跨学科项目式学习视域下的高中数学建模教学
作者： 梁刚
［摘 要］ 跨学科项目式学习更注重学生能力的培养、学生学习兴趣的激发和学生数学学科核心素养的落实. 研究者以“铅球投掷问题”为例，通过跨学科项目式学习引导学生对“铅球投掷问题”进行数学抽象，构建数学模型，使学生深刻理解数学模型在解决实际问题中的重要性，培养学生的模型意识，发展学生的数学学科核心素养.
［关键词］ 跨学科式项目学习；数学抽象；数学模型
新课标明确指出，教学中应积极推行主题化、项目式学习等综合性教学活动，以实现教学从过去单一的“学科”知识传授向更能激发学生综合素养和能力的“跨学科”课程育人方向转变. 将跨学科项目式学习方法融入高中数学教学中，有助于促进深度学习，培养学生综合探究、运用知识、团队合作以及有效沟通的能力. 数学建模是将现实问题数学抽象化，通过数学语言表述问题，并运用数学方法构建模型以解决实际问题的过程，它是一种综合性的实践活动. 数学建模活动与项目式学习在教学内容、目标以及评价方式上存在诸多相似之处，因此，在高中数学建模教学中融入项目式学习方法是科学且合理的. 以“铅球投掷问题”为例，笔者引导学生体验完整的数学建模流程，让学生领略数学模型在解决实际问题中的魅力，同时培养学生对数学建模的认识，并提升他们运用数学知识解决实际问题的能力.
教学分析
1. 知识背景
铅球投掷模型是将铅球运动简化为质点的抛物线运动，忽略空气阻力、铅球特性、运动员动作等次要因素，通过物理运动学原理构建出用于预测投掷距离的数学模型. 该模型涉及三角函数、参数方程以及物理学中的抛物线运动理论，而且这种模型还可拓展应用于篮球投篮等其他投掷类问题，具有重要的研究价值.
2. 教学目标
（1）深入探索三角函数在日常生活中的实际应用，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；
（2）引导学生在问题驱动下自主探究影响铅球投掷距离的主要因素，掌握构建函数模型的基础技巧，培养学生的创新思维，提升学生的综合能力；
（3）通过亲历数学建模的整个过程，提升学生的数学建模技能，深刻理解数学的应用价值，并培育学生的数学应用意识.
3. 教学重点与难点
（1）提炼影响铅球投掷距离的主要因素，并构建三角函数模型；
（2）数学模型的应用.
教学过程
1. 提出问题
在课前，教师指导学生以小组形式搜集与数学和体育运动相关的资料. 课堂上，学生首先进行分享，接着教师提炼出有价值的信息，并引出本节课的研究主题——铅球投掷问题.
师：若从数学的角度来看，你认为我们研究的主要对象是什么？
生1：铅球的投掷距离.
师：你认为哪些因素会影响投掷距离？
生2：运动员的身高、出手速度、出手角度以及投掷时的推力.
生3：还有风速和铅球的重量.
……
师：影响投掷距离的因素有很多，全面考虑这些因素是非常困难的. 因此，我们必须识别出影响投掷距离的主要因素. 请大家思考并讨论一下，哪些因素是影响投掷距离的主要因素呢？
在教师的启发与指导下，学生通过思考和交流，归纳出影响铅球投掷距离的主要因素是出手角度和出手速度.
设计意图 从现实生活出发，引导学生从物理学和数学的角度提炼影响铅球投掷距离的主要因素，为构建数学模型奠定基础. 在此过程中，教师通过设计层层递进的问题引导学生深入思考，充分调动了学生参与课堂的积极性，激发了他们的思维活力.
2. 模型假设
师：经过刚才的分析，我们已经确定了两个主要影响因素：出手角度和出手速度. 除了这两个主要因素，其他一些主客观因素也对结果有所影响. 为了简化研究，我们需要对这些因素做出一些假设，以便排除次要因素的影响，构建数学模型. 基于我们现有的知识和生活经验，你认为应该设定哪些条件限制呢？
学生首先在小组内进行讨论，随后在小组间交流，汇聚大家的智慧，总结并归纳出合理的意见，最后进行展示.
生4：空气阻力是一个客观存在且无法避免的因素. 因此，在研究过程中，我们应当忽略空气阻力对铅球运动轨迹和投掷距离的影响.
生5：由于铅球具有一定的体积，在测量投掷距离时可能会产生误差. 因此，在测量时我们应忽略铅球的体积，将其视为一个质点.
生6：影响铅球投掷距离的主要因素是出手速度和出手角度. 为了简化研究，我们应当假设这两个因素是相互独立且互不影响的.
设计意图 教师引导学生深入探讨主客观因素，并对这些因素提出假设，以使建模过程更加科学和合理. 同时，在这一过程中，教师注重引导学生阐述假设的理由，以此来培养他们思维的严谨性.
3. 模型构建
师：结合你们的知识和生活经验，你们认为“投掷铅球”这个问题可能与哪些学科的知识有关？
生7：可能涉及物理学中的抛物线运动.
生8：还有数学中的二次函数知识.
师：请结合物理课上所学的相关知识，谈谈我们是如何研究抛物运动的.
生9：化曲为直，将其分解成两个运动：一是水平方向的匀速直线运动；二是竖直方向的自由落体运动.
师：若要运用数学知识来研究这一问题，首先需要将其转化为一道数学问题. 你打算如何进行转化呢？
生10：如图1所示，铅球从距离地面h高度抛出，已知抛出的初始速度为v，出手角度为θ，求投掷铅球的距离.
师：很好，求投掷铅球的距离实际上就是研究铅球在水平方向上的位移距离. 若要计算水平位移距离，你认为可以运用哪些知识来求解？
生11：设铅球运行的时间为t，点P（x，y），结合三角函数知识易得x=t·vcosθ.
师：可见，影响水平位移距离的因素不仅包括速度和角度，还包括时间. 然而，时间作为一个无关变量，我们需要将其消除. 为了消除时间的影响，我们必须寻找另一组与时间相关的数量关系. 你能否找到这组关于时间的数量关系呢？
4. 模型应用
教师利用几何画板画出x关于θ的函数的部分图象（如图2所示），接着使用几何画板展示当θ=41.6°时，x关于v的函数的部分图象（如图3所示）.
师：观察图象，说说你发现了什么.
生15：当出手角度固定时，出手速度越大，投掷距离越远.
设计意图 教师通过数形结合的方式，引导学生体会出手角度和出手速度对铅球投掷距离的影响，从而培养他们的直观想象能力. 在此过程中，教师还指导学生深入分析表1中的数据，使学生认识到出手速度的变化对铅球投掷距离的影响大于出手角度的变化，进而培养学生的数据分析能力和科学严谨的学习态度.
结束语
数学建模在培养学生数学思维、数学应用能力、数学学科核心素养等方面有着重要的作用. 在高中数学教学中，教师要创造机会让学生经历数学模型建构过程，让学生掌握数学建模的一般思路与方法，以此提高学生数学建模素养，提高学生数学实践能力［1］.
总的来说，数学建模的深入发展并非一朝一夕之功，它需要在实践中不断探索、验证. 只有亲身经历数学建模的全过程，学生才能真正掌握其方法，从而有效提升综合能力和素养.
参考文献：
［1］ 米秀旭.学科融合的数学建模资源开发：以“种群数量变化研究”为例［J］. 中学数学教学参考，2023（31）：75-78.