类比视角下的概念教学应突出“生本”理念
作者： 孙加博
［摘 要］ 类比思想是串联新旧知识的纽带，是数学发现的重要源泉. 实践证明，在数学教学中适时应用类比思想，可以提升学生参与课堂的积极性，还可以提高学生的创新思维以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，促进学生能力与素养的全面发展.
［关键词］ 类比思想；数学发现；创新思维能力
数学概念是构建数学知识体系的核心，数学概念教学是数学教学的重中之重. 在高中数学概念教学中，部分教师强调学生学习时记忆概念，解题时套用概念，训练时强化概念，忽视概念的形成过程，忽视“生本”价值，使得学生对概念的理解不够深刻，影响概念教学效果［1］. 为了改变这一局面，教师应当巧妙地引导学生利用类比方法，有效地沟通新旧知识之间的联系，激发学生的主动学习精神，帮助他们深刻理解并牢固掌握相关概念. 在教学“等比数列的概念”时，笔者引导学生类比等差数列相关知识，在激发学生学习积极性、发展学生数学思维、提高学生自学能力等方面取得了较好的效果. 现将教学设计过程分享给大家.
教学分析
1. 内容分析
数列是高中数学的重点内容之一，也是高考的重要考查点，其在生活中有着广泛的应用. 在学习本节课之前，学生已经系统学习了等差数列的概念、通项公式及前n项和，这为等比数列的学习提供了知识支持和方法保障. 在本节课教学中，教师应重视引导学生类比等差数列相关知识，逐步揭示等比数列概念的形成过程，以此有效激发学生的数学学习兴趣，促进知识的理解与深化，进而提高学生的自主学习能力.
2. 教学目标
（1）引导学生理解并掌握等比数列的概念，探索并归纳出等比数列的通项公式，从而能够应用概念、公式解决简单的问题；
（2）渗透类比、函数、方程、一般与特殊等数学思想方法，着重培养学生数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；
（3）引导学生通过经历观察、归纳、猜想、类比等活动，体验知识形成的过程，充分激发学生的主体性，培养学生勇于探索、敢于创新的精神.
3. 教学重点和难点
（1）等比数列概念的形成及通项公式的初步应用；
（2）等比中项的定义及其相关公式；
（3）推导等比数列的通项公式.
4. 教法理念
在教学中，教师应始终秉持“以教师为主导，以学生为主体”的教学理念，合理创设问题情境，引导学生经历知识形成的过程，最大限度地发挥学生的主体作用，构建“生本”课堂.
教学过程设计
1. 巧用类比方法，理解等比数列概念
环节1 温故知新，承上启下.
问题1 前面我们学习了等差数列，我们主要研究了等差数列的哪些内容？
师生活动：教师提出问题，激发学生回忆、思考并作出回应.
设计意图 引导学生回顾等差数列相关知识内容，如等差数列的概念、等差数列的通项公式等，从而为新知学习提供研究路径与方法.
环节2 创设情境，引入新课.
情境1 教师简述棋盘故事，引导学生思考每个格子里的麦粒数依次是多少.
预设：学生得到数列1，2，22，23， 24，…，263.
情境2 《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”你是如何理解这句话的？若用数学的眼光来观察，将“一尺之棰”的长度看成“1”，你能得到怎样的数列？
情境3 小明妈妈存入银行a元，存期5年，年利率为r，那么，按照复利计算，她每年年末能得到的本利和分别是多少？
预设：部分学生由于不理解“复利”而无从下手，教师先让学生口述对“复利”的理解，然后提供解答. 在教师的启发和帮助下，学生逐渐理解题意，从而轻松解决问题，得到数列a（1+r），a（1+r）2，a（1+r）3，a（1+r）4，a（1+r）5.
设计意图 以现实生活情境为背景，引导学生通过对比理解相邻两项之间的关系，自然而然地引出等比数列的概念.
环节3 类比探究，生成概念.
问题2 分析上述情境问题，你认为通过何种运算可以揭示这些数列的取值规律？
师生活动：学生通过观察易于发现，利用除法运算可以揭示数列的取值规律：从第二项开始，每一项与其前一项的比值恒等于一个常数.
问题3 类比等差数列的概念，你能给等比数列下定义吗？
师生活动：学生通过类比推理得到等比数列的概念，随后教师加以完善，并将其板书展示.
追问1：你能否用数学符号语言来表示等比数列的概念呢？
追问2：公比q的取值范围是什么？
设计意图 基于等差数列的原理，通过类比推理引出等比数列的概念，使学生深刻体会到数学知识间的内在联系. 同时，在此过程中，教师以学生为主，引导学生亲历概念的构建过程，并通过追问帮助学生理解概念，从而让学生深刻领会知识的完整性，培养他们思维的严密性［2］.
