的篇幅，因此，充分利用教材是一个有效提高学生认知水平的途径.

例如，前面提到的方差公式D（X）=E（X2）－（E（X））2一直是学生记忆的难点，学生不理解为什么两个期望值可以计算方差. 人教A版选择性必修三教材从定义出发进行了推导：

虽然计算过程相较于方差而言更复杂一些，但通过阐释最小二乘法的原理，成功解答了学生心中的疑惑. 因此，充分利用教材，挖掘教材中的相关背景信息，有利于提高学生的认知水平，加深对公式的理解与记忆.

2. 应用生活案例，增设现实情境

鉴于课堂的情境困境，在教学中，教师应当融入更多的生活化元素，增设现实情境，提高课堂趣味性，从而加深学生的理解.

理解小概率事件始终是一个挑战，学生往往只是机械地应用结论“若小概率事件发生，则表明系统可能出现了问题”，却未必明白其背后的原因. 在课堂教学中，笔者通过分享与A教师的一段对话，阐释了什么是小概率事件.

它的本质就是分类思想，由于优质产品源于三个不同的电商平台，这些电商平台的市场占有率和优质产品率不同，因此可以将他们分为三类进行讨论，计算的是综合市场占有率和优质产品率的加权优质产品率. 通过这样的讲解，结合生活实例，学生很快就理解了全概率公式的本质，也很快记住了它的形式. 因此，充分挖掘生活中的实例，增加现实情境，增添课堂趣味性，更有利于学生理解与记忆.

3. 研修大学概统，衔接高中数学

鉴于教学中的衔接困境，作为一线教师，应当加强对大学知识的研修与学习，并将相关思想与方法教给学生，做好高中与大学的衔接. 以前面谈到的四省联考为例：

本题是结合生物中的“标识重捕法”设计的，第（2）问考查的是超几何分布的计算与最大概率分析. 面对该题，学生不禁问道：为什么以P（X=15）为标准计算N的值，而不是P（X=16）等其他值呢？事实上，这个背景知识在大学概率统计中被称为“极大似然估计”.

极大似然估计原理解释为：一个随机试验可能产生多个可能的结果A，B，C，若在一次试验中，结果A出现了，那么可以认为该试验条件对A的出现有利，即出现A的概率P（A）较大. 举例来说明：设甲箱中有99个白球，1个黑球；乙箱中有1个白球，99个黑球. 现随机取出一箱，再从中随机取出一球，当结果是黑球时，我们更愿意相信该球取自乙箱. 这是因为，从乙箱中抽到黑球的概率远大于甲箱，我们更愿意相信发生的是概率较大的事件.

从公式中可以看到，总样本方差并非各层样本方差的加权平均值，还有一个附加项. 通过这样的推导，学生对分层抽样的理解更为深刻.

大学数学知识正在逐步下放到高中数学中，通过研修大学知识，可以学到更多的背景知识，再传授给学生，帮助学生加深对相关概念、公式的理解.

结语

随着新课改的推进，新课标、新教材、新高考对高中数学教学提出了更高的要求. 为了全面提升学生的核心素养，一线教师应当及时解读政策，更新自己的教学理念，不断研修专业知识，研读教材，以提升自身的专业能力；坚持细心观察生活、积累素材，以提升自身的教学技能.

参考文献：

［1］ 李健，甄祎明. 高中数学教师的概率统计教学：困境与对策［J］. 基础教育课程，2021（20）：76-80.

［2］ 李勇，章建跃，张淑梅，等. 全国重点高中数学教师概率统计知识储备现状调查［J］. 数学通报，2016，55（9）：1-9.