环节4 巩固练习，理解概念.
问题3 根据等比数列的定义，判断以下数列是不是等比数列. 如果是，请求出其公比；如果不是，请说明理由.
（1）1，3，9，27，…；
（2）4，-8，16，-32，…；
（3）1，0，1，0，…；
（4）3，3，3，3，3，…；
（5）x，x2，x3，x4，….
题目给出后，教师预留一段时间让学生思考，随后展示学生的思考过程.
生1：（1）是等比数列，其公比是3.
生2：（2）是等比数列，其公比是-2.
生3：（3）不是等比数列，因为它不满足q≠0这一条件.
生4：（4）是等比数列，其公比是1.
生5：（5）不一定是等比数列，若x≠0，则该数列是公比为x的等比数列；若x=0，则该数列不是等比数列.
师：大家说得非常好. 结合以上练习，请说说你的发现.
生6：等比数列的公比可正、可负，但是不能为0.
师：还有其他发现吗？（生不语）
师：请列举几个常数列，说说你的发现.
生7：常数列既是等差数列，也是等比数列.
师：还有其他补充吗？
生8：因为等比数列的公比不能为0，所以这里应该加上限定条件，即非零的常数列.
设计意图 通过上述练习进一步帮助学生深化对等比数列概念的理解，掌握求解公比的技巧，并提升运用新知分析和解决问题的能力. 在此过程中，教师通过适时的追问引导学生思考和总结，充分调动学生的主观能动性，这有利于提升学生的数学能力和素养.
2. 巧用类比方法，理解等比中项概念
问题4 在研究等差数列的过程中，我们知道了等差中项的定义. 通过类比，你认为等比数列中是否也存在类似的定义？如果存在，该如何定义、如何表示呢？
师生活动：教师先让学生阐述等差中项的定义，随后通过类比引导学生得出等比中项的定义.
追问1：在2与8之间插入一个数4，这样构成的数列是否为等比数列？4是不是2和8的等比中项？
追问2：在2与8之间插入一个数 -4，这样构成的数列是否为等比数列？-4是不是2和8的等比中项？
追问3：基于上述分析，类比等差数列中项公式，你能推导出等比数列中项公式吗？
设计意图 以学生已有的知识为起点，引导学生运用类比、特殊与一般等数学思想方法自主归纳和总结等比数列中项的定义及公式，从而提升他们的归纳概括能力，以及逻辑推理、数学抽象等素养.
3. 巧用类比，推导等比数学的通项公式
设计意图 指导学生探索题目内含的一般规律，引领学生以联系的视角深入思考，这有助于推动学生高阶思维能力的提升，并有助于学生归纳总结、逻辑推演等关键素养的培养与巩固.
4. 巧用类比，凸显函数本质
设计意图 数列是一种特殊的函数. 在教学中，教师引导学生从函数的角度审视等比数列，将等比数列与指数函数联系起来，让学生感悟数学知识间的内在联系，以完善和优化个人的知识结构.
4. 课堂小结，构建知识体系
问题9 本节课我们研究了哪些内容？是如何研究的？你有哪些收获？
师生活动：教师首先安排时间让学生分享他们的思考与见解，随后将等差数列和等比数列的相关内容整理到表格中，以此加深学生的理解与记忆，提升学生总结归纳的能力.
教学设计思考
类比思想方法是数学中最基础且至关重要的思考方式，它可以将新旧知识串联起来，帮助学生运用已有经验解决新问题，获得新能力. 在高中数学教学中，教师作为课堂活动的引导者，应有意识地引导学生将新知识与他们已有的知识经验进行类比. 这不仅有助于学生触类旁通，培养其思维的灵活性和深度，还能激发他们探索未知领域的兴趣，从而点燃创新的火花. 同时，它还能提升学生分析问题和解决问题的能力. 在本节课的教学设计中，类比思维被巧妙地融入教学的每一个环节，不仅助力学生理解和掌握了相关知识点，而且显著提升了他们参与课堂活动的积极性，唤醒了他们的主体意识，并促进了他们能力与素养的全面提升.
总之，在高中数学教学中，教师应积极倡导学生自主探究，始终贯彻“生本”教学理念，培养学生勇于探索、敢于实践、逻辑严密的良好学习习惯，以促进学生的全面成长.
参考文献：
［1］ 黄彩祎，周学勇. 基于深度学习的高中数学概念教学探究：以“等差数列”为例［J］. 安徽教育科研，2024（15）：26-28+63.
［2］ 陈婷婷. 基于核心素养的高中数学课堂教学评价探索［J］. 中学教学参考，2022（33）：13-16.